Número de Betti persistente

En homología persistente , un número de Betti persistente es un análogo multiescala de un número de Betti que rastrea la cantidad de características topológicas que persisten sobre múltiples parámetros de escala en una filtración . Mientras que el clásico${\displaystyle n^{th}}$El número de Betti es igual al rango de la${\displaystyle n^{th}}$grupo de homología , el${\displaystyle n^{th}}$El número de Betti persistente es el rango de la${\displaystyle n^{th}}$grupo de homología persistente . El concepto de número de Betti persistente fue introducido por Herbert Edelsbrunner , David Letscher y Afra Zomorodian en el artículo de 2002 « Persistencia y simplificación topológica» , uno de los artículos fundamentales en el campo de la homología persistente y el análisis topológico de datos . ^{[ 1 ] [ 2 ]} Las aplicaciones del número de Betti persistente aparecen en una variedad de campos, incluyendo el análisis de datos, ^{[ 3 ]} el aprendizaje automático, ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} y la física. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​un complejo simplicial y dejemos que${\displaystyle f:K\to \mathbb {R} }$ser una función monótona , es decir, no decreciente. Requerir monotonicidad garantiza que el conjunto de subnivel${\displaystyle K(a):=f^{-1}(-\infty ,a]}$es un subcomplejo de${\displaystyle K}$a pesar de${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$. Dejando el parámetro${\displaystyle a}$Varían, podemos organizar estos subcomplejos en una secuencia anidada.${\displaystyle \emptyset =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}=K}$para algún número natural${\displaystyle n}$Esta secuencia define una filtración en el complejo .${\displaystyle K}$.

La homología persistente se ocupa de la evolución de las características topológicas a través de una filtración. Para ello, tomando la${\displaystyle p^{th}}$grupo de homología de cada complejo en la filtración obtenemos una secuencia de grupos de homología${\displaystyle 0=H_{p}(K_{0})\to H_{p}(K_{1})\to \cdots \to H_{p}(K_{n})=H_{p}(K)}$que están conectados por homomorfismos inducidos por los mapas de inclusión en la filtración. Al aplicar la homología sobre un cuerpo , obtenemos una secuencia de espacios vectoriales y mapas lineales comúnmente conocidos como un módulo de persistencia .

Para rastrear la evolución de las características homológicas en contraposición a la información topológica estática en cada índice individual, basta con contar el número de clases de homología no triviales que persisten en la filtración, es decir, que permanecen no triviales a través de múltiples parámetros de escala.

Para cada${\displaystyle i\leq j}$, dejar${\displaystyle f_{p}^{i,j}}$denotan el homomorfismo inducido${\displaystyle H_{p}(K_{i})\to H_{p}(K_{j})}$. Entonces el${\displaystyle p^{th}}$Los grupos de homología persistente se definen como las imágenes de cada mapa inducido. Es decir,${\displaystyle H_{p}^{i,j}:=\operatorname {im} f_{p}^{i,j}}$a pesar de${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq n}$.

Paralelamente al número de Betti clásico, el${\displaystyle p^{th}}$Los números persistentes de Betti son precisamente los rangos de los${\displaystyle p^{th}}$grupos de homología persistente, dados por la definición${\displaystyle \beta _{p}^{i,j}:=\operatorname {rank} H_{p}^{i,j}}$. ^{[ 10 ]}