Función de tamaño

Las funciones de tamaño son descriptores de forma, en un sentido geométrico/topológico. Son funciones que van desde el semiplano hasta los números naturales y cuentan ciertos componentes conectados de un espacio topológico . Se utilizan en reconocimiento de patrones y topología . ${\displaystyle x<y}$

En teoría de tamaño , la función de tamaño asociada con el par de tamaño se define de la siguiente manera. Para cada , es igual al número de componentes conectados del conjunto que contienen al menos un punto en el que la función de medición (una función continua desde un espacio topológico hasta ^{[1] [2]} ) toma un valor menor o igual a . ^[3] El concepto de función de tamaño se puede extender fácilmente al caso de una función de medición , donde está dotada del orden parcial habitual . ^[4] Se puede encontrar un estudio sobre las funciones de tamaño (y la teoría del tamaño ) en. ^[5]${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}:\Delta ^{+}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x<y\}\to \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (M,\varphi :M\to \mathbb {R} )}$${\displaystyle (x,y)\en \Delta ^{+}}$${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)}$${\displaystyle \{p\in M:\varphi (p)\leq y\}}$ ${\estilo de visualización M}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización x}$${\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

Las funciones de tamaño se introdujeron en ^[6] para el caso particular de igual al espacio topológico de todos los caminos cerrados por partes en una variedad cerrada incrustada en un espacio euclidiano. Aquí la topología en es inducida por la -norma, mientras que la función de medición lleva cada camino a su longitud. En ^[7] se considera el caso de igual al espacio topológico de todas las -tuplas ordenadas de puntos en una subvariedad de un espacio euclidiano. Aquí la topología en es inducida por la métrica . ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización C^{1}}$${\displaystyle C^{\infty}}$ ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización C^{0}}$ ${\estilo de visualización \varphi}$${\displaystyle \gamma \en M}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización M}$${\displaystyle d((P_{1},\ldots ,P_{k}),(Q_{1}\ldots ,Q_{k}))=\max _{1\leq i\leq k}\|P_{i}-Q_{i}\|}$

^{En [2]} se realizó una extensión del concepto de función de tamaño a la topología algebraica , donde se introdujo el concepto de grupo de homotopía de tamaño . Aquí se permiten funciones de medición que toman valores en . En ^[8] se introdujo una extensión a la teoría de homología (el funtor de tamaño ). Los conceptos de grupo de homotopía de tamaño y funtor de tamaño están estrictamente relacionados con el concepto de grupo de homología persistente ^[9] estudiado en homología persistente . Vale la pena señalar que la función de tamaño es el rango del -ésimo grupo de homología persistente, mientras que la relación entre el grupo de homología persistente y el grupo de homotopía de tamaño es análoga a la que existe entre los grupos de homología y los grupos de homotopía . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\estilo de visualización 0}$

Las funciones de tamaño se introdujeron inicialmente como una herramienta matemática para la comparación de formas en la visión por computadora y el reconocimiento de patrones , y han constituido la semilla de la teoría del tamaño . ^{[3] [ 10] [11] [ 12] [13] [ 14] [15] [16] [17]} El punto principal es que las funciones de tamaño son invariantes para cada transformación que preserva la función de medición . Por lo tanto, se pueden adaptar a muchas aplicaciones diferentes, simplemente cambiando la función de medición para obtener la invariancia deseada. Además, las funciones de tamaño muestran propiedades de resistencia relativa al ruido, dependiendo del hecho de que distribuyen la información por todo el semiplano . ${\displaystyle \Delta ^{+}}$

Supongamos que es un espacio de Hausdorff compacto y localmente conexo . Se cumplen las siguientes afirmaciones: ${\estilo de visualización M}$

• Toda función de tamaño es una función no decreciente en la variable y una función no creciente en la variable .${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$
• Cada función de tamaño es localmente constante a la derecha en ambas variables.${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)}$
• para cada , es finito.${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)}$
• para todos y cada uno , .${\displaystyle x<\min\varphi}$${\displaystyle y>x}$${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)=0}$
• para cada y cada , es igual al número de componentes conectados de en los que el valor mínimo de es menor o igual a .${\displaystyle y\geq \max \varphi }$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \ell _ {(M,\varphi )}(x,y)}$${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización x}$

Si también asumimos que es una variedad cerrada suave y es una función, se cumple la siguiente propiedad útil: ${\estilo de visualización M}$${\estilo de visualización \varphi}$${\estilo de visualización C^{1}}$

• para que haya un punto de discontinuidad es necesario que o o ambos sean valores críticos para . ^[18]${\estilo de visualización (x,y)}$${\displaystyle \ell _{(M,\varphi )}}$${\estilo de visualización x}$${\estilo de visualización y}$${\estilo de visualización \varphi}$

Existe un fuerte vínculo entre el concepto de función de tamaño y el concepto de pseudodistancia natural entre los pares de tamaños . ^{[1] [19]}${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))}$${\displaystyle (M,\varphi),\ (N,\psi)}$

• si entonces .${\displaystyle \ell _{(N,\psi )}({\bar {x}},{\bar {y}})>\ell _{(M,\varphi )}({\tilde {x} },{\tilde {y}})}$${\displaystyle d((M,\varphi ),(N,\psi ))\geq \min\{{\tilde {x}}-{\bar {x}},{\bar {y}}-{ \tilde{y}}\}}$

El resultado anterior proporciona una manera fácil de obtener límites inferiores para la pseudodistancia natural y es una de las principales motivaciones para introducir el concepto de función de tamaño.

^{En [1] [20]} se proporcionó una representación algebraica de funciones de tamaño en términos de colecciones de puntos y líneas en el plano real con multiplicidades, es decir, como series formales particulares . ^[21] Los puntos (llamados puntos de esquina ) y las líneas (llamadas líneas de esquina ) de tales series formales codifican la información sobre las discontinuidades de las funciones de tamaño correspondientes, mientras que sus multiplicidades contienen la información sobre los valores tomados por la función de tamaño.

Formalmente:

• Los puntos de esquina se definen como aquellos puntos , con , tales que el número${\displaystyle p=(x,y)}$${\displaystyle x<y}$

${\displaystyle \mu (p){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,\beta >0}\ell _ {({M},\varphi )}( x+\alpha ,y-\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x+\alpha ,y+\beta )-\ell _{({M},\varphi )}(x-\ alfa ,y-\beta )+\ell _ {({M},\varphi )}(x-\alpha ,y+\beta )}$

es positivo. Se dice que el número es la multiplicidad de .${\displaystyle \mu(p)}$${\estilo de visualización p}$

• Las líneas de esquina se definen como aquellas líneas tales que${\estilo de visualización r:x=k}$

${\displaystyle \mu (r){\stackrel {\rm {def}}{=}}\min _{\alpha >0,k+\alpha <y}\ell _ {({M},\varphi )} (k+\alpha ,y)-\ell _{({M},\varphi )}(k-\alpha ,y)>0.}$

Es triste la cifra de multiplicidad de .${\displaystyle \mu(r)}$${\estilo de visualización r}$

• Teorema de representación : Para cada , se cumple${\displaystyle {\bar {x}}<{\bar {y}}}$

${\displaystyle \ell _{({M},\varphi )}({\bar {x}},{\bar {y}})=\sum _{p=(x,y) \atop x\leq {\bar {x}},y>{\bar {y}}}\mu {\big (}p{\big )}+\sum _{r:x=k \atop k\leq {\bar {x}}}\mu {\big (}r{\big )}}$.

Esta representación contiene la misma cantidad de información sobre la forma en estudio que la función de tamaño original, pero es mucho más concisa.

Este enfoque algebraico de las funciones de tamaño conduce a la definición de nuevas medidas de similitud entre formas, al traducir el problema de comparar funciones de tamaño en el problema de comparar series formales. La más estudiada entre estas métricas entre funciones de tamaño es la distancia de coincidencia . ^[3]

• Teoría del tamaño
• Pseudodistancia natural
• Functor de tamaño
• Grupo de homotopía de tamaño
• Talla par
• Distancia de coincidencia
• Análisis de datos topológicos