Módulo Hodge mixto

En matemáticas, los módulos de Hodge mixtos son la culminación de la teoría de Hodge , las estructuras de Hodge mixtas , la cohomología de intersección y el teorema de descomposición , lo que proporciona un marco coherente para discutir variaciones de estructuras de Hodge mixtas degeneradas a través del formalismo de seis functores . Esencialmente, estos objetos son un par de un D-módulo filtrado $(M,F^{\bullet })$ junto con un haz perverso ${\mathcal {F}}$ de tal manera que el functor de la correspondencia de Riemann-Hilbert envía $(M,F^{\bullet })$ a ${\mathcal {F}}$ Esto permite construir una estructura de Hodge en la cohomología de intersección, uno de los problemas clave cuando se descubrió el tema. Morihiko Saito lo resolvió al encontrar una manera de usar la filtración en un D-módulo coherente como análogo de la filtración de Hodge para una estructura de Hodge. ^{[ 1 ]} Esto hizo posible dar una estructura de Hodge en un haz de cohomología de intersección, los objetos simples en la categoría abeliana de haces perversos.

Estructura abstracta

Antes de entrar en los detalles minuciosos de la definición de módulos de Hodge mixtos, que es bastante elaborada, es útil tener una idea de lo que realmente proporciona la categoría de módulos de Hodge mixtos. Dada una variedad algebraica compleja $X$ existe una categoría abeliana ${\textbf {MHM}}(X)$ ^{[ 2 ]}^{pág. 339}con las siguientes propiedades funtoriales

Existe un functor fiel ${\text{rata}}_{X}:{\textbf {MHM}}(X)\to {\textbf {Pervertido}}(X;\mathbb {Q} )$ Se denomina functor de racionalización. Este proporciona el haz perverso racional subyacente de un módulo de Hodge mixto.
Existe un functor fiel ${\text{Dmod}}_{X}:{\textbf {MHM}}(X)\to {\textbf {Mod}}({\mathcal {D}}_{X})$ enviando un módulo Hodge mixto a su módulo D subyacente.
Estos functores se comportan bien con respecto a la correspondencia de Riemann-Hilbert. $DR_{X}:D_{Coh}^{b}({\mathcal {D}}_{X})\to D_{cs}^{b}(X;\mathbb {C} )$ , lo que significa que para cada módulo Hodge mixto $M$ existe un isomorfismo ${\displaystyle \alpha$ .

Además, existen las siguientes propiedades categóricas

La categoría de módulos de Hodge mixtos sobre un punto es isomorfa a la categoría de estructuras de Hodge mixtas, ${\textbf {MHM}}(\{pt\})\cong {\text{MHS}}$
Cada objeto $M$ en ${\textbf {MHM}}(X)$ admite una filtración de peso $W$ de tal manera que cada morfismo en ${\textbf {MHM}}(X)$ conserva estrictamente la filtración de peso, los objetos graduados asociados ${\text{Gr}}_{k}^{W}(M)$ son semisimples, y en la categoría de módulos de Hodge mixtos sobre un punto, esto corresponde a la filtración de peso de una estructura de Hodge mixta.
Existe un functor dualizador $\mathbb {D} _{X}$ elevando el functor dualizador de Verdier en $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )$ que es una involución en ${\textbf {MHM}}(X)$ .

Para un morfismo $f:X\to Y$ de variedades algebraicas, los seis functores asociados en $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ y $D^{b}{\textbf {MHM}}(Y)$ tienen las siguientes propiedades

$f_{!},f^{*}$ no aumentes los pesos de un complejo $M^{\bullet }$ de módulos Hodge mixtos.
$f^{!},f_{*}$ no disminuya los pesos de un complejo $M^{\bullet }$ de módulos Hodge mixtos.

Relación entre categorías derivadas

La categoría derivada de módulos Hodge mixtos $D^{b}{\textbf {MHM}}(X)$ está íntimamente relacionado con la categoría derivada de haces construibles. $D_{cs}^{b}(X;\mathbb {Q} )\cong D^{b}({\text{Perv}}(X;\mathbb {Q} ))$ equivalente a la categoría derivada de haces perversos. Esto se debe a cómo el functor de racionalización es compatible con el functor de cohomología. $H^{k}$ de un complejo $M^{\bullet }$ de módulos de Hodge mixtos. Al tomar la racionalización, hay un isomorfismo

${\text{rat}}_{X}(H^{k}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))$

para la perversidad media $\mathbb {p}$ Nota ^{[ 2 ]}^{pág. 310} esta es la función $\mathbf {p} :2\mathbb {N} \to \mathbb {Z}$ envío $\mathbf {p} (2k)=-k$ , lo cual difiere del caso de las pseudovariedades donde la perversidad es una función $\mathbb {p$ donde $\mathbf {p} (2k)=\mathbf {p} (2k-1)=k-1$ . Recordemos que esto se define como tomar la composición de truncamientos perversos con el functor de desplazamiento, por lo que ^{[ 2 ]}^{pág. 341}

${\text{ }}^{\mathbf {p} }H^{k}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet }))={\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\leq 0}{\text{ }}^{\mathbf {p} }\tau _{\geq 0}({\text{rat}}_{X}(M^{\bullet })[+k])$

Este tipo de configuración también se refleja en los functores de empuje y atracción derivados. $f_{!},f^{*},f^{!},f_{*}$ y con ciclos cercanos y evanescentes $\psi _{f},\phi _{f}$ , el functor de racionalización lleva estos a sus functores perversos análogos en la categoría derivada de haces perversos.

Módulos de Tate y cohomología

Aquí denotamos la proyección canónica a un punto por $p:X\to \{pt\}$ . Uno de los primeros módulos Hodge mixtos disponibles es el objeto Tate de peso 0, denotado ${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ que se define como el retroceso de su objeto correspondiente en $\mathbb {Q} ^{Hdg}\in {\textbf {MHM}}(\{pt\})$ , entonces

${\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}=p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg}$

La estructura de Hodge $\mathbb {Q} ^{Hdg}$ corresponde al objeto Tate de peso 0 $\mathbb {Q} (0)$ en la categoría de estructuras de Hodge mixtas. Este objeto es útil porque se puede utilizar para calcular las diversas cohomologías de $X$ a través del formalismo de seis functores y darles una estructura de Hodge mixta. Esto se puede resumir con la tabla

${\begin{matrix}H^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{*}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{c}^{k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{!}\mathbb {Q} ^{Hdg})\\H_{-k}^{BM}(X;\mathbb {Q} )&=H^{k}(\{pt\},p_{!}p^{*}\mathbb {Q} ^{Hdg})\end{matrix}}$

Además, dado un incrustamiento cerrado $i:Z\to X$ existe el grupo de cohomología local

$H_{Z}^{k}(X;\mathbb {Q} )=H^{k}(\{pt\},p_{*}i_{*}i^{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg})$

Variaciones de estructuras de Hodge mixtas

Para un morfismo de variedades $f:X\to Y$ los mapas de avance $f_{*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ y $f_{!}{\underline {\mathbb {Q} }}_{X}^{Hdg}$ dar variaciones degeneradas de estructuras de Hodge mixtas en $Y$ Para comprender mejor estas variaciones, se requieren el teorema de descomposición y la cohomología de intersección.

cohomología de intersección

Una de las características definitorias de la categoría de módulos de Hodge mixtos es el hecho de que la cohomología de intersección puede formularse en su lenguaje. Esto permite utilizar el teorema de descomposición para mapas. $f:X\to Y$ de variedades. Para definir el complejo de intersección, sea $j:U\hookrightarrow X$ ser la parte abierta y lisa de una variedad $X$ . Entonces el complejo de intersección de $X$ puede definirse como

$IC_{X}^{\bullet }\mathbb {Q} ^{Hdg}:=j_{!*}{\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg}[d_{X}]$

dónde

$j_{!*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})=\operatorname {Image} [j_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})\to j_{*}({\underline {\mathbb {Q} }}_{U}^{Hdg})]$

como con haces perversos ^{[ 2 ]}^{pág. 311} . En particular, esta configuración se puede utilizar para mostrar los grupos de cohomología de intersección

$IH^{k}(X)=H^{k}(p_{*}IC^{\bullet }{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})$

tener un peso puro $k$ Estructura de Hodge.

Véase también

Referencias

↑ "Estructura de Hodge mediante módulos $\mathcal{D}$ filtrados" . www.numdam.org . Consultado el 16 de agosto de 2020 .
1 2 3 4 Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras de Hodge mixtas . Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6OCLC 1120392435

Una guía para jóvenes sobre los módulos mixtos de Hodge

[1] "Estructura de Hodge mediante módulos $\mathcal{D}$ filtrados" . www.numdam.org . Consultado el 16 de agosto de 2020 .

[:0-2] 1 2 3 4 Peters, C. (Chris) (2008). Estructuras de Hodge mixtas . Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-540-77017-6OCLC 1120392435

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