functor de tamaño

Dado un par de tallas${\displaystyle (M,f)\ }$dónde${\displaystyle M\ }$es una variedad de dimensión ${\displaystyle n\ }$y${\displaystyle f\ }$es una función continua real arbitraria definida en ella, la${\displaystyle i}$functor de tamaño -ésimo , ^{[ 1 ]} con${\displaystyle i=0,\ldots ,n\ }$, denotado por${\displaystyle F_{i}\ }$, es el functor en${\displaystyle Diversión(\mathrm {Rord} ,\mathrm {Ab} )\ }$, dónde ${\displaystyle \mathrm {Rord} \ }$es la categoría de números reales ordenados, y${\displaystyle \mathrm {Ab} \ }$es la categoría de grupos abelianos , definida de la siguiente manera. Para${\displaystyle x\leq y\ }$, configuración ${\displaystyle M_{x}=\{p\in M:f(p)\leq x\}\ }$,${\displaystyle M_{y}=\{p\in M:f(p)\leq y\}\ }$,${\displaystyle j_{xy}\ }$igual a la inclusión de${\displaystyle M_{x}\ }$en${\displaystyle M_{y}\ }$, y${\displaystyle k_{xy}\ }$igual al morfismo en${\displaystyle \mathrm {Rord} \ }$de${\displaystyle x\ }$a${\displaystyle y\ }$,

• para cada${\displaystyle x\in \mathbb {R} \ }$,${\displaystyle F_{i}(x)=H_{i}(M_{x});\ }$
• ${\displaystyle F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}).\ }$

En otras palabras, el functor de tamaño estudia el proceso de nacimiento y muerte de clases de homología a medida que cambia el conjunto de nivel inferior. Cuando${\displaystyle M\ }$es suave y compacto y${\displaystyle f\ }$es una función de Morse , el functor${\displaystyle F_{0}\ }$se pueden describir mediante árboles orientados, llamados${\displaystyle H_{0}\ }$− árboles.

El concepto de functor de tamaño se introdujo como una extensión a la teoría de homología y a la teoría de categorías de la idea de función de tamaño . La principal motivación para introducir el functor de tamaño se originó a partir de la observación de que la función de tamaño${\displaystyle \ell _{(M,f)}(x,y)\ }$puede verse como el rango de la imagen de${\displaystyle H_{0}(j_{xy}):H_{0}(M_{x})\rightarrow H_{0}(M_{y})}$.

El concepto de functor de tamaño está estrictamente relacionado con el concepto de grupo de homología persistente , ^{[ 2 ]} estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que el${\displaystyle i\ }$El grupo de homología persistente -ésimo coincide con la imagen del homomorfismo.${\displaystyle F_{i}(k_{xy})=H_{i}(j_{xy}):H_{i}(M_{x})\rightarrow H_{i}(M_{y})}$.

• teoría del tamaño
• Función de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Talla par