Análisis de datos topológicos

En matemáticas aplicadas , el análisis topológico de datos ( ATD ) es un enfoque para el análisis de conjuntos de datos que utiliza técnicas de topología . La extracción de información de conjuntos de datos de alta dimensionalidad, incompletos y ruidosos suele ser un desafío. El ATD proporciona un marco general para analizar dichos datos de manera independiente de la métrica elegida, ofreciendo reducción de dimensionalidad y robustez frente al ruido. Además, hereda la funtorialidad , un concepto fundamental de las matemáticas modernas, de su naturaleza topológica, lo que le permite adaptarse a nuevas herramientas matemáticas.

La motivación inicial es estudiar la forma de los datos. TDA combina la topología algebraica con otras herramientas de las matemáticas puras para permitir un estudio matemáticamente riguroso de la "forma". La herramienta principal es la homología persistente , una adaptación de la homología a los datos de nubes de puntos . La homología persistente se ha aplicado a muchos tipos de datos en diversos campos. Además, su fundamento matemático también tiene importancia teórica. Las características únicas de TDA la convierten en un puente prometedor entre la topología y la geometría.

El análisis de datos topológicos (TDA) se basa en la idea de que la forma de los conjuntos de datos contiene información relevante. Los datos reales de alta dimensión suelen ser dispersos y tienden a presentar características relevantes de baja dimensión. Una de las tareas del TDA es proporcionar una caracterización precisa de este hecho. Por ejemplo, la trayectoria de un sistema simple depredador-presa regido por las ecuaciones de Lotka-Volterra ^{[ 1 ]} forma un círculo cerrado en el espacio de estados. El TDA proporciona herramientas para detectar y cuantificar este movimiento recurrente ^{[ 2 ] .}

Muchos algoritmos para el análisis de datos, incluidos los utilizados en TDA, requieren la configuración de diversos parámetros. Sin conocimiento previo del dominio , resulta difícil elegir la colección correcta de parámetros para un conjunto de datos. La idea principal de la homología persistente es utilizar la información obtenida de todos los valores de los parámetros, codificando esta enorme cantidad de información en un formato comprensible y fácil de representar. Con TDA, existe una interpretación matemática cuando la información es un grupo de homología . En general, se asume que las características que persisten para un amplio rango de parámetros son características "verdaderas". Se presume que las características que persisten solo para un rango estrecho de parámetros son ruido, aunque la justificación teórica de esto no está clara. ^{[ 3 ]}

Los precursores del concepto completo de homología persistente aparecieron gradualmente con el tiempo. ^{[ 4 ]} En 1990, Patrizio Frosini introdujo una pseudodistancia entre subvariedades, y más tarde la función de tamaño , que en curvas unidimensionales es equivalente a la homología persistente de orden 0. ^{[ 5 ] [ 6 ]} Casi una década después, Vanessa Robins estudió las imágenes de homomorfismos inducidos por inclusión. ^{[ 7 ]} Finalmente, poco después, Herbert Edelsbrunner et al. introdujeron el concepto de homología persistente junto con un algoritmo eficiente y su visualización como un diagrama de persistencia. ^{[ 8 ]} Gunnar Carlsson et al. reformularon la definición inicial y dieron un método de visualización equivalente llamado códigos de barras de persistencia , ^{[ 9 ]} interpretando la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa. ^{[ 10 ]}

En topología algebraica, la homología persistente surgió gracias al trabajo de Sergey Barannikov sobre la teoría de Morse. El conjunto de valores críticos de la función de Morse suave se dividió canónicamente en pares "nacimiento-muerte", se clasificaron los complejos filtrados y sus invariantes, equivalentes a diagramas de persistencia y códigos de barras de persistencia, junto con el algoritmo eficiente para su cálculo, fueron descritos en 1994 por Barannikov bajo el nombre de formas canónicas. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

A continuación se presentan algunos conceptos de uso común. Cabe señalar que algunas definiciones pueden variar según el autor.

Una nube de puntos se define a menudo como un conjunto finito de puntos en algún espacio euclidiano , pero puede considerarse cualquier espacio métrico finito.

El complejo Čech de una nube de puntos es el nervio de la cubierta de bolas de radio fijo alrededor de cada punto de la nube.

Un módulo de persistencia indexado por es un espacio vectorial para cada , y una aplicación lineal siempre que , tal que para todo y siempre que ^{[ 13 ]} Una definición equivalente es un functor de considerado como un conjunto parcialmente ordenado a la categoría de espacios vectoriales. ${\displaystyle \mathbb {U} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle U_{t}}$${\displaystyle t\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle u_{t}^{s}\colon U_{s}\to U_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle u_{t}^{t}=1}$${\displaystyle t}$${\displaystyle u_{t}^{s}u_{s}^{r}=u_{t}^{r}}$${\displaystyle r\leq s\leq t.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

El grupo de homología persistente de una nube de puntos es el módulo de persistencia definido como , donde es el complejo de Čech del radio de la nube de puntos y es el grupo de homología. ${\displaystyle PH}$${\displaystyle PH_{k}(X)=\prod H_{k}(X_{r})}$${\displaystyle X_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{k}}$

Un código de barras de persistencia es un multiconjunto de intervalos en , y un diagrama de persistencia es un multiconjunto de puntos en ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle :=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u,v\geq 0,u\leq v\}}$

La distancia de Wasserstein entre dos diagramas de persistencia y se define como donde y abarca biyecciones entre y . Consulte la figura 3.1 en Munch ^{[ 14 ]} para una ilustración. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{p}[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\left[\sum _{x\in X}(\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q})^{p}\right]^{1/p}}$$${\displaystyle 1\leq p,q\leq \infty }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

La distancia de cuello de botella entre y es Este es un caso especial de distancia de Wasserstein, dejando . ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle W_{\infty }[L_{q}](X,Y):=\inf _{\varphi :X\to Y}\sup _{x\in X}\Vert x-\varphi (x)\Vert _{q}.}$$${\displaystyle p=\infty }$

El primer teorema de clasificación para la homología persistente apareció en 1994 ^{[ 11 ]} a través de las formas canónicas de Barannikov. El teorema de clasificación que interpreta la persistencia en el lenguaje del álgebra conmutativa apareció en 2005: ^{[ 10 ]} para un módulo de persistencia finitamente generado con coeficientes de campo, Intuitivamente, las partes libres corresponden a los generadores de homología que aparecen en el nivel de filtración y nunca desaparecen, mientras que las partes de torsión corresponden a aquellos que aparecen en el nivel de filtración y duran para pasos de la filtración (o equivalentemente, desaparecen en el nivel de filtración ). ^{[ 11 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle F}$$${\displaystyle H(C;F)\simeq \bigoplus _{i}x^{t_{i}}\cdot F[x]\oplus \left(\bigoplus _{j}x^{r_{j}}\cdot (F[x]/(x^{s_{j}}\cdot F[x]))\right).}$$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle r_{j}}$${\displaystyle s_{j}}$${\displaystyle s_{j}+r_{j}}$

La homología persistente se visualiza mediante un código de barras o diagrama de persistencia. El código de barras tiene su origen en las matemáticas abstractas. En concreto, la categoría de complejos filtrados finitos sobre un cuerpo es semisimple. Cualquier complejo filtrado es isomorfo a su forma canónica, que es una suma directa de complejos filtrados simples unidimensionales y bidimensionales.

La estabilidad es deseable porque proporciona robustez frente al ruido. Si es cualquier espacio que es homeomorfo a un complejo simplicial, y son funciones continuas mansas ^{[ 15 ]} , entonces los espacios vectoriales de persistencia y están finitamente presentados, y , donde se refiere a la distancia de cuello de botella ^{[ 16 ]} y es el mapa que toma una función continua mansa al diagrama de persistencia de su -ésima homología. ${\displaystyle X}$${\displaystyle f,g:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \{H_{k}(f^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle \{H_{k}(g^{-1}([0,r]))\}}$${\displaystyle W_{\infty }(D(f),D(g))\leq \lVert f-g\rVert _{\infty }}$${\displaystyle W_{\infty }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle k}$

El flujo de trabajo básico en TDA es: ^{[ 17 ]}

1. Si es una nube de puntos, reemplácela con una familia anidada de complejos simpliciales (como el complejo de Čech o el de Vietoris-Rips). Este proceso convierte la nube de puntos en una filtración de complejos simpliciales. Tomando la homología de cada complejo en esta filtración se obtiene un módulo de persistencia.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X_{r}}$$${\displaystyle H_{i}(X_{r_{0}})\to H_{i}(X_{r_{1}})\to H_{i}(X_{r_{2}})\to \cdots }$$
2. Aplique el teorema de estructura para obtener los números de Betti persistentes , el diagrama de persistencia o, equivalentemente, el código de barras.

Gráficamente hablando,

El primer algoritmo sobre todos los campos para la homología persistente en el contexto de la topología algebraica fue descrito por Barannikov ^{[ 11 ]} mediante la reducción a la forma canónica por matrices triangulares superiores. El algoritmo para la homología persistente sobre fue dado por Edelsbrunner et al. ^{[ 8 ]} Afra Zomorodian y Carlsson dieron el algoritmo práctico para calcular la homología persistente sobre todos los campos. ^{[ 10 ]} El libro de Edelsbrunner y Harer ofrece una guía general sobre topología computacional. ^{[ 19 ]}${\displaystyle F_{2}}$

Un problema que surge en la computación es la elección del complejo. El complejo de Čech y el complejo de Vietoris-Rips parecen los más naturales a primera vista; sin embargo, su tamaño crece rápidamente con el número de puntos de datos. Se prefiere el complejo de Vietoris-Rips al de Čech porque su definición es más sencilla y el complejo de Čech requiere un esfuerzo adicional para definirlo en un espacio métrico finito general. Se han estudiado métodos eficientes para reducir el coste computacional de la homología. Por ejemplo, el complejo α y el complejo testigo se utilizan para reducir la dimensión y el tamaño de los complejos. ^{[ 20 ]}

Recientemente, la teoría discreta de Morse ha demostrado ser prometedora para la homología computacional, ya que puede reducir un complejo simplicial dado a un complejo celular mucho más pequeño que es homotópico al original. ^{[ 21 ]} Esta reducción puede realizarse, de hecho, a medida que se construye el complejo utilizando la teoría de matroides , lo que conlleva mejoras adicionales en el rendimiento. ^{[ 22 ]} Otro algoritmo reciente ahorra tiempo al ignorar las clases de homología con baja persistencia. ^{[ 23 ]}

Existen varios paquetes de software disponibles, como javaPlex , Dionysus , Perseus , PHAT , DIPHA , GUDHI , Ripser y TDAstats . Otter et al. ^{[ 24 ]} realizan una comparación entre estas herramientas. Giotto-tda es un paquete de Python dedicado a integrar TDA en el flujo de trabajo de aprendizaje automático mediante una API de scikit-learn [1] . El paquete de R TDA es capaz de calcular conceptos de reciente invención como el paisaje y el estimador de distancia del kernel ^{[ 25 ]} . Topology ToolKit está especializado en datos continuos definidos en variedades de baja dimensión (1, 2 o 3), como las que se encuentran típicamente en la visualización científica . Cubicle está optimizado para grandes datos de imágenes en escala de grises (de gigabytes) en dimensión 1, 2 o 3 utilizando complejos cúbicos y la teoría discreta de Morse . Otro paquete de R, TDAstats , utiliza la biblioteca Ripser para calcular la homología persistente ^{[ 26 ]} .

Es imposible visualizar directamente datos de alta dimensión. Se han desarrollado numerosos métodos para extraer una estructura de baja dimensión del conjunto de datos, como el análisis de componentes principales y el escalamiento multidimensional . ^{[ 27 ]} Sin embargo, es importante señalar que el problema en sí está mal planteado, ya que se pueden encontrar muchas características topológicas diferentes en el mismo conjunto de datos. Por lo tanto, el estudio de la visualización de espacios de alta dimensión es de vital importancia para el análisis topológico de datos (TDA), aunque no necesariamente implique el uso de homología persistente. No obstante, recientemente se han realizado intentos para utilizar la homología persistente en la visualización de datos. ^{[ 28 ]}

Carlsson et al. propusieron un método general llamado MAPPER . ^{[ 29 ]} Hereda la idea de Jean-Pierre Serre de que un recubrimiento preserva la homotopía. ^{[ 30 ]} Una formulación generalizada de MAPPER es la siguiente:

Sean y espacios topológicos y sea una aplicación continua. Sea una cubierta abierta finita de . La salida de MAPPER es el nervio de la cubierta de retroceso , donde cada preimagen se divide en sus componentes conexas. ^{[ 28 ]} Este es un concepto muy general, del cual el grafo de Reeb ^{[ 31 ]} y los árboles de fusión son casos especiales. ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f\colon X\to Z}$${\displaystyle \mathbb {U} =\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$${\displaystyle Z}$${\textstyle M(\mathbb {U} ,f):=N(f^{-1}(\mathbb {U} ))}$

Esta no es exactamente la definición original. ^{[ 29 ]} Carlsson et al. eligen ser o , y lo cubren con conjuntos abiertos tales que como máximo dos se intersecan. ^{[ 3 ]} Esta restricción significa que la salida tiene la forma de una red compleja . Debido a que la topología de una nube de puntos finita es trivial, se utilizan métodos de agrupamiento (como el enlace simple ) para producir el análogo de conjuntos conectados en la preimagen cuando MAPPER se aplica a datos reales. ${\displaystyle Z}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$

Matemáticamente hablando, MAPPER es una variación del grafo de Reeb . Si es como máximo unidimensional, entonces para cada , ^{[ 32 ]} La flexibilidad añadida también tiene desventajas. Un problema es la inestabilidad, ya que algún cambio en la elección de la cobertura puede conducir a un cambio importante en la salida del algoritmo. ^{[ 33 ]} Se ha trabajado para superar este problema. ^{[ 28 ]}${\textstyle M(\mathbb {U} ,f)}$${\displaystyle i\geq 0}$$${\displaystyle H_{i}(X)\simeq H_{0}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i})\oplus H_{1}(N(\mathbb {U} );{\hat {F}}_{i-1}).}$$

Tres aplicaciones exitosas de MAPPER se pueden encontrar en Carlsson et al. ^{[ 34 ]} Un comentario sobre las aplicaciones en este artículo de J. Curry es que "una característica común de interés en las aplicaciones es la presencia de brotes o zarcillos". ^{[ 35 ]}

Existe una implementación gratuita de MAPPER, escrita por Daniel Müllner y Aravindakshan Babu, disponible en línea . MAPPER también constituye la base de la plataforma de IA de Ayasdi.

La persistencia multidimensional es importante para TDA. El concepto surge tanto en la teoría como en la práctica. La primera investigación sobre persistencia multidimensional se realizó al inicio del desarrollo de TDA. ^{[ 36 ]} Carlsson-Zomorodian introdujo la teoría de la persistencia multidimensional en ^{[ 37 ]} y, en colaboración con Singh ^{[ 38 ],} introdujo el uso de herramientas del álgebra simbólica (métodos de base de Gröbner) para calcular módulos MPH. Su definición presenta la persistencia multidimensional con n parámetros como un módulo graduado sobre un anillo de polinomios en n variables. Herramientas del álgebra conmutativa y homológica se aplican al estudio de la persistencia multidimensional en el trabajo de Harrington-Otter-Schenck-Tillman. ^{[ 39 ]} La primera aplicación que aparece en la literatura es un método para la comparación de formas, similar a la invención de TDA. ^{[ 40 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$

La definición de un módulo de persistencia n -dimensional en es ^{[ 35 ]}${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• El espacio vectorial se asigna a cada punto en${\displaystyle V_{s}}$${\displaystyle s=(s_{1},\ldots ,s_{n})}$
• El mapa se asigna si (${\displaystyle \rho _{s}^{t}\colon V_{s}\to V_{t}}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle s_{i}\leq t_{i},i=1,\ldots ,n)}$
• Los mapas satisfacen a todos${\displaystyle \rho _{r}^{t}=\rho _{s}^{t}\circ \rho _{r}^{s}}$${\displaystyle r\leq s\leq t}$

Podría ser conveniente señalar que existen controversias sobre la definición de persistencia multidimensional. ^{[ 35 ]}

Una de las ventajas de la persistencia unidimensional es su representabilidad mediante un diagrama o código de barras. Sin embargo, no existen invariantes completos discretos de módulos de persistencia multidimensionales. ^{[ 41 ]} La razón principal de esto es que la estructura de la colección de indescomponibles se complica enormemente por el teorema de Gabriel en la teoría de las representaciones de carcaj, ^{[ 42 ]} aunque un módulo de persistencia n-dimensional finitamente generado puede descomponerse de forma única en una suma directa de indescomponibles debido al teorema de Krull-Schmidt. ^{[ 43 ]}

No obstante, se han establecido muchos resultados. Carlsson y Zomorodian introdujeron el invariante de rango , definido como el , en el que es un módulo n-graduado finitamente generado. En una dimensión, es equivalente al código de barras. En la literatura, el invariante de rango se suele denominar número de Betti persistente (PBN). ^{[ 19 ]} En muchos trabajos teóricos, los autores han utilizado una definición más restringida, análoga a la persistencia de conjuntos de subnivel. Específicamente, los números de Betti de persistencia de una función están dados por la función , tomando cada uno a , donde y . ${\displaystyle \rho _{M}(u,v)}$${\displaystyle \rho _{M}(u,v)=\mathrm {rank} (x^{u-v}\colon M_{u}\to M_{v})}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \beta _{f}\colon \Delta ^{+}\to \mathrm {N} }$${\displaystyle (u,v)\in \Delta ^{+}}$${\displaystyle \beta _{f}(u,v):=\mathrm {rank} (H(X(f\leq u)\to H(X(f\leq v)))}$${\displaystyle \Delta ^{+}:=\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{k}\times \mathbb {R} ^{k}:u\leq v\}}$${\displaystyle X(f\leq u):=\{x\in X:f(x)\leq u\}}$

Algunas propiedades básicas incluyen la monotonicidad y el salto diagonal. ^{[ 44 ]} Los números de Betti persistentes serán finitos si es un subespacio compacto y localmente contraíble de . ^{[ 45 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Utilizando un método de foliación, las PBN k-dim se pueden descomponer en una familia de PBN 1-dim por deducción de dimensionalidad. ^{[ 46 ]} Este método también ha llevado a una prueba de que las PBN multi-dim son estables. ^{[ 47 ]} Las discontinuidades de las PBN solo ocurren en puntos donde o es un punto discontinuo de o es un punto discontinuo de bajo el supuesto de que y es un espacio topológico compacto y triangulable. ^{[ 48 ]}${\displaystyle (u,v)(u\leq v)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \rho _{M}(\star ,v)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \rho (u,\star )}$${\displaystyle f\in C^{0}(X,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle X}$

El espacio persistente, una generalización del diagrama persistente, se define como el multiconjunto de todos los puntos con multiplicidad mayor que 0 y la diagonal. ^{[ 49 ]} Proporciona una representación estable y completa de las PBN. Un trabajo en curso de Carlsson et al. intenta dar una interpretación geométrica de la homología persistente, lo que podría proporcionar información sobre cómo combinar la teoría del aprendizaje automático con el análisis topológico de datos. ^{[ 50 ]}

El primer algoritmo práctico para calcular la persistencia multidimensional se inventó muy pronto. ^{[ 51 ]} Después de eso, se han propuesto muchos otros algoritmos, basados ​​en conceptos como la teoría discreta de Morse ^{[ 52 ]} y la estimación de muestras finitas. ^{[ 53 ]}

El paradigma estándar en TDA se suele denominar persistencia de subnivel . Además de la persistencia multidimensional, se han realizado numerosos trabajos para extender este caso particular.

Los mapas no nulos en el módulo de persistencia están restringidos por la relación de preorden en la categoría. Sin embargo, los matemáticos han descubierto que la unanimidad de la dirección no es esencial para muchos resultados. "El punto filosófico es que la teoría de descomposición de las representaciones de grafos es algo independiente de la orientación de las aristas del grafo". ^{[ 54 ]} La persistencia en zigzag es importante desde el punto de vista teórico. Los ejemplos dados en el artículo de revisión de Carlsson para ilustrar la importancia de la funtorialidad comparten algunas de sus características. ^{[ 3 ]}

Existen algunos intentos de flexibilizar la restricción más estricta de la función. ^{[ 55 ]} Consulte las secciones Categorización y cohaces e Impacto en las matemáticas para obtener más información.

Es natural extender la homología de persistencia a otros conceptos básicos de la topología algebraica, como la cohomología y la homología/cohomología relativa. ^{[ 56 ]} Una aplicación interesante es el cálculo de coordenadas circulares para un conjunto de datos mediante el primer grupo de cohomología persistente. ^{[ 57 ]}

La homología de persistencia normal estudia funciones de valor real. El mapa de valores circulares podría ser útil, "la teoría de persistencia para mapas de valores circulares promete desempeñar el papel para algunos campos vectoriales como lo hace la teoría de persistencia estándar para campos escalares", como se comenta en Dan Burghelea et al. ^{[ 58 ].} La principal diferencia es que las celdas de Jordan (muy similares en formato a los bloques de Jordan en álgebra lineal) no son triviales en funciones de valores circulares, que serían cero en el caso de valores reales, y la combinación con códigos de barras da los invariantes de un mapa manso, bajo condiciones moderadas. ^{[ 58 ]}

Dos técnicas que utilizan son la teoría de Morse-Novikov ^{[ 59 ]} y la teoría de representación gráfica. ^{[ 60 ]} Resultados más recientes se pueden encontrar en D. Burghelea et al. ^{[ 61 ]} Por ejemplo, el requisito de mansedumbre puede ser reemplazado por la condición mucho más débil, continua.

La demostración del teorema de estructura se basa en que el dominio base sea un cuerpo, por lo que no se han realizado muchos intentos en homología de persistencia con torsión. Frosini definió una pseudométrica en este módulo específico y demostró su estabilidad. ^{[ 62 ]} Una de sus novedades es que no depende de ninguna teoría de clasificación para definir la métrica. ^{[ 63 ]}

Una ventaja de la teoría de categorías es su capacidad para elevar los resultados concretos a un nivel superior, mostrando relaciones entre objetos aparentemente no conectados. Peter Bubenik et al. ^{[ 64 ]} ofrece una breve introducción a la teoría de categorías adaptada al TDA.

La teoría de categorías es el lenguaje del álgebra moderna y se ha utilizado ampliamente en el estudio de la geometría algebraica y la topología. Se ha señalado que "la observación clave de ^{[ 10 ]} es que el diagrama de persistencia producido por ^{[ 8 ]} depende únicamente de la estructura algebraica que contiene este diagrama". ^{[ 65 ]} El uso de la teoría de categorías en TDA ha demostrado ser fructífero. ^{[ 64 ] [ 65 ]}

Siguiendo las notaciones hechas en Bubenik et al., ^{[ 65 ]} la categoría de indexación es cualquier conjunto preordenado (no necesariamente o ), la categoría objetivo es cualquier categoría (en lugar de la comúnmente utilizada ), y los functores se denominan módulos de persistencia generalizados en , sobre . ${\textstyle P}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle D}$${\textstyle \mathrm {Vect} _{\mathbb {F} }}$${\textstyle P\to D}$${\displaystyle D}$${\textstyle P}$

Una ventaja de usar la teoría de categorías en TDA es una comprensión más clara de los conceptos y el descubrimiento de nuevas relaciones entre las demostraciones. Tomemos dos ejemplos para ilustrarlo. La comprensión de la correspondencia entre entrelazamiento y emparejamiento es de gran importancia, ya que el emparejamiento ha sido el método utilizado al principio (modificado de la teoría de Morse). Un resumen de los trabajos se puede encontrar en Vin de Silva et al. ^{[ 66 ]} Muchos teoremas se pueden demostrar mucho más fácilmente en un entorno más intuitivo. ^{[ 63 ]} Otro ejemplo es la relación entre la construcción de diferentes complejos a partir de nubes de puntos. Se ha observado desde hace tiempo que los complejos de Čech y Vietoris-Rips están relacionados. Específicamente, . ^{[ 67 ]} La relación esencial entre los complejos de Čech y Rips se puede ver mucho más claramente en el lenguaje categórico. ^{[ 66 ]}${\displaystyle V_{r}(X)\subset C_{{\sqrt {2}}r}(X)\subset V_{2r}(X)}$

El lenguaje de la teoría de categorías también ayuda a expresar los resultados en términos reconocibles para la comunidad matemática en general. La distancia de cuello de botella se usa ampliamente en TDA debido a los resultados sobre estabilidad con respecto a la distancia de cuello de botella. ^{[ 13 ] [ 16 ]} De hecho, la distancia de entrelazado es el objeto terminal en una categoría de poset de métricas estables en módulos de persistencia multidimensionales en un cuerpo primo . ^{[ 63 ] [ 68 ]}

Los haces , un concepto central en la geometría algebraica moderna , están intrínsecamente relacionados con la teoría de categorías. En términos generales, los haces son la herramienta matemática para comprender cómo la información local determina la información global. Justin Curry considera la persistencia de conjuntos de nivel como el estudio de fibras de funciones continuas. Los objetos que estudia son muy similares a los de MAPPER, pero con la teoría de haces como fundamento teórico. ^{[ 35 ]} Aunque ningún avance en la teoría de TDA ha utilizado aún la teoría de haces, resulta prometedor, ya que existen muchos teoremas hermosos en geometría algebraica relacionados con ella. Por ejemplo, una pregunta teórica natural es si diferentes métodos de filtrado dan como resultado el mismo resultado. ^{[ 69 ]}

La estabilidad es de vital importancia para el análisis de datos, ya que los datos reales contienen ruido. Mediante el uso de la teoría de categorías, Bubenik et al. han distinguido entre teoremas de estabilidad suaves y duros, y han demostrado que los casos suaves son formales. ^{[ 65 ]} Específicamente, el flujo de trabajo general de TDA es

El teorema de estabilidad suave afirma que es Lipschitz continuo , y el teorema de estabilidad dura afirma que es Lipschitz continuo. ${\displaystyle HF}$${\displaystyle J}$

La distancia de cuello de botella se usa ampliamente en TDA. El teorema de isometría afirma que la distancia de entrelazamiento es igual a la distancia de cuello de botella. ^{[ 63 ]} Bubenik et al. han abstraído la definición a aquella entre functores cuando está equipada con una proyección sublineal o una familia superlineal, en la que aún permanece una pseudométrica. ^{[ 65 ]} Considerando los magníficos caracteres de la distancia de entrelazamiento, ^{[ 70 ]} aquí introducimos la definición general de distancia de entrelazamiento (en lugar de la primera introducida): ^{[ 13 ]} Sea (una función de a que es monótona y satisface para todo ). Un -entrelazado entre F y G consiste en transformaciones naturales y , tales que y . ${\displaystyle d_{I}}$${\displaystyle F,G\colon P\to D}$${\textstyle P}$${\displaystyle \Gamma ,K\in \mathrm {Trans_{P}} }$${\textstyle P}$${\textstyle P}$${\displaystyle x\leq \Gamma (x)}$${\textstyle x\in P}$${\displaystyle (\Gamma ,K)}$${\displaystyle \varphi \colon F\Rightarrow G\Gamma }$${\displaystyle \psi \colon G\Rightarrow FK}$${\displaystyle (\psi \Gamma )=\varphi F\eta _{K\Gamma }}$${\displaystyle (\varphi \Gamma )=\psi G\eta _{\Gamma K}}$

Los dos resultados principales son ^{[ 65 ]}

• Sea un conjunto preordenado con una proyección sublineal o una familia superlineal. Sea un functor entre categorías arbitrarias . Entonces, para cualesquiera dos functores , tenemos .${\textstyle P}$${\textstyle H:D\to E}$${\textstyle D,E}$${\textstyle F,G\colon P\to D}$${\textstyle d_{I}(HF,HG)\leq d_{I}(F,G)}$
• Sea un conjunto parcialmente ordenado de un espacio métrico , y un espacio topológico. Y sean (no necesariamente continuas) funciones, y sea el diagrama de persistencia correspondiente. Entonces .${\textstyle P}$${\textstyle Y}$${\textstyle X}$${\textstyle f,g\colon X\to Y}$${\textstyle F,G}$${\displaystyle d_{I}(F,G)\leq d_{\infty }(f,g):=\sup _{x\in X}d_{Y}(f(x),g(x))}$

Estos dos resultados resumen muchos resultados sobre la estabilidad de diferentes modelos de persistencia.

Para el teorema de estabilidad de la persistencia multidimensional, consulte la subsección de persistencia.

El teorema de estructura es de vital importancia para TDA; como comentó G. Carlsson, "lo que hace que la homología sea útil como discriminador entre espacios topológicos es el hecho de que existe un teorema de clasificación para grupos abelianos finitamente generados". ^{[ 3 ]} (véase el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados ).

El argumento principal utilizado en la demostración del teorema de estructura original es el teorema de estructura estándar para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . ^{[ 10 ]} Sin embargo, este argumento falla si el conjunto de indexación es . ^{[ 3 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$

En general, no todo módulo de persistencia puede descomponerse en intervalos. ^{[ 71 ]} Se han realizado muchos intentos para relajar las restricciones del teorema de estructura original. El caso de módulos de persistencia puntualmente finitos dimensionales indexados por un subconjunto localmente finito de se resuelve basándose en el trabajo de Webb. ^{[ 72 ]} El resultado más notable es el de Crawley-Boevey, que resolvió el caso de . El teorema de Crawley-Boevey establece que cualquier módulo de persistencia puntualmente finito dimensional es una suma directa de módulos de intervalo. ^{[ 73 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Para comprender la definición de su teorema, es necesario introducir algunos conceptos. Un intervalo en se define como un subconjunto que tiene la propiedad de que si y si existe un tal que , entonces también . Un módulo de intervalo asigna a cada elemento el espacio vectorial y asigna el espacio vectorial cero a los elementos en . Todas las aplicaciones son la aplicación cero, a menos que y , en cuyo caso es la aplicación identidad. ^{[ 35 ]} Los módulos de intervalo son indescomponibles. ^{[ 74 ]}${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle r,t\in I}$${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$${\displaystyle r\leq s\leq t}$${\displaystyle s\in I}$${\displaystyle k_{I}}$${\displaystyle s\in I}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbb {R} \setminus I}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s,t\in I}$${\displaystyle s\leq t}$${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$

Aunque el resultado de Crawley-Boevey es un teorema muy potente, aún no se extiende al caso q-manso. ^{[ 71 ]} Un módulo de persistencia es q-manso si el rango de es finito para todo . Hay ejemplos de módulos de persistencia q-mansos que no son puntualmente finitos. ^{[ 75 ]} Sin embargo, resulta que un teorema de estructura similar sigue siendo válido si se eliminan las características que existen solo en un valor de índice. ^{[ 74 ]} Esto se cumple porque las partes de dimensión infinita en cada valor de índice no persisten, debido a la condición de rango finito. ^{[ 76 ]} Formalmente, la categoría observable se define como , en la que denota la subcategoría completa de cuyos objetos son los módulos efímeros ( siempre que ). ^{[ 74 ]}${\displaystyle \rho _{s}^{t}}$${\displaystyle s<t}$${\displaystyle \mathrm {Ob} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} /\mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Eph} }$${\displaystyle \mathrm {Pers} }$${\displaystyle \rho _{s}^{t}=0}$${\displaystyle s<t}$

Tenga en cuenta que los resultados extendidos que se enumeran aquí no se aplican a la persistencia en zigzag, ya que el análogo de un módulo de persistencia en zigzag no es inmediatamente obvio. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los datos reales son siempre finitos, por lo que su estudio requiere tener en cuenta la estocasticidad. El análisis estadístico nos permite separar las características verdaderas de los datos de los artefactos introducidos por el ruido aleatorio. La homología persistente no posee un mecanismo inherente para distinguir entre características de baja y alta probabilidad.

Una forma de aplicar la estadística al análisis de datos topológicos es estudiar las propiedades estadísticas de las características topológicas de las nubes de puntos. El estudio de los complejos simpliciales aleatorios ofrece algunas claves para comprender la topología estadística. Katharine Turner et al. ^{[ 77 ]} ofrece un resumen de trabajos en esta línea.

Una segunda forma es estudiar las distribuciones de probabilidad en el espacio de persistencia. El espacio de persistencia es , donde es el espacio de todos los códigos de barras que contienen exactamente intervalos y las equivalencias son si . ^{[ 78 ]} Este espacio es bastante complicado; por ejemplo, no es completo bajo la métrica de cuello de botella. El primer intento realizado para estudiarlo es por Yuriy Mileyko et al. ^{[ 79 ]} El espacio de diagramas de persistencia en su artículo se define como donde es la línea diagonal en . Una propiedad interesante es que es completo y separable en la métrica de Wasserstein . La esperanza, la varianza y la probabilidad condicional se pueden definir en el sentido de Fréchet . Esto permite que muchas herramientas estadísticas se porten a TDA. Los trabajos sobre la prueba de significancia de hipótesis nula , ^{[ 80 ]} intervalos de confianza , ^{[ 81 ]} y estimaciones robustas ^{[ 82 ]} son ​​pasos notables. ${\displaystyle B_{\infty }}$${\displaystyle \coprod _{n}B_{n}/{\backsim }}$${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n},y_{n}]\}\backsim \{[x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}],\ldots ,[x_{n-1},y_{n-1}]\}}$${\displaystyle x_{n}=y_{n}}$${\displaystyle D_{p}}$$${\displaystyle D_{p}:=\left\{d\mid \sum _{x\in d}\left(2\inf _{y\in \Delta }\lVert x-y\rVert \right)^{p}<\infty \right\}}$$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle D_{p}}$${\displaystyle W_{p}(u,v)=\left(\inf _{\gamma \in \Gamma (u,v)}\int _{\mathbb {X} \times \mathbb {X} }\rho ^{p}(x,y)\,\mathrm {d} \gamma (x,y)\right)^{1/p}}$

Una tercera forma es considerar la cohomología del espacio probabilístico o sistemas estadísticos directamente, llamados estructuras de información y que consisten básicamente en la tripleta ( ), espacio muestral , variables aleatorias y leyes de probabilidad. ^{[ 83 ] [ 84 ]} Las variables aleatorias se consideran particiones de las n probabilidades atómicas (vistas como un (n-1)-símplex de probabilidad, ) en la red de particiones ( ). Las variables aleatorias o módulos de funciones medibles proporcionan los complejos de cocadenas mientras que la cofrontera se considera como el álgebra homológica general descubierta por primera vez por Gerhard Hochschild con una acción izquierda que implementa la acción de condicionamiento. La primera condición de cociclo corresponde a la regla de la cadena de la entropía, lo que permite derivar de forma única salvo la constante multiplicativa, la entropía de Shannon como la primera clase de cohomología. La consideración de una acción izquierda deformada generaliza el marco a las entropías de Tsallis. La cohomología de la información es un ejemplo de topos anillado. La información mutua k-multivariada aparece en expresiones de cofronteras, y su anulación, relacionada con la condición de cociclo, da condiciones equivalentes para la independencia estadística. ^{[ 85 ]} Los mínimos de información mutua, también llamados sinergia, dan lugar a configuraciones de independencia interesantes análogas a los enlaces homotópicos. Debido a su complejidad combinatoria, solo se ha investigado el subcaso simplicial de la cohomología y de la estructura de información en datos. Aplicadas a datos, estas herramientas cohomológicas cuantifican dependencias e independencias estadísticas, incluyendo cadenas de Markov e independencia condicional , en el caso multivariado. ^{[ 86 ]} Cabe destacar que la información mutua generaliza el coeficiente de correlación y la covarianza a dependencias estadísticas no lineales. Estos enfoques se desarrollaron de forma independiente y solo indirectamente relacionados con los métodos de persistencia, pero pueden entenderse aproximadamente en el caso simplicial utilizando el Teorema de Hu Kuo Tin que establece una correspondencia biunívoca entre las funciones de información mutua y la función finita medible de un conjunto con operador de intersección, para construir el esqueleto complejo de Čech . La cohomología de la información ofrece cierta interpretación y aplicación directa en términos de neurociencia (teoría del ensamblaje neuronal y cognición cualitativa ^{[ 87 ]} ), física estadística y redes neuronales profundas para las cuales la estructura y el algoritmo de aprendizaje están impuestos por el complejo de variables aleatorias y la regla de la cadena de información ^.${\displaystyle \Omega ,\Pi ,P}$${\displaystyle |\Omega |=n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$^{88 ]}

Los paisajes de persistencia, introducidos por Peter Bubenik, son una forma diferente de representar códigos de barras, más adecuada para el análisis estadístico. ^{[ 89 ]} El paisaje de persistencia de un módulo persistente se define como una función , , donde denota la recta real extendida y . El espacio de paisajes de persistencia es muy bueno: hereda todas las buenas propiedades de la representación de códigos de barras (estabilidad, fácil representación, etc.), pero las cantidades estadísticas se pueden definir fácilmente, y algunos problemas en el trabajo de Y. Mileyko et al., como la no unicidad de las expectativas, ^{[ 79 ]} se pueden superar. Hay algoritmos efectivos para el cálculo con paisajes de persistencia disponibles. ^{[ 90 ]} Otro enfoque es usar la persistencia revisada, que es la persistencia de imagen, kernel y cokernel. ^{[ 91 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda :\mathbb {N} \times \mathbb {R} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \lambda (k,t):=\sup(m\geq 0\mid \beta ^{t-m,t-m}\geq k)}$${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle \beta ^{a,b}=\mathrm {dim} (\mathrm {im} (M(a\leq b)))}$

Existen varias formas de clasificar las aplicaciones de TDA. Quizás la más natural sea por campo. Una lista muy incompleta de aplicaciones exitosas incluye ^{[ 92 ]} esqueletización de datos, ^{[ 93 ]} estudio de formas, ^{[ 94 ]} reconstrucción de gráficos, ^{[ 95 ] [ 96 ] [ 97 ] [ 98 ] [ 99 ]} análisis de imágenes, ^{[ 100 ] [ 101 ]} material, ^{[ 102 ] [ 103 ]} análisis de progresión de enfermedades, ^{[ 104 ] [ 105 ]} red de sensores, ^{[ 67 ]} análisis de señales, ^{[ 106 ]} red cósmica, ^{[ 107 ]} red compleja, ^{[ 108 ] [ 109 ] [ 110 ] [ 111 ]} geometría fractal, ^{[ 112 ]} evolución viral, ^{[ 113 ]} propagación de contagios en redes, ^{[ 114 ]} clasificación de bacterias mediante espectroscopia molecular, ^{[ 115 ]} microscopía de superresolución, ^{[ 116 ]} Imágenes hiperespectrales en fisicoquímica, ^{[ 117 ]} teledetección, ^{[ 118 ]} selección de características, ^{[ 119 ]} y señales de alerta temprana de crisis financieras. ^{[ 120 ]}

Otra forma es distinguiendo las técnicas de G. Carlsson, ^{[ 78 ]}

Una de ellas consiste en el estudio de invariantes homológicas de datos en conjuntos de datos individuales, y la otra en el uso de invariantes homológicas en el estudio de bases de datos donde los propios puntos de datos tienen una estructura geométrica.

El análisis topológico de datos y la homología persistente han tenido un impacto en la teoría de Morse . ^{[ 121 ]} La teoría de Morse ha desempeñado un papel muy importante en la teoría del TDA, incluso en la computación. Algunos trabajos en homología persistente han extendido los resultados sobre las funciones de Morse a funciones domesticadas o, incluso, a funciones continuas. Un resultado olvidado de R. Deheuvels, mucho antes de la invención de la homología persistente, extiende la teoría de Morse a todas las funciones continuas. ^{[ 122 ]}

Un resultado reciente es que la categoría de grafos de Reeb es equivalente a una clase particular de cohaz. ^{[ 123 ]} Esto está motivado por trabajos teóricos en TDA, ya que el grafo de Reeb está relacionado con la teoría de Morse y MAPPER se deriva de ella. La demostración de este teorema se basa en la distancia de entrelazamiento.

La homología persistente está estrechamente relacionada con las secuencias espectrales . ^{[ 124 ] [ 125 ]} En particular, el algoritmo que transforma un complejo filtrado en su forma canónica ^{[ 11 ]} permite un cálculo mucho más rápido de las secuencias espectrales que el procedimiento estándar de calcular grupos página por página. La persistencia en zigzag podría resultar de importancia teórica para las secuencias espectrales. ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$

La base de datos de usos originales y no teóricos de la topología (DONUT) es una base de datos de artículos académicos que presentan aplicaciones prácticas del análisis de datos topológicos en diversas áreas de la ciencia. DONUT fue creada en 2017 por Barbara Giunti, Janis Lazovskis y Bastian Rieck, ^{[ 126 ]} y, a octubre de 2023, contenía 447 artículos. ^{[ 127 ]} DONUT apareció en el número de noviembre de 2023 de Notices of the American Mathematical Society . ^{[ 128 ]}

La propiedad de estabilidad de las características topológicas ante pequeñas perturbaciones se ha aplicado para hacer que las redes neuronales gráficas sean robustas frente a adversarios. Arafat et al. ^{[ 129 ]} propusieron un marco de robustez que integra sistemáticamente representaciones de características gráficas topológicas locales y globales, cuyo impacto se controla mediante la pérdida topológica regularizada robusta. Dado el presupuesto del atacante, derivaron garantías de estabilidad en las representaciones de nodos, estableciendo una conexión importante entre la estabilidad topológica y el aprendizaje automático adversario .

• Reducción de dimensionalidad
• minería de datos
• visión por computadora
• Topología computacional
• Teoría discreta de Morse
• Análisis de formas (geometría digital)
• teoría del tamaño
• Topología algebraica
• aprendizaje profundo topológico