Función de tamaño

Las funciones de tamaño son descriptores de forma, en un sentido geométrico/topológico. Son funciones del semiplano.${\displaystyle x<y}$a los números naturales, contando ciertos componentes conexos de un espacio topológico . Se utilizan en el reconocimiento de patrones y en topología .

En la teoría del tamaño , la función de tamaño${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N} }$asociado con el par de tamaños${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )}$se define de la siguiente manera. Para cada${\displaystyle (x,y)\in \Delta ^{+}}$,${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$es igual al número de componentes conexas del conjunto ${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq y\}}$que contienen al menos un punto en el que la función de medición (una función continua de un espacio topológico)${\displaystyle M}$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$^{[ 1 ] [ 2 ]} )${\displaystyle \varphi }$toma un valor menor o igual a${\displaystyle x}$ . ^{[ 3 ]} El concepto de función de tamaño se puede extender fácilmente al caso de una función de medición.${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}}$, dónde${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$está dotado del orden parcial usual. ^{[ 4 ]} Un estudio sobre funciones de tamaño (y teoría de tamaño ) se puede encontrar en. ^{[ 5 ]}

Las funciones de tamaño se introdujeron en ^{[ 6 ]} para el caso particular de${\displaystyle M}$igual al espacio topológico de todos los elementos por partes${\displaystyle C^{1}}$caminos cerrados en un${\displaystyle C^{\infty }}$variedad cerrada incrustada en un espacio euclidiano . Aquí la topología en${\displaystyle M}$es inducido por el ${\displaystyle C^{0}}$-norma, mientras que la función de medición${\displaystyle \varphi }$toma cada camino${\displaystyle \gamma \in M}$a su longitud. En ^{[ 7 ]} el caso de${\displaystyle M}$igual al espacio topológico de todos los ordenados${\displaystyle k}$Se considera la -tupla de puntos en una subvariedad de un espacio euclidiano. Aquí la topología en${\displaystyle M}$es inducido por la métrica${\displaystyle d((P_{1},\ldots ,P_{k}),(Q_{1}\ldots ,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_{i}-Q_{i}\|}$.

^{En [ 2 ]} se realizó una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica, donde se introdujo el concepto de grupo de homotopía de tamaño . Aquí, las funciones de medición toman valores en${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$^{Se permiten. En [ 8 ]} se introdujo una extensión a la teoría de homología (el functor de tamaño ). Los conceptos de grupo de homotopía de tamaño y functor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente ^{[ 9 ]} estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango del${\displaystyle 0}$-ésimo grupo de homología persistente , mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía .

Las funciones de tamaño se introdujeron inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en visión por computadora y reconocimiento de patrones , y constituyeron la semilla de la teoría del tamaño . ^{[ 3 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]} El punto principal es que las funciones de tamaño son invariantes para cualquier transformación que preserve la función de medición . Por lo tanto, se pueden adaptar a muchas aplicaciones diferentes, simplemente cambiando la función de medición para obtener la invariancia deseada. Además, las funciones de tamaño muestran propiedades de resistencia relativa al ruido, dependiendo del hecho de que distribuyen la información en todo el semiplano.${\displaystyle \Delta ^{+}}$.

Supongamos que${\displaystyle M}$es un espacio de Hausdorff compacto conectado localmente . Se cumplen las siguientes afirmaciones:

• función de cada tamaño${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$es una función no decreciente en la variable${\displaystyle x}$y una función no creciente en la variable${\displaystyle y}$.
• función de cada tamaño${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$es localmente constante por la derecha en ambas variables.
• por cada${\displaystyle x<y}$,${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$es finito.
• por cada${\displaystyle x<\min\varphi}$y cada${\displaystyle y>x}$,${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)=0}$.
• por cada${\displaystyle y\geq \max \varphi }$y cada${\displaystyle x<y}$,${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}(x,y)}$es igual al número de componentes conexas de${\displaystyle M}$en el cual el valor mínimo de${\displaystyle \varphi }$es menor o igual que${\displaystyle x}$.

Si también asumimos que${\displaystyle M}$es un colector cerrado liso y${\displaystyle \varphi }$es un${\displaystyle C^{1}}$-función, se cumple la siguiente propiedad útil:

• para que${\displaystyle (x,y)}$es un punto de discontinuidad para${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}}$es necesario que o${\displaystyle x}$o${\displaystyle y}$o ambos son valores críticos para${\displaystyle \varphi }$. ^{[ 18 ]}

Existe un fuerte vínculo entre el concepto de función de tamaño y el concepto de pseudodistancia natural.${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))}$entre pares de tamaños${\displaystyle (M,\varphi),\ (N,\psi)}$existe. ^{[ 1 ] [ 19 ]}

• si${\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x}},{\tilde {y}})}$entonces${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{\tilde {y}}\}}$.

El resultado anterior proporciona una manera sencilla de obtener límites inferiores para la pseudodistancia natural y es una de las principales motivaciones para introducir el concepto de función de tamaño.

^{En [ 1 ] [ 20 ]} . ^{[ 21 ]} se proporcionó una representación algebraica de las funciones de tamaño en términos de colecciones de puntos y líneas en el plano real con multiplicidades, es decir, como series formales particulares. Los puntos (llamados puntos de esquina ) y las líneas (llamadas líneas de esquina ) de dichas series formales codifican la información sobre las discontinuidades de las funciones de tamaño correspondientes, mientras que sus multiplicidades contienen la información sobre los valores que toma la función de tamaño.

Formalmente:

• Los puntos de esquina se definen como aquellos puntos${\displaystyle p=(x,y)}$, con ${\displaystyle x<y}$, de tal manera que el número

${\displaystyle \mu (p){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,\beta >0}\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y-\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y+\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y-\beta )+\ell _{({M},\varphi )}(x-\alpha ,y+\beta )}$

es positivo. El número ${\displaystyle \mu (p)}$Se dice que es la multiplicidad de${\displaystyle p}$.

• líneas de esquina y se definen como esas líneas${\displaystyle r:x=k}$de tal manera que

${\displaystyle \mu (r){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,k+\alpha <y}\ell _{({M},\varphi )}(k+\alpha ,y)-\ell _{({M},\varphi )}(k-\alpha ,y)>0.}$

El número ${\displaystyle \mu (r)}$ es triste ser la multiplicidad de ${\displaystyle r}$.

• Teorema de representación : Para cada ${\displaystyle {\bar {x}}<{\bar {y}}}$, contiene

${\displaystyle \ell _{({M},\varphi )}({\bar {x}},{\bar {y}})=\sum _{p=(x,y) \atop x\leq {\bar {x}},y>{\bar {y}}}\mu {\big (}p{\big )}+\sum _{r:x=k \atop k\leq {\bar {x}}}\mu {\big (}r{\big )}}$.

Esta representación contiene la misma cantidad de información sobre la forma en estudio que la función de tamaño original, pero es mucho más concisa.

Este enfoque algebraico de las funciones de tamaño conduce a la definición de nuevas medidas de similitud entre formas, al traducir el problema de comparar funciones de tamaño en el problema de comparar series formales. La métrica más estudiada entre estas funciones de tamaño es la distancia de coincidencia . ^{[ 3 ]}

• teoría del tamaño
• pseudodistancia natural
• functor de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Talla par
• Distancia coincidente
• Análisis de datos topológicos