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Gráfico de Reeb

Gráfico de Reeb de la función de altura en el toro. Un grafo de Reeb [ 1 ] (nombrado en honor a Georges Reeb por René Thom ) es un objeto matemático que refleja la evolución de ...

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Gráfico de Reeb de la función de altura en el toro.

Un grafo de Reeb [ 1 ] (nombrado en honor a Georges Reeb por René Thom ) es un objeto matemático que refleja la evolución de los conjuntos de nivel de una función de valor real en una variedad . [ 2 ] Un concepto similar fue introducido por GM Adelson-Velskii y AS Kronrod y aplicado al análisis del decimotercer problema de Hilbert . [ 3 ] [ 4 ] Propuestos por G. Reeb como una herramienta en la teoría de Morse , [ 5 ] los grafos de Reeb son la herramienta natural para estudiar relaciones funcionales multivaluadas entre campos escalares 2D , , y que surgen de las condiciones y , porque estas relaciones son univaluadas cuando se restringen a una región asociada con una arista individual del grafo de Reeb. Este principio general se utilizó por primera vez para estudiar superficies neutras en oceanografía . [ 6 ]ψ{\displaystyle \psi }λ{\displaystyle \lambda }ϕ{\displaystyle \phi }∇ψ=λ∇ϕ{\displaystyle \nabla \psi =\lambda \nabla \phi }λ≠0{\displaystyle \lambda \neq 0}

Los grafos de Reeb también han encontrado una amplia variedad de aplicaciones en geometría computacional y gráficos por computadora , [ 1 ] [ 7 ] incluyendo diseño geométrico asistido por computadora , coincidencia de formas basada en topología , [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] análisis de datos topológicos , [ 11 ] simplificación y limpieza topológica, segmentación de superficies [ 12 ] y parametrización, cálculo eficiente de conjuntos de nivel, neurociencia , [ 13 ] y termodinámica geométrica . [ 3 ] En un caso especial de una función en un espacio plano (técnicamente un dominio simplemente conexo), el grafo de Reeb forma un poliárbol y también se llama árbol de contorno . [ 14 ]

Los gráficos de conjuntos de nivel ayudan a la inferencia estadística relacionada con la estimación de funciones de densidad de probabilidad y funciones de regresión , y pueden utilizarse en análisis de clústeres y optimización de funciones , entre otras cosas. [ 15 ]

Definición formal

Dado un espacio topológico X y una función continua f : X → R , definimos una relación de equivalencia ~ en X donde p ~ q siempre que p y q pertenezcan a la misma componente conexa de un único conjunto de nivel f − 1 ( c ) para algún c real . El grafo de Reeb es el espacio cociente X /~ dotado de la topología cociente .    

En general, este espacio cociente no tiene la estructura de un grafo finito. Incluso para una función suave en una variedad suave, el grafo de Reeb puede no ser unidimensional e incluso no ser un espacio de Hausdorff . [ 16 ]

De hecho, la compacidad de la variedad es crucial: el grafo de Reeb de una función suave en una variedad cerrada es un continuo de Peano unidimensional que es homotópicamente equivalente a un grafo finito. [ 16 ] En particular, el grafo de Reeb de una función suave en una variedad cerrada con un número finito de valores críticos —que es el caso de las funciones de Morse , las funciones de Morse-Bott o las funciones con puntos críticos aislados— tiene la estructura de un grafo finito. [ 17 ]

Estructura del grafo de Reeb definida por una función suave

Sea una función suave en una variedad cerrada . La estructura del grafo de Reeb depende tanto de la variedad como de la clase de la función .F:METRO→R{\displaystyle f:M\to {\mathbb {R} }}METRO{\displaystyle M}RF{\displaystyle R_{f}}METRO{\displaystyle M}F{\displaystyle f}

El primer número de Betti del gráfico de Reeb

Dado que para una función suave en una variedad cerrada, el grafo de Reeb es unidimensional, [ 16 ] consideramos solo su primer número de Betti ; si tiene la estructura de un grafo finito, entonces es el rango cíclico de este grafo. Se cumple una cota superior [ 18 ] [ 16 ]RF{\displaystyle R_{f}}b1(RF){\displaystyle b_{1}(R_{f})}RF{\displaystyle R_{f}}b1(RF){\displaystyle b_{1}(R_{f})}

b1(RF)≤dooranortek(π1(METRO)){\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq corank(\pi _{1}(M))},

donde es el correxango del grupo fundamental de la variedad. Si , esta cota es ajustada incluso en la clase de funciones de Morse simples . [ 19 ]dooranortek(π1(METRO)){\displaystyle corank(\pi _{1}(M))}oscuro⁡METRO≥3{\displaystyle \dim M\geq 3}

Si , para funciones suaves esta cota también es ajustada, y en términos del género de la superficie la cota se puede reescribir como oscuro⁡METRO=2{\displaystyle \dim M=2}gramo{\displaystyle g}METRO2{\displaystyle M^{2}}b1(RF)≤{gramo,si METRO2 es orientable gramo/2,si METRO2 no es orientable .{\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g,&{\text{si }}M^{2}{\text{ es orientable }}\\g/2,&{\text{si }}M^{2}{\text{ no es orientable }}.\end{cases}}}

Si , para las funciones de Morse , hay una mejor cota para el rango del ciclo. Dado que para las funciones de Morse , el grafo de Reeb es un grafo finito, [ 17 ] denotamos por el número de vértices con grado 2 en . Entonces [ 20 ]oscuro⁡METRO=2{\displaystyle \dim M=2}RF{\displaystyle R_{f}}norte2{\displaystyle N_{2}}RF{\displaystyle R_{f}}b1(RF)≤{gramo−norte2,si METRO2 es orientable (gramo−norte2)/2,si METRO2 no es orientable .{\displaystyle b_{1}(R_{f})\leq {\begin{cases}g-N_{2},&{\text{si }}M^{2}{\text{ es orientable }}\\(g-N_{2})/2,&{\text{si }}M^{2}{\text{ no es orientable }}.\end{cases}}}

Bloques de hojas del gráfico de Reeb

Si es una función de Morse o Morse-Bott en una variedad cerrada , entonces su grafo de Reeb tiene la estructura de un grafo finito. [ 17 ] Este grafo finito tiene una estructura específica, a saber:F:METRO→R{\displaystyle f:M\to R}RF{\displaystyle R_{f}}

Descripción de las funciones Morse

Si es una función de Morse con valores críticos distintos , el grafo de Reeb se puede describir de forma más explícita. Sus nodos, o vértices, corresponden a los conjuntos de nivel críticos . El patrón en el que los arcos, o aristas, se encuentran en los nodos/vértices refleja el cambio en la topología del conjunto de nivel cuando pasa por el valor crítico . Por ejemplo, si es un mínimo o un máximo de , se crea o destruye un componente; en consecuencia, un arco se origina o termina en el nodo correspondiente, que tiene grado 1. Si es un punto de silla de índice 1 y dos componentes de se fusionan en cuando aumenta, el vértice correspondiente del grafo de Reeb tiene grado 3 y se parece a la letra "Y". El mismo razonamiento se aplica si el índice de es y un componente de se divide en dos.F{\displaystyle f}F−1(do){\displaystyle f^{-1}(c)}F−1(t){\displaystyle f^{-1}(t)}t{\displaystyle t}c{\displaystyle c}c{\displaystyle c}f{\displaystyle f}c{\displaystyle c}f−1(t){\displaystyle f^{-1}(t)}t=c{\displaystyle t=c}t{\displaystyle t}c{\displaystyle c}dimX−1{\displaystyle dimX-1}f−1(c){\displaystyle f^{-1}(c)}

Referencias

  1. 1 2 Y. Shinagawa, TL Kunii y YL Kergosien, 1991. Codificación de superficies basada en la teoría de Morse. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(5), pp.66-78
  2. ↑ Harish Doraiswamy, Vijay Natarajan, Algoritmos eficientes para el cálculo de grafos de Reeb , Geometría Computacional 42 (2009) 606–616
  3. 1 2 Gorban, Alexander N. (2013). "Árbol termodinámico: el espacio de caminos admisibles". SIAM Journal on Applied Dynamical Systems . 12 (1): 246– 278. arXiv : 1201.6315 . doi : 10.1137/120866919 . S2CID 5706376 . 
  4. ↑ GM Adelson-Velskii, AS Kronrod, Acerca de los conjuntos de nivel de funciones continuas con derivadas parciales, Dokl. Akad. Nauk SSSR, 49 (4) (1945), pp. 239–241.
  5. ^ G. Reeb, Sur les pointes singuliers d'une forme de Pfaff complètement intégrable ou d'une fonction numérique, CR Acad. Ciencia. París 222 (1946) 847–849
  6. ↑ Stanley, Geoffrey J. (junio de 2019). "Topología de superficie neutra". Ocean Modelling . 138 : 88–106 . arXiv : 1903.10091 . Bibcode : 2019OcMod.138...88S . doi : 10.1016/j.ocemod.2019.01.008 . S2CID 85502820 . 
  7. ↑ Y. Shinagawa y TL Kunii, 1991. Construcción automática de un gráfico de Reeb a partir de secciones transversales. IEEE Computer Graphics and Applications, 11(6), pp.44-51.
  8. ↑ Pascucci, Valerio; Scorzelli, Giorgio; Bremer, Peer-Timo; Mascarenhas, Ajith (2007). "Cálculo robusto en línea de grafos de Reeb: simplicidad y velocidad" (PDF) . ACM Transactions on Graphics . 26 (3): 58.1 – 58.9 . doi : 10.1145/1276377.1276449 .
  9. ↑ M. Hilaga, Y. Shinagawa, T. Kohmura y TL Kunii, agosto de 2001. Correspondencia topológica para la estimación de similitud totalmente automática de formas 3D. En Actas de la 28.ª conferencia anual sobre gráficos por computadora y técnicas interactivas (págs. 203-212). ACM.
  10. ↑ Tung, Tony; Schmitt, Francis (2005). "El enfoque de grafo Reeb multirresolución aumentado para la recuperación basada en contenido de formas 3D" . International Journal of Shape Modeling . 11 (1): 91– 120. doi : 10.1142/S0218654305000748 . Archivado del original el 16 de septiembre de 2016. Recuperado el 11 de mayo de 2011 .
  11. ↑ "el kit de herramientas de topología" .
  12. ↑ Hajij, Mustafa; Rosen, Paul (2020). "Un algoritmo de gráfico Reeb paralelo de recuperación de datos eficiente" . Algoritmos . 13 (10): 258. arXiv : 1810.08310 . doi : 10.3390/a13100258 .
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  15. ↑ Klemelä, Jussi (2018). "Métodos de árbol de conjunto de nivel". Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics . 10 (5) e1436. doi : 10.1002/wics.1436 . S2CID 58864566 . 
  16. 1 2 3 4 I. Gelbukh, 2024. Sobre la topología del grafo de Reeb. Publicationes Mathematicae Debrecen, 104(3-4), pp.343-365
  17. 1 2 3 O. Saeki, 2022. Espacios de Reeb de funciones suaves en variedades. Int. Math. Res. Not., 11, pp.8740-8768
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  19. ↑ LP Michalak, 2021. Modificaciones combinatorias de grafos de Reeb y el problema de realización. Discrete & Computational Geometry, 65, pp. 1038-1060
  20. ↑ LP Michalak, 2018. Realización de un gráfico como el gráfico de Reeb de una función de Morse en una variedad. Métodos topológicos en análisis no lineal, 52(2), pp.749-762
  21. ↑ I. Gelbukh, 2022. Criterio para que un grafo admita una buena orientación en términos de bloques hoja. Monatshefte für Mathematik, 198, pp. 61-77
  22. ^ I. Gelbukh, 2022. Realización de un gráfico como gráfico Reeb de un Morse-Bott o una función redonda. Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica, 59(1), págs.1-16
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