Módulo de persistencia

Dejar${\displaystyle T}$ser un conjunto totalmente ordenado y dejar${\displaystyle K}$ser un campo . El conjunto${\displaystyle T}$a veces se le llama conjunto de indexación . Luego, un módulo de persistencia de un solo parámetro${\displaystyle M}$es un functor${\displaystyle M:T\to \mathbf {Vec} _{K}}$de la categoría de poset de${\displaystyle T}$a la categoría de espacios vectoriales sobre${\displaystyle K}$y mapas lineales . ^{[ 8 ]} Un módulo de persistencia de un solo parámetro indexado por un poset discreto como los enteros puede representarse intuitivamente como un diagrama de espacios:$${\displaystyle \cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots }$$Para enfatizar el conjunto de indexación que se está utilizando, un módulo de persistencia indexado por${\displaystyle T}$a veces se le llama${\displaystyle T}$-módulo de persistencia, o simplemente un${\displaystyle T}$-módulo. ^{[ 9 ]} Las opciones comunes de conjuntos de indexación incluyen:${\displaystyle \mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N} }$, etc.

Como alternativa, se puede utilizar una definición de módulo de persistencia basada en la teoría de conjuntos que sea equivalente al punto de vista categórico: Un módulo de persistencia es un par${\displaystyle (V,\pi )}$dónde${\displaystyle V}$es una colección${\displaystyle \{V_{z}\}_{z\in T}}$de${\displaystyle K}$-espacios vectoriales y${\displaystyle \pi }$es una colección${\displaystyle \{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in T}}$de mapas lineales donde${\displaystyle \pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}}$para cada${\displaystyle y\leq z\in T}$, de tal manera que${\displaystyle \pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}}$para cualquier${\displaystyle x\leq y\leq z\in T}$(es decir, todos los mapas se desplazan ). ^{[ 4 ]}

Dejar${\displaystyle P}$ser un producto de${\displaystyle n}$conjuntos totalmente ordenados , es decir,${\displaystyle P=T_{1}\times \dots \times T_{n}}$para algunos conjuntos totalmente ordenados${\displaystyle T_{i}}$. Luego, mediante la dotación${\displaystyle P}$con el pedido parcial del producto dado por${\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})}$solo si${\displaystyle s_{i}\leq t_{i}}$a pesar de${\displaystyle i=1,\dots ,n}$, podemos definir un módulo de persistencia multiparamétrico indexado por${\displaystyle P}$como un functor${\displaystyle M:P\to \mathbf {Vec} _{K}}$. Esta es una generalización de los módulos de persistencia de un solo parámetro y, en particular, esto coincide con la definición de un solo parámetro cuando${\displaystyle n=1}$.

En este caso, un${\displaystyle P}$-el módulo de persistencia se denomina${\displaystyle n}$-dimensional o${\displaystyle n}$-módulo de persistencia de parámetros, o simplemente un módulo multiparamétrico o multidimensional si el número de parámetros ya está claro por el contexto. ^{[ 10 ]}

Los módulos de persistencia multidimensionales fueron introducidos por primera vez en 2009 por Carlsson y Zomorodian. ^{[ 11 ]} Desde entonces, se ha realizado una cantidad significativa de investigación sobre la teoría y la práctica del trabajo con módulos multidimensionales, ya que proporcionan una estructura más sólida para estudiar la forma de los datos. ^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]} En concreto, los módulos multiparamétricos pueden tener mayor sensibilidad a la densidad y robustez frente a valores atípicos que los módulos de un solo parámetro, lo que los convierte en una herramienta potencialmente útil para el análisis de datos. ^{[ 15 ] [ 16 ] [ 17 ]}

Una desventaja de la persistencia multiparamétrica es su complejidad inherente. Esto dificulta la realización de cálculos relacionados con los módulos de persistencia multiparamétrica. En el peor de los casos, la complejidad computacional de la homología persistente multidimensional es exponencial. ^{[ 18 ]}

La forma más común de medir la similitud de dos módulos de persistencia multiparamétricos es utilizando la distancia de entrelazado , que es una extensión de la distancia de cuello de botella. ^{[ 19 ]}

Cuando se utiliza la homología con coeficientes en un cuerpo , un grupo de homología tiene la estructura de un espacio vectorial . Por lo tanto, dada una filtración de espacios${\displaystyle F:P\to \mathbf {Top} }$Al aplicar el functor de homología en cada índice, obtenemos un módulo de persistencia.${\displaystyle H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}}$para cada${\displaystyle i=1,2,\dots }$llamado el (${\displaystyle i}$módulo de homología de dimensión n)${\displaystyle F}$. Los espacios vectoriales del módulo de homología se pueden definir índice por índice como${\displaystyle H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})}$a pesar de${\displaystyle z\in P}$y los mapas lineales son inducidos por los mapas de inclusión de${\displaystyle F}$. ^{[ 1 ]}

Los módulos de homología son los ejemplos más comunes de módulos de persistencia, ya que codifican información sobre el número y la escala de las características topológicas de un objeto (generalmente derivadas de la construcción de una filtración en una nube de puntos ) en una estructura puramente algebraica , lo que hace que la comprensión de la forma de los datos sea susceptible a técnicas algebraicas, importadas de áreas bien desarrolladas de las matemáticas como el álgebra conmutativa y la teoría de la representación . ^{[ 5 ] [ 20 ] [ 21 ]}

Una preocupación fundamental en el estudio de los módulos de persistencia es si estos pueden descomponerse en "piezas más simples", en términos generales. En particular, resulta conveniente desde el punto de vista algebraico y computacional si un módulo de persistencia puede expresarse como una suma directa de módulos más pequeños conocidos como módulos de intervalo . ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle J}$ser un subconjunto no vacío de un poset${\displaystyle P}$. Entonces${\displaystyle J}$es un intervalo en${\displaystyle P}$si

• Por cada${\displaystyle x,z\in J}$si${\displaystyle x\leq y\leq z\in P}$entonces${\displaystyle y\in J}$
• Por cada${\displaystyle x,z\in J}$hay una secuencia de elementos${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J}$de tal manera que${\displaystyle p_{1}=x}$,${\displaystyle p_{n}=z}$, y${\displaystyle p_{i},p_{j}}$son comparables para todos${\displaystyle i,j\in \{1,\dots ,n\}}$.

Ahora, dado un intervalo${\displaystyle J\subsetequ P}$podemos definir un módulo de persistencia${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$por índice de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{si }}z\in J\\0&{\text{en otro caso }}\end{cases}}}$;${\displaystyle \mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{si }}y\leq z\in J\\0&{\text{en otro caso }}\end{cases}}}$.

El módulo${\displaystyle \mathbb {I} ^{J}}$se denomina módulo de intervalo . ^{[ 9 ] [ 22 ]}

Dejar${\displaystyle a\in P}$Entonces podemos definir un módulo de persistencia.${\displaystyle Q^{a}}$con respecto a${\displaystyle a}$donde los espacios están dados por

${\displaystyle Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{si }}z\geq a\\0&{\text{en otro caso }}\end{cases}}}$y los mapas definidos mediante${\displaystyle Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{si }}z\geq a\\0&{\text{en otro caso }}\end{cases}}}$.

Entonces${\displaystyle Q^{a}}$se conoce como un módulo libre (de persistencia) . ^{[ 23 ]}

También se puede definir un módulo libre en términos de descomposición en módulos de intervalo. Para cada${\displaystyle a\in P}$definir el intervalo${\displaystyle a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}}$, a veces llamado "intervalo libre". ^{[ 9 ]} Luego un módulo de persistencia${\displaystyle F}$es un módulo libre si existe un multiconjunto${\displaystyle {\mathfrak {J}}(F)\subseteq P}$de tal manera que${\displaystyle F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}}$. ^{[ 22 ]} En otras palabras, un módulo es un módulo libre si puede descomponerse como una suma directa de módulos de intervalo libres.

Un módulo de persistencia${\displaystyle M}$indexado por${\displaystyle \mathbb {N} }$Se dice que es de tipo finito si se cumplen las siguientes condiciones para todos${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

1. Cada espacio vectorial${\displaystyle M_{n}}$es de dimensión finita.
2. Existe un número entero${\displaystyle N}$de tal manera que el mapa${\displaystyle M_{N,n}}$es un isomorfismo para todos${\displaystyle n\geq N}$.

Si${\displaystyle M}$satisface la primera condición, entonces${\displaystyle M}$Se suele decir que es puntualmente finito-dimensional (pfd) . ^{[ 24 ] [ 25 ] [ 26 ]} La noción de dimensionalidad puntualmente finita se extiende inmediatamente a conjuntos de índices arbitrarios.

La definición de tipo finito también puede adaptarse a conjuntos de indexación continuos. Es decir, un módulo${\displaystyle M}$indexado por${\displaystyle \mathbb {R} }$es de tipo finito si${\displaystyle M}$es pfd, y${\displaystyle M}$contiene un número finito de espacios vectoriales únicos. ^{[ 27 ]} Formalmente hablando, esto requiere que para todos excepto un número finito de puntos${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$Hay un vecindario${\displaystyle N}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle M_{y}\cong M_{z}}$a pesar de${\displaystyle y,z\in N}$y también que hay algo${\displaystyle w\in \mathbb {R} }$de tal manera que${\displaystyle M_{v}=0}$a pesar de${\displaystyle v\leq w}$. ^{[ 4 ]} Un módulo que satisface solo la primera propiedad a veces se etiqueta como esencialmente discreto , mientras que un módulo que satisface ambas propiedades se conoce como esencialmente finito . ^{[ 28 ] [ 23 ] [ 29 ]}

Un${\displaystyle \mathbb {R} }$Se dice que un módulo de persistencia es semicontinuo si para cualquier${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$y cualquier${\displaystyle y\leq x}$suficientemente cerca de${\displaystyle x}$, el mapa${\displaystyle M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}}$es un isomorfismo. Nótese que esta condición es redundante si se cumplen las demás condiciones de tipo finito mencionadas anteriormente, por lo que normalmente no se incluye en la definición, pero es relevante en ciertas circunstancias. ^{[ 4 ]}

Uno de los objetivos principales en el estudio de los módulos de persistencia es clasificarlos según su descomponibilidad en módulos de intervalo. Un módulo de persistencia que admite una descomposición como suma directa de módulos de intervalo se denomina simplemente "descomponible por intervalo". Uno de los resultados principales en este sentido es que cualquier módulo de persistencia pfd indexado sobre un conjunto totalmente ordenado es descomponible por intervalo. Esto se conoce a veces como el "teorema de estructura para módulos de persistencia". ^{[ 24 ]}

El caso cuando${\displaystyle P}$es finito es una aplicación directa del teorema de estructura para módulos finitamente generados sobre un dominio ideal principal . Para módulos indexados sobre${\displaystyle \mathbb {Z} }$, la primera demostración conocida del teorema de estructura se debe a Webb. ^{[ 30 ]} El teorema se extendió al caso de${\displaystyle \mathbb {R} }$(o cualquier conjunto totalmente ordenado que contenga un subconjunto numerable que sea denso en${\displaystyle \mathbb {R} }$con la topología de orden ) por Crawley-Boevey en 2015. ^{[ 31 ]} La versión generalizada del teorema de estructura, es decir, para módulos pfd indexados sobre conjuntos totalmente ordenados arbitrarios, fue establecida por Botnan y Crawley-Boevey en 2019. ^{[ 32 ]}