Teorema de descomposición de Beilinson, Bernstein y Deligne.

El primer caso del teorema de descomposición surge a través del teorema de Lefschetz duro , que proporciona isomorfismos para una aplicación propia suave.${\displaystyle f:X\to Y}$de dimensión relativa d entre dos variedades proyectivas ^{[ 2 ]}

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:R^{di}f_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} ).}$

Aquí${\displaystyle \eta }$es la clase fundamental de una sección hiperplana ,${\displaystyle f_{*}}$es la imagen directa (empuje hacia adelante) y${\displaystyle R^{n}f_{*}}$es el n -ésimo functor derivado de la imagen directa. Este functor derivado mide las n -ésimas cohomologías de${\displaystyle f^{-1}(U)}$, para${\displaystyle U\subset Y}$. De hecho, el caso particular en que Y es un punto, equivale al isomorfismo

${\displaystyle -\cup \eta ^{i}:H^{di}(X,\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}H^{d+i}(X,\mathbb {Q} ).}$

Este isomorfismo de Lefschetz estricto induce isomorfismos canónicos.

${\displaystyle Rf_{*}(\mathbb {Q} ){\stackrel {\cong }{\to }}\bigoplus _{i=-d}^{d}R^{d+i}f_{*}(\mathbb {Q} )[-di].}$

Además, las gavillas${\displaystyle R^{d+i}f_{*}\mathbb {Q} }$En esta descomposición aparecen sistemas locales , es decir, haces localmente libres de espacios vectoriales Q , que además son semisimples, es decir, una suma directa de sistemas locales sin subsistemas locales no triviales.

El teorema de descomposición generaliza este hecho al caso de una aplicación propia, pero no necesariamente suave.${\displaystyle f:X\to Y}$entre variedades. En resumen, los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando la noción de sistemas locales se reemplaza por haces perversos .

El teorema de Lefschetz duro anterior toma la siguiente forma: ^{[ 3 ] [ 4 ]} existe un isomorfismo en la categoría derivada de haces en Y :

${\displaystyle {}^{p}H^{-i}(Rf_{*}\mathbb {Q} )\cong {}^{p}H^{+i}(Rf_{*}\mathbb {Q} ),}$

dónde${\displaystyle Rf_{*}}$es el functor derivado total de${\displaystyle f_{*}}$y${\displaystyle {}^{p}H^{i}}$es la i -ésima truncación con respecto a la t-estructura perversa .

Además, existe un isomorfismo.

${\displaystyle Rf_{*}IC_{X}^{\bullet }\cong \bigoplus _{i}{}^{p}H^{i}(Rf_{*}IC_{X}^{\bullet })[-i].}$

donde los sumandos son haces perversos semisimples, lo que significa que son sumas directas de empujes hacia adelante de haces de cohomología de intersección. ^{[ 5 ]}

Si X no es suave, entonces los resultados anteriores siguen siendo válidos cuando${\displaystyle \mathbb {Q} [\dim X]}$es reemplazado por el complejo de cohomología de intersección${\displaystyle IC}$. ^{[ 3 ]}

Consideremos un morfismo racional${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {P} ^{1}}$a partir de una variedad cuasiproyectiva suave dada por${\displaystyle [f_{1}(x):f_{2}(x)]}$. Si establecemos el lugar geométrico de fuga de${\displaystyle f_{1},f_{2}}$como${\displaystyle Y}$entonces hay un morfismo inducido${\displaystyle {\tilde {X}}=Bl_{Y}(X)\to \mathbb {P} ^{1}}$Podemos calcular la cohomología de${\displaystyle X}$de la cohomología de intersección de${\displaystyle Bl_{Y}(X)}$y restando la cohomología de la explosión a lo largo de${\displaystyle Y}$Esto se puede hacer utilizando la secuencia espectral perversa

${\displaystyle E_{2}^{l,m}=H^{l}(\mathbb {P} ^{1};{}^{\mathfrak {p}}{\mathcal {H}}^{m}(IC_{\tilde {X}}^{\bullet }(\mathbb {Q} ))\Rightarrow IH^{l+m}({\tilde {X}};\mathbb {Q} )\cong H^{l+m}(X;\mathbb {Q} )}$

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$sea ​​un morfismo propio entre variedades algebraicas complejas tal que${\displaystyle X}$es suave. Además, deja${\displaystyle y_{0}}$ser un valor regular de${\displaystyle f}$que está en una bola abierta B centrada en${\displaystyle y}$. Luego el mapa de restricciones

${\displaystyle \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y),\mathbb {Q} )=\operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(B),\mathbb {Q} )\to \operatorname {H} ^{*}(f^{-1}(y_{0}),\mathbb {Q} )^{\pi _{1,{\textrm {loc}}}}}$

es sobreyectiva, donde${\displaystyle \pi _{1,{\textrm {loc}}}}$es el grupo fundamental de la intersección de${\displaystyle B}$con el conjunto de valores regulares de f . ^{[ 9 ]}

• de Cataldo, Mark (2015), Perverse sheaves and the topology of algebraic variety Five lectures at the 2015 PCMI (PDF) , archived from the original (PDF) on 2015-11-21 , retrieved 2017-08-19
• de Cataldo, Mark; Milgiorini, Luca, El teorema de descomposición, haces perversos y la topología de las aplicaciones algebraicas (PDF)
• MacPherson, R. (1990). "Homología de intersección y haces perversos" (PDF) .

• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki, módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación