Orientabilidad

En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos, como los espacios vectoriales reales , los espacios euclidianos , las superficies y, más generalmente, las variedades, que permite una definición consistente de " en el sentido de las agujas del reloj " y "en sentido contrario a las agujas del reloj". ^{[ 1 ]} Generaliza el concepto de orientación de curvas , que para una curva cerrada simple plana se define en función de si el interior de la curva está a la izquierda o a la derecha de la misma. Un espacio es orientable si existe tal definición consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y la elección entre ellas constituye la orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclidianos y las esferas son orientables. Un espacio es no orientable si "en el sentido de las agujas del reloj" se transforma en "en sentido contrario a las agujas del reloj" tras recorrer algunos bucles y regresar al punto de partida. Esto significa que una figura geométrica , como , que se mueve continuamente a lo largo de dicho bucle se transforma en su propia imagen especular . Una cinta de Möbius es un ejemplo de espacio no orientable.

Se pueden dar diversas formulaciones equivalentes de la orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales suelen emplear métodos de la teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables existe una estructura más compleja, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de la orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por otro espacio (un fibrado ) para el cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en los valores de los parámetros.

Una superficie en el espacio euclidiano es orientable si una figura bidimensional quiral (por ejemplo, ) no puede moverse alrededor de la superficie y regresar a su posición inicial de manera que parezca su propia imagen especular ( ). De lo contrario, la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si se puede definir un concepto consistente de rotación en sentido horario sobre la superficie de manera continua. Es decir, un bucle que gira en una dirección sobre la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse) a un bucle que gira en la dirección opuesta. Esto resulta ser equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto homeomorfo a la cinta de Möbius . Por lo tanto, para las superficies, la cinta de Möbius puede considerarse la fuente de toda no orientabilidad. ${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para una superficie orientable, una elección consistente de "en el sentido de las agujas del reloj" (en contraposición al sentido contrario) se denomina orientación , y la superficie se denomina orientada . Para superficies incrustadas en el espacio euclidiano, una orientación se especifica mediante la elección de una normal de superficie que varía continuamente en cada punto. Si existe tal normal, siempre hay dos maneras de seleccionarla: o . De forma más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre una superficie orientada y una superficie orientable es sutil y frecuentemente difusa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie que es abstractamente orientable y tiene el dato adicional de poder elegir una de las dos orientaciones posibles. ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle -\mathbf {n} }$

La mayoría de las superficies que encontramos en el mundo físico son orientables. Las esferas , los planos y los toros son orientables, por ejemplo. Pero las cintas de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Como se visualizan en dimensiones, todas tienen una sola cara. El plano proyectivo real y la botella de Klein no pueden incrustarse en , solo sumergirse con intersecciones regulares. ${\displaystyle 3}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Cabe señalar que, localmente, una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastrara sobre una superficie de un solo lado pensaría que existe un "otro lado". La esencia de la unidireccionalidad reside en que la hormiga puede desplazarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesarla ni sortear ningún borde, simplemente avanzando lo suficiente.

En general, la propiedad de ser orientable no es equivalente a ser de dos lados; sin embargo, esto se cumple cuando el espacio ambiente (como el anterior) es orientable. Por ejemplo, un toro incrustado en ${\displaystyle R^{3}}$

${\displaystyle K^{2}\times S^{1}}$

puede ser de una sola cara, y una botella de Klein en el mismo espacio puede ser de dos caras; aquí se refiere a la botella de Klein. ${\displaystyle K^{2}}$

Toda superficie posee una triangulación : una descomposición en triángulos tal que cada arista se une a, como máximo, otra arista. Cada triángulo se orienta eligiendo una dirección alrededor de su perímetro y asociando una dirección a cada arista. Si esto se realiza de tal forma que, al unir las aristas, las adyacentes apunten en direcciones opuestas, se determina la orientación de la superficie. Esta elección solo es posible si la superficie es orientable, y en ese caso existen exactamente dos orientaciones diferentes.

Si la figura se puede posicionar de manera consistente en todos los puntos de la superficie sin convertirse en su imagen especular, entonces esto inducirá una orientación en el sentido anterior en cada uno de los triángulos de la triangulación al seleccionar la dirección de cada uno de los triángulos en función del orden rojo-verde-azul de los colores de cualquiera de las figuras en el interior del triángulo.

Este enfoque se generaliza a cualquier variedad de dimensión n que tenga una triangulación. Sin embargo, algunas variedades de dimensión 4 no tienen triangulación y, en general, algunas variedades de dimensión n tienen triangulaciones que no son equivalentes. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n>4}$${\displaystyle n}$

Si denota el primer grupo de homología de una superficie cerrada , entonces es orientable si y solo si tiene un subgrupo de torsión trivial . Más precisamente, si es orientable entonces es un grupo abeliano libre , y si no lo es entonces donde es abeliano libre, y el factor es generado por la curva media en una banda de Möbius incrustada en . ${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle H_{1}(S)}$${\displaystyle H_{1}(S)=F+\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle S}$

Sea M una n - variedad topológica conexa . Existen varias definiciones posibles de lo que significa que M sea orientable. Algunas de estas definiciones requieren que M tenga una estructura adicional, como ser diferenciable. En ocasiones, n = 0 debe considerarse un caso especial. Cuando más de una de estas definiciones se aplica a M , entonces M es orientable bajo una definición si y solo si es orientable bajo las demás. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

Las definiciones más intuitivas requieren que sea una variedad diferenciable. Esto significa que las funciones de transición en el atlas de son funciones . Dicha función admite un determinante jacobiano . Cuando el determinante jacobiano es positivo, se dice que la función de transición conserva la orientación . Un atlas orientado en es un atlas para el cual todas las funciones de transición conservan la orientación. es orientable si admite un atlas orientado. Cuando , una orientación de es un atlas orientado maximal. (Cuando , es decir, es un punto, una orientación de es una función .) ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M\to \{\pm 1\}}$

La orientabilidad y las orientaciones también pueden expresarse en términos del fibrado tangente. El fibrado tangente es un fibrado vectorial , por lo que es un fibrado con grupo de estructura . Es decir, las funciones de transición de la variedad inducen funciones de transición en el fibrado tangente que son transformaciones lineales fibra a fibra. Si el grupo de estructura puede reducirse al grupo de matrices de determinante positivo, o equivalentemente si existe un atlas cuyas funciones de transición determinan una transformación lineal que preserva la orientación en cada espacio tangente, entonces la variedad es orientable. Recíprocamente, es orientable si y solo si el grupo de estructura del fibrado tangente puede reducirse de esta manera. Se pueden hacer observaciones similares para el fibrado de marcos. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

Otra forma de definir orientaciones en una variedad diferenciable es mediante formas de volumen . Una forma de volumen es una sección de , la potencia exterior superior del fibrado cotangente de , que no se anula en ningún punto. Por ejemplo, tiene una forma de volumen estándar dada por . Dada una forma de volumen en , el conjunto de todas las cartas para las cuales la forma de volumen estándar se repliega a un múltiplo positivo de es un atlas orientado. Por lo tanto, la existencia de una forma de volumen es equivalente a la orientabilidad de la variedad. ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\bigwedge }^{\!n}T^{*}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \omega }$

Las formas de volumen y los vectores tangentes se pueden combinar para dar otra descripción de la orientabilidad. Si es una base de vectores tangentes en un punto , entonces se dice que la base es dextrógira si . Una función de transición conserva la orientación si y solo si envía bases dextrógiras a bases dextrógiras. La existencia de una forma de volumen implica una reducción del grupo de estructura del fibrado tangente o del fibrado de marcos a . Como antes, esto implica la orientabilidad de . Por el contrario, si es orientable, entonces las formas de volumen locales se pueden unir para crear una forma de volumen global, siendo la orientabilidad necesaria para asegurar que la forma global no se desvanezca en ningún lugar. ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega (X_{1},\ldots ,X_{n})>0}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n,\mathbb {R} )}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

En el centro de todas las definiciones anteriores de orientabilidad de una variedad diferenciable se encuentra la noción de una función de transición que preserva la orientación. Esto plantea la cuestión de qué es exactamente lo que preservan dichas funciones de transición. No pueden preservar una orientación de la variedad, ya que una orientación de la variedad es un atlas, y no tiene sentido decir que una función de transición preserva o no preserva un atlas del que forma parte.

Esta cuestión se puede resolver definiendo orientaciones locales. En una variedad unidimensional, una orientación local alrededor de un punto corresponde a una elección de izquierda y derecha cerca de ese punto. En una variedad bidimensional, corresponde a una elección de sentido horario y antihorario. Estas dos situaciones comparten la característica común de que se describen en términos de comportamiento de dimensión superior cerca de , pero no en . Para el caso general, sea una variedad topológica . Una orientación local de alrededor de un punto es una elección del generador del grupo ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right).}$

Para ver el significado geométrico de este grupo, elija una carta alrededor de . En esa carta hay un entorno de que es una bola abierta alrededor del origen . Por el teorema de escisión , es isomorfo a . La bola es contraíble, por lo que sus grupos de homología se anulan excepto en grado cero, y el espacio es una -esfera, por lo que sus grupos de homología se anulan excepto en grados y . Un cálculo con la sucesión exacta larga en homología relativa muestra que el grupo de homología anterior es isomorfo a . Por lo tanto, una elección de generador corresponde a una decisión de si, en la carta dada, una esfera alrededor de es positiva o negativa. Una reflexión de a través del origen actúa por negación sobre , por lo que el significado geométrico de la elección de generador es que distingue las cartas de sus reflexiones. ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle B}$${\displaystyle O}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle H_{n}\left(B,B\setminus \{O\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B\setminus O}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)\cong \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H_{n-1}\left(S^{n-1};\mathbb {Z} \right)}$

En una variedad topológica, una función de transición conserva la orientación si, en cada punto de su dominio, fija los generadores de . A partir de aquí, las definiciones relevantes son las mismas que en el caso diferenciable. Un atlas orientado es aquel para el cual todas las funciones de transición conservan la orientación, es orientable si admite un atlas orientado, y cuando , una orientación de es un atlas orientado maximal. ${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle M}$

Intuitivamente, una orientación de debería definir una orientación local única de en cada punto. Esto se precisa al observar que cualquier carta del atlas orientado alrededor de puede usarse para determinar una esfera alrededor de , y esta esfera determina un generador de . Además, cualquier otra carta alrededor de está relacionada con la primera carta mediante una función de transición que preserva la orientación, lo que implica que ambas cartas producen el mismo generador, por lo que el generador es único. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle p}$

También son posibles definiciones puramente homológicas. Suponiendo que es cerrado y conexo, es orientable si y solo si el -ésimo grupo de homología es isomorfo a los enteros . Una orientación de es una elección de generador de este grupo. Este generador determina un atlas orientado fijando un generador del grupo cíclico infinito y tomando como cartas orientadas aquellas para las cuales se proyecta hacia el generador fijo. Recíprocamente, un atlas orientado determina dicho generador ya que las orientaciones locales compatibles se pueden unir para dar un generador para el grupo de homología . ^{[ 4 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle H_{n}(M;\mathbb {Z} )}$

Una variedad es orientable si y solo si la primera clase de Stiefel-Whitney se anula. En particular, si el primer grupo de cohomología con coeficientes es cero, entonces la variedad es orientable. Además, si es orientable y se anula, entonces parametriza las elecciones de orientaciones. ^{[ 5 ]} Esta caracterización de la orientabilidad se extiende a la orientabilidad de fibrados vectoriales generales sobre , no solo al fibrado tangente. ${\displaystyle M}$${\displaystyle w_{1}(M)\in H^{1}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle H^{0}(M;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$${\displaystyle M}$

Alrededor de cada punto existen dos orientaciones locales. Intuitivamente, hay una forma de pasar de una orientación local en un punto a una orientación local en un punto cercano : cuando los dos puntos se encuentran en la misma carta de coordenadas , dicha carta define orientaciones locales compatibles en y . Por lo tanto, al conjunto de orientaciones locales se le puede asignar una topología, y esta topología lo convierte en una variedad. ${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\prime }}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p^{\prime }}$

Más precisamente, sea el conjunto de todas las orientaciones locales de . Para topologizar, especificaremos una subbase para su topología. Sea un subconjunto abierto de elegido tal que es isomorfo a . Supongamos que es un generador de este grupo. Para cada en , existe una función pushforward . El codominio de este grupo tiene dos generadores, y se mapea a uno de ellos. La topología en se define de modo que ${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle H_{n}(M,M\setminus U;\mathbb {Z} )\to H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle O}$

${\displaystyle \{{\text{Image of }}\alpha {\text{ in }}H_{n}\left(M,M\setminus \{p\};\mathbb {Z} \right)\colon p\in U\}}$

está abierto.

Hay un mapa canónico que envía una orientación local en a . Es claro que cada punto de tiene precisamente dos preimágenes bajo . De hecho, es incluso un homeomorfismo local, porque las preimágenes de los conjuntos abiertos mencionados anteriormente son homeomorfas a la unión disjunta de dos copias de . Si es orientable, entonces es uno de estos conjuntos abiertos, por lo que también lo es la unión disjunta de dos copias de . Sin embargo, si no es orientable, entonces es conexo y orientable. La variedad se llama recubrimiento doble de orientación . ${\displaystyle \pi :O\to M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle O}$${\displaystyle O}$

Si es una variedad con frontera, entonces una orientación de se define como una orientación de su interior. Dicha orientación induce una orientación de . En efecto, supongamos que una orientación de está fija. Sea una carta en un punto frontera de que, cuando se restringe al interior de , está en el atlas orientado elegido. La restricción de esta carta a es una carta de . Tales cartas forman un atlas orientado para . ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U\to \mathbb {R} _{+}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle \partial M}$

Cuando es suave, en cada punto de , la restricción del fibrado tangente de a es isomorfa a , donde el factor de se describe mediante el vector normal que apunta hacia adentro. La orientación de se define por la condición de que una base de está orientada positivamente si y solo si, cuando se combina con el vector normal que apunta hacia adentro, define una base orientada positivamente de . ${\displaystyle M}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial M}$${\displaystyle T_{p}\partial M\oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle T_{p}\partial M}$${\displaystyle T_{p}\partial M}$${\displaystyle T_{p}M}$

Una noción estrechamente relacionada utiliza la idea de espacio de recubrimiento . Para una variedad conexa , tomemos , el conjunto de pares donde es un punto de y es una orientación en ; aquí asumimos que es suave, por lo que podemos elegir una orientación en el espacio tangente en un punto, o usamos homología singular para definir la orientación. Entonces, para cada subconjunto abierto y orientado de consideramos el conjunto de pares correspondiente y definimos que es un conjunto abierto de . Esto da una topología y la proyección que envía a es entonces un mapa de recubrimiento 2 a 1. Este espacio de recubrimiento se llama recubrimiento doble orientable , ya que es orientable. es conexo si y solo si no es orientable. ${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle o}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle (x,o)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M^{*}}$${\displaystyle M}$

Otra forma de construir esta cubierta es dividir los bucles con base en un punto base en bucles que conservan la orientación o bucles que la invierten. Los bucles que conservan la orientación generan un subgrupo del grupo fundamental, que puede ser el grupo completo o de índice dos. En este último caso (lo que significa que existe un camino que invierte la orientación), el subgrupo corresponde a una cubierta doble conexa; esta cubierta es orientable por construcción. En el primer caso, basta con tomar dos copias de , cada una de las cuales corresponde a una orientación diferente. ${\displaystyle M}$

Un fibrado vectorial real , que a priori posee un grupo de estructura , se denomina orientable cuando dicho grupo puede reducirse a , el grupo de matrices con determinante positivo . Para el fibrado tangente , esta reducción siempre es posible si la variedad base subyacente es orientable y, de hecho, esto proporciona una manera conveniente de definir la orientabilidad de una variedad real lisa : una variedad lisa se define como orientable si su fibrado tangente es orientable (como fibrado vectorial). Cabe destacar que, como variedad en sí misma, el fibrado tangente siempre es orientable, incluso sobre variedades no orientables. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n)}$${\displaystyle \operatorname {GL} ^{+}(n)}$

En la geometría lorentziana , existen dos tipos de orientabilidad: la orientabilidad espacial y la orientabilidad temporal . Estas desempeñan un papel en la estructura causal del espaciotiempo. ^{[ 6 ]} En el contexto de la relatividad general , una variedad espaciotemporal es orientable espacialmente si, cuando dos observadores diestros parten en naves espaciales desde el mismo punto espaciotemporal y se encuentran de nuevo en otro punto, siguen siendo diestros entre sí. Si un espaciotiempo es orientable en el tiempo, los dos observadores siempre coincidirán en la dirección del tiempo en ambos puntos de su encuentro. De hecho, un espaciotiempo es orientable en el tiempo si y solo si dos observadores cualesquiera pueden coincidir en cuál de los dos encuentros precedió al otro. ^{[ 7 ]}

Formalmente, el grupo pseudoortogonal tiene un par de caracteres : el carácter de orientación espacial y el carácter de orientación temporal , ${\displaystyle \operatorname {O} (p,q)}$${\displaystyle \sigma _{+}}$${\displaystyle \sigma _{-}}$

${\displaystyle \sigma _{\pm }:\operatorname {O} (p,q)\to \{-1,+1\}.}$

Su producto es el determinante, que le confiere el carácter de orientación. Una orientación espacial de una variedad pseudoriemanniana se identifica con una sección del fibrado asociado.${\displaystyle \sigma =\sigma _{+}\sigma _{-}}$

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{+}}\{-1,+1\}}$

donde es el haz de marcos pseudoortogonales. De manera similar, una orientación temporal es una sección del haz asociado. ${\displaystyle \operatorname {O} (M)}$

${\displaystyle \operatorname {O} (M)\times _{\sigma _{-}}\{-1,+1\}.}$

• Orientación de la curva
• Haz de orientación

• Orientación de variedades. Archivado el 3 de mayo de 2013 en la Wayback Machine del Atlas de Variedades.
• Orientación que cubre el archivo del 10 de abril de 2019 en Wayback Machine en Manifold Atlas.
• Orientación de variedades en teorías de cohomología generalizadas Archivado el 2 de noviembre de 2013 en Wayback Machine en Manifold Atlas.
• Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas sobre Orientación .