Complejo Čech

En topología algebraica y análisis de datos topológicos , el complejo de Čech es un complejo simplicial abstracto construido a partir de una nube de puntos en cualquier espacio métrico , cuyo objetivo es capturar información topológica sobre la nube de puntos o la distribución de la que se extrae. Dada una nube de puntos finita X y un ε  >  0, construimos el complejo de Čech.${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$de la siguiente manera: Tomar los elementos de X como el conjunto de vértices de${\displaystyle {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$. Luego, para cada${\displaystyle \sigma \subset X}$, dejar${\displaystyle \sigma \in {\check {C}}_{\varepsilon }(X)}$Si el conjunto de ε -bolas centradas en puntos de σ tiene una intersección no vacía . En otras palabras, el complejo de Čech es el nervio del conjunto de ε -bolas centradas en puntos de X. Por el lema del nervio , el complejo de Čech es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas, también conocida como filtración de desplazamiento . ^{[ 1 ]}

El complejo de Čech es un subcomplejo del complejo de Vietoris-Rips . Si bien el complejo de Čech es computacionalmente más costoso que el complejo de Vietoris-Rips, ya que debemos verificar las intersecciones de orden superior de las bolas en el complejo, el teorema del nervio proporciona una garantía de que el complejo de Čech es homotópicamente equivalente a la unión de las bolas en el complejo. El complejo de Vietoris-Rips puede no serlo. ^{[ 1 ]}

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