Cohomología de De Rham

Para la n -esfera ,${\displaystyle S^{n}}$y también cuando se toma junto con un producto de intervalos abiertos, tenemos lo siguiente. Sea${\displaystyle n>0}$,${\displaystyle m\geq 0}$, y${\displaystyle I}$Sea un intervalo real abierto. Entonces

$${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{n}\times I^{m})\simeq {\begin{cases}\mathbb {R} &k=0{\text{ o }}k=n,\\0&k\neq 0{\text{ y }}k\neq n.\end{cases}}}$$

El${\displaystyle n}$-toro es el producto cartesiano:${\displaystyle T^{n}=\underbrace {S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}}$. De manera similar, permitiendo${\displaystyle n\geq 1}$Aquí obtenemos

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(T^{n})\simeq \mathbb {R} ^{n \choose k}.}$

También podemos encontrar generadores explícitos para la cohomología de De Rham del toro directamente usando formas diferenciales. Dada una variedad cociente${\displaystyle \pi :X\to X/G}$y una forma diferencial${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(X)}$podemos decir que${\displaystyle \omega }$es${\displaystyle G}$-invariante si se le da cualquier difeomorfismo inducido por${\displaystyle G}$,${\displaystyle \cdot g:X\to X}$tenemos${\displaystyle (\cdot g)^{*}(\omega )=\omega }$. En particular, el retroceso de cualquier forma en${\displaystyle X/G}$es${\displaystyle G}$-invariante. Además, el retroceso es un morfismo inyectivo. En nuestro caso de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}}$las formas diferenciales${\displaystyle dx_{i}}$son${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$-invariante desde${\displaystyle d(x_{i}+k)=dx_{i}}$. Pero, fíjate que${\displaystyle x_{i}+\alpha }$para${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$no es un invariante${\displaystyle 0}$-forma. Esto con inyectividad implica que

${\displaystyle [dx_{i}]\in H_{dR}^{1}(T^{n})}$

Dado que el anillo de cohomología de un toro es generado por${\displaystyle H^{1}}$, tomando los productos exteriores de estas formas se obtienen todos los representantes explícitos para la cohomología de De Rham de un toro.

El espacio euclidiano perforado es simplemente${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$con el origen eliminado.

${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\})\cong {\begin{cases}\mathbb {R} ^{2}&n=1,k=0\\\mathbb {R} &n>1,k=0,n-1\\0&{\text{en otro caso}}\end{cases}}.}$

Podemos deducir del hecho de que la cinta de Möbius ,${\displaystyle M}$, puede ser deformación retraída a la${\displaystyle 1}$-esfera (es decir, el círculo unitario real), que:

$${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)\simeq H_{\mathrm {dR} }^{k}(S^{1}).}$$

La demostración estándar procede mostrando que el complejo de De Rham, cuando se considera como un complejo de haces, es una resolución acíclica de${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$. En más detalle, dejemos${\displaystyle m}$ser la dimensión de${\displaystyle M}$y dejar${\textstyle \Omega ^{k}}$denotan el haz de gérmenes de${\displaystyle k}$-formularios en${\displaystyle M}$(con${\textstyle \Omega ^{0}}$el haz de${\textstyle C^{\infty }}$funciones en${\displaystyle M}$). Por el lema de Poincaré , la siguiente secuencia de haces es exacta (en la categoría abeliana de haces):

$${\displaystyle 0\to {\underline {\mathbb {R} }}\to \Omega ^{0}\xrightarrow {d_{0}} \Omega ^{1}\xrightarrow {d_{1}} \Omega ^{2}\xrightarrow {d_{2}} \cdots \xrightarrow {d_{m-1}} \Omega ^{m}\to 0.}$$

Esta larga secuencia exacta ahora se divide en secuencias cortas exactas de haces.

$${\displaystyle 0\to \operatorname {im} d_{k-1}\xrightarrow {\subset } \Omega ^{k}\xrightarrow {d_{k}} \operatorname {im} d_{k}\to 0,}$$

donde por exactitud tenemos isomorfismos${\textstyle \operatorname {im} d_{k-1}\cong \ker d_{k}}$a pesar de${\displaystyle k}$Cada uno de estos induce una larga secuencia exacta en cohomología. Dado que el haz${\textstyle \Omega ^{0}}$de${\textstyle C^{\infty }}$funciones en${\displaystyle M}$admite particiones de la unidad , cualquier${\textstyle \Omega ^{0}}$-módulo es un haz fino ; en particular, los haces${\textstyle \Omega ^{k}}$están todos bien. Por lo tanto, los grupos de cohomología de haces${\textstyle H^{i}(M,\Omega ^{k})}$desaparecer para${\textstyle i>0}$ya que todos los haces finos en espacios paracompactos son acíclicos. Por lo tanto, las secuencias de cohomología exactas largas se separan finalmente en una cadena de isomorfismos. En un extremo de la cadena se encuentra la cohomología de haces de${\textstyle {\underline {\mathbb {R} }}}$y en el otro extremo se encuentra la cohomología de De Rham.

Si${\displaystyle M}$es una variedad riemanniana compacta , entonces cada clase de equivalencia en${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)}$contiene exactamente una forma armónica . Es decir, cada miembro${\displaystyle \omega }$de una clase de equivalencia dada de formas cerradas se puede escribir como

$${\displaystyle \omega =\alpha +\gamma }$$

dónde${\displaystyle \alpha }$es exacto y${\displaystyle \gamma }$es armónico:${\displaystyle \Delta \gamma =0}$.

Cualquier función armónica en una variedad riemanniana compacta y conexa es una constante. Por lo tanto, este elemento representativo particular puede entenderse como un extremo (un mínimo) de todas las formas cohomológicamente equivalentes en la variedad. Por ejemplo, en una${\displaystyle 2}$- toroide , uno puede imaginar una constante${\displaystyle 1}$-forma como una en la que todo el "cabello" está peinado ordenadamente en la misma dirección (y todo el "cabello" tiene la misma longitud). En este caso, hay dos peinados cohomológicamente distintos; todos los demás son combinaciones lineales. En particular, esto implica que el primer número de Betti de un${\displaystyle 2}$-toro es dos. Más generalmente, en un${\displaystyle n}$toro dimensional${\displaystyle T^{n}}$, uno puede considerar los diversos peinados de${\displaystyle k}$-formas en el toro. Hay${\displaystyle n}$elegir${\displaystyle k}$tales combinaciones que se pueden utilizar para formar los vectores base para${\displaystyle H_{\text{dR}}^{k}(T^{n})}$; el${\displaystyle k}$-ésimo número de Betti para el grupo de cohomología de de Rham para el${\displaystyle n}$-toro es así${\displaystyle n}$elegir${\displaystyle k}$.

Más precisamente, para un colector diferencial${\displaystyle M}$, se le puede dotar de alguna métrica riemanniana auxiliar . Entonces el laplaciano${\displaystyle \Delta }$se define por

$${\displaystyle \Delta =d\delta +\delta d}$$

con${\displaystyle d}$el derivado exterior y${\displaystyle \delta }$el codiferencial . El laplaciano es un operador diferencial lineal homogéneo (en grado ) que actúa sobre el álgebra exterior de formas diferenciales : podemos observar su acción sobre cada componente de grado${\displaystyle k}$por separado.

Si${\displaystyle M}$es compacto y orientado , la dimensión del núcleo del laplaciano que actúa sobre el espacio de k -formas es entonces igual (por la teoría de Hodge ) a la del grupo de cohomología de de Rham en grado${\displaystyle k}$: el laplaciano selecciona una forma armónica única en cada clase de cohomología de formas cerradas . En particular, el espacio de todas las formas armónicas${\displaystyle k}$-formularios en${\displaystyle M}$es isomorfo a${\displaystyle H^{k}(M;\mathbb {R} )}$. La dimensión de cada uno de esos espacios es finita y está dada por la${\displaystyle k}$-º número de Betti .

Dejar${\displaystyle M}$sea ​​una variedad riemanniana compacta orientada . La descomposición de Hodge establece que cualquier${\displaystyle k}$-formulario en${\displaystyle M}$se divide de forma única en la suma de tres componentes L ^{2 :}

$${\displaystyle \omega =\alpha +\beta +\gamma ,}$$

dónde${\displaystyle \alpha }$es exacto,${\displaystyle \beta }$es coexacto y${\displaystyle \gamma }$es armónico.

Uno dice que una forma${\displaystyle \beta }$se cierra conjuntamente si${\displaystyle \delta \beta =0}$y coexactos si${\displaystyle \beta =\delta \eta }$por alguna forma${\displaystyle \eta }$y que${\displaystyle \gamma }$es armónico si el laplaciano es cero,${\displaystyle \Delta \gamma =0}$Esto se deduce al observar que las formas exactas y coexactas son ortogonales; el complemento ortogonal consta entonces de formas que son tanto cerradas como co-cerradas: es decir, de formas armónicas. Aquí, la ortogonalidad se define con respecto al producto interno L ² en${\displaystyle \Omega ^{k}(M)}$:

$${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\int _{M}\alpha \wedge {\star \beta }.}$$

Mediante el uso de espacios o distribuciones de Sobolev , la descomposición puede extenderse, por ejemplo, a una variedad riemanniana completa (orientada o no). ^{[ 6 ]}