Matriz de Jordan

En la disciplina matemática de la teoría de matrices , una matriz de Jordan , llamada así en honor a Camille Jordan , es una matriz diagonal por bloques sobre un anillo R (cuyos elementos son el cero (0) y el uno (1) ), donde cada bloque a lo largo de la diagonal, llamado bloque de Jordan , tiene la siguiente forma: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\lambda &1\\0&0&0&0&\lambda \end{bmatrix}}.}$$

Cada bloque de Jordan se especifica por su dimensión n y su valor propio.${\displaystyle \lambda \in R}$y se denota como J _{λ, n} . Es un${\displaystyle n\times n}$matriz de ceros en todas partes excepto en la diagonal, que está llena de${\displaystyle \lambda }$y para la superdiagonal , que está compuesta de unos.

Cualquier matriz diagonal por bloques cuyos bloques sean bloques de Jordan se denomina matriz de Jordan . Esta matriz cuadrada ( n ₁ + ⋯ + n _r ) × ( n ₁ + ⋯ + n _r ) , que consta de r bloques diagonales, se puede indicar de forma compacta como${\displaystyle J_{\lambda _{1},n_{1}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{r},n_{r}}}$o${\displaystyle \mathrm {diag} \left(J_{\lambda _{1},n_{1}},\ldots ,J_{\lambda _{r},n_{r}}\right)}$, donde el i -ésimo bloque de Jordan es J _{λ i , n i} .

Por ejemplo, la matriz $${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|cc|cc|ccc}0&1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&i&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&i&0&0&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&i&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&i&0&0&0\\\hline 0&0&0&0&0&0&0&7&1&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&7&1\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&7\end{array}}\right]}$$ es una matriz de Jordan de 10 × 10 con un bloque de 3 × 3 con valor propio 0 , dos bloques de 2 × 2 con valor propio la unidad imaginaria i , y un bloque de 3 × 3 con valor propio  7. Su estructura de bloques de Jordan se escribe como${\displaystyle J_{0,3}\oplus J_{i,2}\oplus J_{i,2}\oplus J_{7,3}}$o diag( J _0,3 , J _{i ,2} , J _{i ,2} , J _7,3 ) .

Cualquier matriz cuadrada n × n A cuyos elementos están en un cuerpo algebraicamente cerrado K es similar a una matriz de Jordan J , también en${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(K)}$, que es única salvo una permutación de sus propios bloques diagonales. J se denomina forma normal de Jordan de A y corresponde a una generalización del procedimiento de diagonalización. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Una matriz diagonalizable es similar, de hecho, a un caso especial de matriz de Jordan: la matriz cuyos bloques son todos de 1 × 1. ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

De forma más general, dada una matriz de Jordan${\displaystyle J=J_{\lambda _{1},m_{1}}\oplus J_{\lambda _{2},m_{2}}\oplus \cdots \oplus J_{\lambda _{N},m_{N}}}$, es decir, cuyo k -ésimo bloque diagonal,${\displaystyle 1\leq k\leq N}$, es el bloque de Jordan J _{λ k , m k} y cuyos elementos diagonales${\displaystyle \lambda _{k}}$puede que no todos sean distintos, la multiplicidad geométrica de${\displaystyle \lambda \in K}$para la matriz J , indicada como${\displaystyle \operatorname {gmul} _{J}\lambda }$, corresponde al número de bloques de Jordan cuyo valor propio es λ . Mientras que el índice de un valor propio${\displaystyle \lambda }$para J , indicado como${\displaystyle \operatorname {idx} _{J}\lambda }$, se define como la dimensión del bloque de Jordan más grande asociado a ese valor propio.

Lo mismo ocurre con todas las matrices A similares a J , por lo que${\displaystyle \operatorname {idx} _{A}\lambda }$puede definirse en consecuencia con respecto a la forma normal de Jordan de A para cualquiera de sus autovalores${\displaystyle \lambda \in \operatorname {spec} A}$. En este caso se puede comprobar que el índice de${\displaystyle \lambda }$para A es igual a su multiplicidad como raíz del polinomio mínimo de A (mientras que, por definición, su multiplicidad algebraica para A ,${\displaystyle \operatorname {mul} _{A}\lambda }$, es su multiplicidad como raíz del polinomio característico de A ; es decir,${\displaystyle \det(A-xI)\in K[x]}$). Una condición necesaria y suficiente equivalente para que A sea diagonalizable en K es que todos sus autovalores tengan índice igual a 1 ; es decir, su polinomio mínimo tiene solo raíces simples.

Cabe señalar que conocer el espectro de una matriz con todas sus multiplicidades e índices algebraicos/geométricos no siempre permite calcular su forma normal de Jordan (esta condición puede ser suficiente solo para matrices espectralmente simples, generalmente de baja dimensión). De hecho, determinar la forma normal de Jordan suele ser una tarea computacionalmente compleja. Desde el punto de vista del espacio vectorial , la forma normal de Jordan equivale a encontrar una descomposición ortogonal (es decir, mediante sumas directas de autoespacios representados por bloques de Jordan) del dominio para el cual los autovectores generalizados asociados forman una base.

Dejar${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$(es decir, una matriz compleja n × n ) y${\displaystyle C\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$Sea A la matriz de cambio de base a la forma normal de Jordan ; es decir, A = C ⁻¹ JC . Ahora sea f ( z ) una función holomorfa en un conjunto abierto${\displaystyle \Omega }$de tal manera que${\displaystyle \mathrm {spec} A\subset \Omega \subseteq \mathbb {C} }$; es decir, el espectro de la matriz está contenido dentro del dominio de holomorfía de f . Sea $${\displaystyle f(z)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}(z-z_{0})^{h}}$$ sea ​​la expansión en serie de potencias de f alrededor${\displaystyle z_{0}\in \Omega \setminus \operatorname {spec} A}$, que en adelante se considerará igual a 0 por simplicidad. La matriz f ( A ) se define entonces mediante la siguiente serie de potencias formal.$${\displaystyle f(A)=\sum _{h=0}^{\infty }a_{h}A^{h}}$$ y es absolutamente convergente con respecto a la norma euclidiana de${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$Dicho de otra manera, f ( A ) converge absolutamente para toda matriz cuadrada cuyo radio espectral es menor que el radio de convergencia de f alrededor de 0 y es uniformemente convergente en cualquier subconjunto compacto de${\displaystyle \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$que satisface esta propiedad en la topología del grupo de Lie matricial .

La forma normal de Jordan permite el cálculo de funciones de matrices sin calcular explícitamente una serie infinita , lo cual es uno de los principales logros de las matrices de Jordan. Utilizando el hecho de que la k -ésima potencia (${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$) de una matriz de bloques diagonal es la matriz de bloques diagonal cuyos bloques son las potencias k de los bloques respectivos; es decir,${\displaystyle \left(A_{1}\oplus A_{2}\oplus A_{3}\oplus \cdots \right)^{k}=A_{1}^{k}\oplus A_{2}^{k}\oplus A_{3}^{k}\oplus \cdots }$y que A ^k = C ⁻¹ J ^k C , la serie de potencias de la matriz anterior se convierte en

$${\displaystyle f(A)=C^{-1}f(J)C=C^{-1}\left(\bigoplus _{k=1}^{N}f\left(J_{\lambda _{k},m_{k}}\right)\right)C}$$

donde la última serie no necesita ser calculada explícitamente a través de series de potencias de cada bloque de Jordan. De hecho, si${\displaystyle \lambda \in \Omega }$cualquier función holomorfa de un bloque de Jordan${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=f(\lambda I+Z)}$tiene una serie de potencias finita alrededor${\displaystyle \lambda I}$porque${\displaystyle Z^{n}=0}$. Aquí,${\displaystyle Z}$es la parte nilpotente de${\displaystyle J}$y${\displaystyle Z^{k}}$tiene todos 0 excepto 1 a lo largo de la${\displaystyle k^{\text{th}}}$superdiagonal. Por lo tanto, es la siguiente matriz triangular superior : $${\displaystyle f(J_{\lambda ,n})=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {f^{(k)}(\lambda )Z^{k}}{k!}}={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&{\frac {f^{\prime \prime }(\lambda )}{2}}&\cdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}&{\frac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}&{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&f(\lambda )&\cdots &{\frac {f^{(n-4)}(\lambda )}{(n-4)!}}&{\frac {f^{(n-3)}(\lambda )}{(n-3)!}}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &f(\lambda )&f^{\prime }(\lambda )\\0&0&0&\cdots &0&f(\lambda )\\\end{bmatrix}}.}$$

Como consecuencia de esto, el cálculo de cualquier función de una matriz es sencillo siempre que se conozcan su forma normal de Jordan y su matriz de cambio de base. Por ejemplo, utilizando${\displaystyle f(z)=1/z}$, lo contrario de${\displaystyle J_{\lambda ,n}}$es: $${\displaystyle J_{\lambda ,n}^{-1}=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-Z)^{k}}{\lambda ^{k+1}}}={\begin{bmatrix}\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\,\,\,\lambda ^{-3}&\cdots &-(-\lambda )^{1-n}&\,-(-\lambda )^{-n}\\0&\;\;\;\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}&\cdots &-(-\lambda )^{2-n}&-(-\lambda )^{1-n}\\0&0&\,\,\,\lambda ^{-1}&\cdots &-(-\lambda )^{3-n}&-(-\lambda )^{2-n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &\lambda ^{-1}&-\lambda ^{-2}\\0&0&0&\cdots &0&\lambda ^{-1}\\\end{bmatrix}}.}$$

Además, spec f ( A ) = f (spec A ) ; es decir, cada valor propio${\displaystyle \lambda \in \mathrm {spec} A}$corresponde al valor propio${\displaystyle f(\lambda )\in \operatorname {spec} f(A)}$, pero tiene, en general, diferente multiplicidad algebraica , multiplicidad geométrica e índice. Sin embargo, la multiplicidad algebraica se puede calcular de la siguiente manera: $${\displaystyle {\text{mul}}_{f(A)}f(\lambda )=\sum _{\mu \in {\text{spec}}A\cap f^{-1}(f(\lambda ))}~{\text{mul}}_{A}\mu .}$$

La función f ( T ) de una transformación lineal T entre espacios vectoriales puede definirse de forma similar según el cálculo funcional holomorfo , donde las teorías de espacios de Banach y superficies de Riemann desempeñan un papel fundamental. En el caso de espacios de dimensión finita, ambas teorías coinciden perfectamente.

Ahora supongamos que un sistema dinámico (complejo) se define simplemente mediante la ecuación $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A(\mathbf {c} )\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \mathbf {z}$ :\mathbb {R} _{+}\to {\mathcal {R}}} es la parametrización de curva ( n- dimensional) de una órbita en la superficie de Riemann.${\displaystyle {\mathcal {R}}}$del sistema dinámico, mientras que A ( c ) es una matriz compleja n × n cuyos elementos son funciones complejas de un parámetro d -dimensional.${\displaystyle \mathbf {c} \in \mathbb {C} ^{d}}$.

Incluso si${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}\left(\mathrm {C} ^{0}\left(\mathbb {C} ^{d}\right)\right)}$(es decir, A depende continuamente del parámetro c ) la forma normal de Jordan de la matriz se deforma continuamente en casi todas partes${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$pero, en general, no en todas partes: existe alguna subvariedad crítica de${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$En esta forma de Jordan, la estructura cambia abruptamente cuando el parámetro lo cruza o simplemente lo rodea ( monodromía ). Dichos cambios implican que varios bloques de Jordan (pertenecientes o no a diferentes autovalores) se unen para formar un único bloque de Jordan, o viceversa (es decir, un bloque de Jordan se divide en dos o más bloques distintos). Muchos aspectos de la teoría de bifurcación, tanto para sistemas dinámicos continuos como discretos, pueden interpretarse mediante el análisis de matrices de Jordan funcionales.

Desde la dinámica del espacio tangente , esto significa que la descomposición ortogonal del espacio de fases del sistema dinámico cambia y, por ejemplo, diferentes órbitas ganan periodicidad, o la pierden, o cambian de un cierto tipo de periodicidad a otro (como la duplicación de período , cf. mapa logístico ).

En una oración, el comportamiento cualitativo de dicho sistema dinámico puede cambiar sustancialmente como la deformación versal de la forma normal de Jordan de A ( c ) .

El ejemplo más simple de un sistema dinámico es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales con coeficientes constantes; es decir, sea${\displaystyle A\in \mathbb {M} _{n}(\mathbb {C} )}$y${\displaystyle \mathbf {z} _{0}\in \mathbb {C} ^{n}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {z} }}(t)&=A\mathbf {z} (t),\\\mathbf {z} (0)&=\mathbf {z} _{0},\end{aligned}}}$$ cuya solución directa en forma cerrada implica el cálculo de la exponencial de la matriz : $${\displaystyle \mathbf {z} (t)=e^{tA}\mathbf {z} _{0}.}$$

Otra forma, siempre que la solución esté restringida al espacio de Lebesgue local de campos vectoriales n -dimensionales${\displaystyle \mathbf {z} \in \mathrm {L} _{\mathrm {loc} }^{1}(\mathbb {R} _{+})^{n}}$, es utilizar su transformada de Laplace${\displaystyle \mathbf {Z} (s)={\mathcal {L}}[\mathbf {z} ](s)}$. En este caso $${\displaystyle \mathbf {Z} (s)=\left(sI-A\right)^{-1}\mathbf {z} _{0}.}$$

La función matricial ( A − sI ) ⁻¹ se denomina matriz resolvente del operador diferencial.${\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}-A}$Es meromorfo con respecto al parámetro complejo .${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ya que sus elementos de matriz son funciones racionales cuyo denominador es igual para todos a det( A − sI ) . Sus singularidades polares son los autovalores de A , cuyo orden es igual a su índice para ella; es decir,${\displaystyle \mathrm {ord} _{(A-sI)^{-1}}\lambda =\mathrm {idx} _{A}\lambda }$.

• descomposición de Jordan
• Jordan forma normal
• Cálculo funcional holomorfo
• exponencial matricial
• Logaritmo de una matriz
• Sistema dinámico
• teoría de la bifurcación
• Espacio de estados (controles)

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Golub, Gene H.; Van Loan, Charles F. (1996), Matrix Computations (3.ª  ed.), Baltimore: Johns Hopkins University Press , ISBN 0-8018-5414-8
• Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2.ª  ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646