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aprendizaje profundo topológico

El aprendizaje profundo topológico ( TDL ) [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] es un campo de investigación que extiende el aprendizaje profundo para manejar estructuras de dato...

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El aprendizaje profundo topológico ( TDL ) [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] es un campo de investigación que extiende el aprendizaje profundo para manejar estructuras de datos complejas y no euclidianas . Los modelos tradicionales de aprendizaje profundo, como las redes neuronales convolucionales (CNN) y las redes neuronales recurrentes (RNN), sobresalen en el procesamiento de datos en cuadrículas y secuencias regulares. Sin embargo, los datos científicos y del mundo real a menudo presentan dominios de datos más intrincados que se encuentran en los cálculos científicos, incluyendo nubes de puntos , mallas , series temporales , gráficos de campos escalares o espacios topológicos generales como complejos simpliciales y complejos CW . [ 7 ] El TDL aborda esto al incorporar conceptos topológicos para procesar datos con relaciones de orden superior, como interacciones entre múltiples entidades y jerarquías complejas. Este enfoque aprovecha estructuras como complejos simpliciales e hipergrafos para capturar dependencias globales y propiedades espaciales cualitativas, ofreciendo una representación más matizada de los datos. TDL también abarca métodos de topología computacional y algebraica que permiten estudiar propiedades de redes neuronales y su proceso de entrenamiento, como su rendimiento predictivo o propiedades de generalización. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] Los fundamentos matemáticos de TDL son la topología algebraica , la topología diferencial y la topología geométrica . Por lo tanto, TDL puede generalizarse para datos en variedades diferenciables , nudos , enlaces, enredos, curvas, etc.

Historia y motivación

Traditional techniques from deep learning often operate under the assumption that a dataset is residing in a highly-structured space (like images, where convolutional neural networks exhibit outstanding performance over alternative methods) or a Euclidean space. The prevalence of new types of data, in particular graphs, meshes, and molecules, resulted in the development of new techniques, culminating in the field of geometric deep learning, which originally proposed a signal-processing perspective for treating such data types.[15] While originally confined to graphs, where connectivity is defined based on nodes and edges, follow-up work extended concepts to a larger variety of data types, including simplicial complexes[16][3] and CW complexes,[8][17] with recent work proposing a unified perspective of message-passing on general combinatorial complexes.[1]

An independent perspective on different types of data originated from topological data analysis, which proposed a new framework for describing structural information of data, i.e., their "shape," that is inherently aware of multiple scales in data, ranging from local information to global information.[18] While at first restricted to smaller datasets, subsequent work developed new descriptors that efficiently summarized topological information of datasets to make them available for traditional machine-learning techniques, such as support vector machines or random forests. Such descriptors ranged from new techniques for feature engineering over new ways of providing suitable coordinates for topological descriptors,[19][20][21] or the creation of more efficient dissimilarity measures.[22][23][24][25]

Contemporary research in this field is largely concerned with either integrating information about the underlying data topology into existing deep-learning models or obtaining novel ways of training on topological domains.

Learning on topological spaces

Learning Tasks on topological domains can be broadly classified into three categories: cell classification, cell prediction and complex classification.[1]

One of the core concepts in topological deep learning is considering the domain upon which this data is defined and supported. In case of Euclidean data, such as images, this domain is a grid, upon which the pixel value of the image is supported. In a more general setting this domain might be a topological domain. Studying and developing deep learning models that are supported ln topological domains constitute the essence of topological deep learning. Next, we introduce the most common topological domains that are encountered in a deep learning setting. These domains include, but not limited to, graphs, simplicial complexes, cell complexes, combinatorial complexes and hypergraphs.

Given a finite set S of abstract entities, a neighborhood function norte{\displaystyle {\mathcal {N}}} on S is an assignment that attach to every point incógnita{\displaystyle x} in S a subset of S or a relation. Such a function can be induced by equipping S with an auxiliary structure. Edges provide one way of defining relations among the entities of S. More specifically, edges in a graph allow one to define the notion of neighborhood using, for instance, the one hop neighborhood notion. Edges however, limited in their modeling capacity as they can only be used to model binary relations among entities of S since every edge is connected typically to two entities. In many applications, it is desirable to permit relations that incorporate more than two entities. The idea of using relations that involve more than two entities is central to topological domains. Such higher-order relations allow for a broader range of neighborhood functions to be defined on S to capture multi-way interactions among entities of S.

Next we review the main properties, advantages, and disadvantages of some commonly studied topological domains in the context of deep learning, including (abstract) simplicial complexes, regular cell complexes, hypergraphs, and combinatorial complexes.

(a): Un grupo S está formado por partes básicas (vértices) sin conexiones. (b): Un grafo representa conexiones simples entre sus partes (vértices) que son elementos de S. (c): Un complejo simplicial muestra una forma en que las partes (relaciones) están conectadas entre sí, pero con reglas estrictas sobre cómo se conectan. (d): Al igual que los complejos simpliciales, un complejo celular muestra cómo las partes (relaciones) están conectadas, pero es más flexible en su forma (como las 'células'). (f): Un hipergrafo muestra cualquier tipo de conexiones entre las partes de S, pero estas conexiones no están organizadas en ningún orden en particular. (e): Un CC mezcla elementos de complejos celulares (conexiones con orden) e hipergrafos (conexiones variadas), cubriendo ambos tipos de configuraciones. [ 1 ]

Comparaciones entre dominios topológicos

Cada uno de los dominios topológicos enumerados tiene sus propias características, ventajas y limitaciones:

  • complejos simpliciales
    • Forma más simple de dominios de orden superior.
    • Extensiones de modelos basados ​​en grafos.
    • Admite estructuras jerárquicas, lo que las hace adecuadas para diversas aplicaciones.
    • La teoría de Hodge puede definirse de forma natural en complejos simpliciales.
    • Exigir que las relaciones sean subconjuntos de relaciones más amplias, imponiendo restricciones a la estructura.
  • Complejos celulares
    • Generalizar los complejos simpliciales.
    • Ofrecer mayor flexibilidad a la hora de definir relaciones de orden superior.
    • Cada célula de un complejo celular es homeomorfa a una esfera abierta, unidas entre sí mediante mapas de unión.
    • Las células limítrofes de cada célula en un complejo celular también son células de dicho complejo.
    • Representado combinatoriamente mediante matrices de incidencia.
  • Hipergrafos
    • Permitir relaciones de tipo conjunto arbitrarias entre entidades.
    • Las relaciones no están impuestas por otras relaciones, lo que proporciona mayor flexibilidad.
    • No codifique explícitamente la dimensión de las celdas o las relaciones.
    • Resulta útil cuando las relaciones en los datos no se ajustan a las restricciones impuestas por otros modelos, como los complejos simpliciales y celulares.
  • Complejos combinatorios [ 1 ] :
    • Generalizar y salvar las brechas entre los complejos simpliciales, los complejos celulares y los hipergrafos.
    • Permite estructuras jerárquicas y relaciones de tipo conjunto.
    • Combina características de otros sistemas complejos a la vez que proporciona mayor flexibilidad en la modelización de relaciones.
    • Puede representarse de forma combinatoria, de manera similar a los complejos celulares.

Estructura jerárquica y relaciones de tipo conjunto

Las propiedades de los complejos simpliciales, los complejos celulares y los hipergrafos dan lugar a dos características principales de las relaciones en dominios de orden superior, a saber, jerarquías de relaciones y relaciones de tipo conjunto. [ 1 ]

Función de rango

Una función de rango en un dominio de orden superior X es una función que preserva el orden rk : X → Z , donde rk ( x ) asigna un valor entero no negativo a cada relación x en X , preservando la inclusión de conjuntos en X . Los complejos celulares y simpliciales son ejemplos comunes de dominios de orden superior dotados de funciones de rango y, por lo tanto, de jerarquías de relaciones. [ 1 ]

Relaciones de tipo conjunto

Las relaciones en un dominio de orden superior se denominan relaciones de tipo conjunto si la existencia de una relación no está implícita en otra relación del dominio. Los hipergrafos constituyen ejemplos de dominios de orden superior dotados de relaciones de tipo conjunto. Dadas las limitaciones de modelado de los complejos simpliciales, los complejos celulares y los hipergrafos, desarrollamos el complejo combinatorio, un dominio de orden superior que presenta tanto jerarquías de relaciones como relaciones de tipo conjunto. [ 1 ]

Las tareas de aprendizaje en TDL se pueden clasificar ampliamente en tres categorías: [ 1 ]

  • Clasificación celular : Predecir los objetivos para cada célula en un complejo. Algunos ejemplos incluyen la segmentación de mallas triangulares, donde la tarea consiste en predecir la clase de cada cara o arista en una malla dada.
  • Clasificación compleja : Predice los objetivos para un complejo completo. Por ejemplo, predice la clase de cada malla de entrada.
  • Predicción de células : Predice las propiedades de las interacciones entre células en un complejo y, en algunos casos, predice si una célula existe en dicho complejo. Un ejemplo es la predicción de las conexiones entre entidades en las hiperaristas de un hipergrafo.

En la práctica, para realizar las tareas mencionadas, es necesario construir e implementar modelos de aprendizaje profundo diseñados para espacios topológicos específicos. Estos modelos, conocidos como redes neuronales topológicas, están diseñados para operar eficazmente dentro de dichos espacios.

Redes neuronales topológicas

Un elemento central del TDL son las redes neuronales topológicas (TNN) , arquitecturas especializadas diseñadas para operar con datos estructurados en dominios topológicos. [ 2 ] [ 1 ] A diferencia de las redes neuronales tradicionales, diseñadas para estructuras reticulares, las TNN son capaces de manejar representaciones de datos más complejas, como grafos, complejos simpliciales y complejos celulares. Al aprovechar la topología inherente de los datos, las TNN pueden capturar relaciones tanto locales como globales, lo que permite un análisis e interpretación más precisos.

Redes neuronales topológicas con paso de mensajes

En un dominio topológico general, el paso de mensajes de orden superior implica el intercambio de mensajes entre entidades y celdas utilizando un conjunto de funciones de vecindad.

Definición: Paso de mensajes de orden superior en un dominio topológico general.

El paso de mensajes de orden superior es un modelo de aprendizaje profundo definido en un dominio topológico y se basa en el paso de información de mensajes entre entidades en el dominio subyacente para realizar una tarea de aprendizaje. [ 1 ]

Sea un dominio topológico. Definimos un conjunto de funciones de vecindad en . Consideremos una celda y sea para algún . Un mensaje entre las celdas y es un cálculo que depende de estas dos celdas o de los datos que soportan. Denotemos como el multiconjunto , y sea que represente algunos datos soportados en la celda en la capa . El paso de mensajes de orden superior en , [ 1 ] [ 8 ] inducido por , se define mediante las siguientes cuatro reglas de actualización:incógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}norte={norte1,…,nortenorte}{\displaystyle {\mathcal {N}}=\{{\mathcal {N}}_{1},\ldots,{\mathcal {N}}_{n}\}}incógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}incógnita{\displaystyle x}y∈nortek(incógnita){\displaystyle y\in {\mathcal {N}}_{k}(x)}nortek∈norte{\displaystyle {\mathcal {N}}_{k}\in {\mathcal {N}}}metroincógnita,y{\displaystyle m_{x,y}}incógnita{\displaystyle x}y{\displaystyle y}norte(incógnita){\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}{{norte1(incógnita),…,nortenorte(incógnita)}}{\displaystyle \{\!\!\{{\mathcal {N}}_{1}(x),\ldots ,{\mathcal {N}}_{n}(x)\}\!\!\}}hincógnita(l){\displaystyle \mathbf {h} _{x}^{(l)}}incógnita{\displaystyle x}l{\displaystyle l}incógnita{\displaystyle {\mathcal {X}}}norte{\displaystyle {\mathcal {N}}}

  1. metroincógnita,y=αnortek(hincógnita(l),hy(l)){\displaystyle m_{x,y}=\alpha _{{\mathcal {N}}_{k}}(\mathbf {h} _{x}^{(l)},\mathbf {h} _{y}^{(l)})}
  2. metroincógnitak=⨁y∈nortek(incógnita)metroincógnita,y{\displaystyle m_{x}^{k}=\bigoplus _{y\in {\mathcal {N}}_{k}(x)}m_{x,y}}, donde es la función de agregación intravecinal.⨁{\displaystyle \bigoplus }
  3. metroincógnita=⨂nortek∈nortemetroincógnitak{\displaystyle m_{x}=\bigotimes _{{\mathcal {N}}_{k}\in {\mathcal {N}}}m_{x}^{k}}, donde es la función de agregación entre vecindarios.⨂{\displaystyle \bigotimes }
  4. hincógnita(l+1)=β(hincógnita(l),metroincógnita){\displaystyle \mathbf {h} _{x}^{(l+1)}=\beta (\mathbf {h} _{x}^{(l)},m_{x})}donde son funciones diferenciables.αnortek,β{\displaystyle \alpha _{{\mathcal {N}}_{k}},\beta }

A continuación se presentan algunas observaciones sobre la definición anterior.

En primer lugar, la ecuación 1 describe cómo se calculan los mensajes entre las celdas y . El mensaje está influenciado tanto por los datos como por los asociados a las celdas y , respectivamente. Además, incorpora características específicas de las propias celdas, como la orientación en el caso de los complejos celulares. Esto permite una representación más completa de las relaciones espaciales en comparación con los marcos de paso de mensajes tradicionales basados ​​en grafos.incógnita{\displaystyle x}y{\displaystyle y}metroincógnita,y{\displaystyle m_{x,y}}hincógnita(l){\displaystyle \mathbf {h} _{x}^{(l)}}hy(l){\displaystyle \mathbf {h} _ {y}^{(l)}}incógnita{\displaystyle x}y{\displaystyle y}

En segundo lugar, la ecuación 2 define cómo se agregan los mensajes de las celdas vecinas dentro de cada vecindario. La función agrega estos mensajes, lo que permite que la información se intercambie eficazmente entre celdas adyacentes dentro del mismo vecindario.⨁{\displaystyle \bigoplus }

En tercer lugar, la ecuación 3 describe el proceso de combinación de mensajes de diferentes vecindarios. La función agrega mensajes de varios vecindarios, facilitando la comunicación entre células que pueden no estar conectadas directamente, pero que comparten relaciones de vecindario comunes.⨂{\displaystyle \bigotimes }

En cuarto lugar, la ecuación 4 especifica cómo los mensajes agregados influyen en el estado de una celda en la siguiente capa. En este caso, la función actualiza el estado de la celda en función de su estado actual y del mensaje agregado obtenido de las celdas vecinas.β{\displaystyle \beta }incógnita{\displaystyle x}hincógnita(l){\displaystyle \mathbf {h} _{x}^{(l)}}metroincógnita{\displaystyle m_{x}}

Redes neuronales topológicas sin paso de mensajes

Si bien la mayoría de las TNN siguen el paradigma de paso de mensajes del aprendizaje de grafos , se han propuesto varios modelos que no siguen este enfoque. Por ejemplo, Maggs et al. [ 26 ] aprovechan la información geométrica de complejos simpliciales incrustados, es decir, complejos simpliciales con características de alta dimensión asociadas a sus vértices. Esto ofrece interpretabilidad y consistencia geométrica sin depender del paso de mensajes. Además, en [ 27 ] se propuso un método contrastivo basado en la pérdida para aprender la representación simplicial.

Aprendizaje basado en descriptores topológicos

Motivados por la naturaleza modular de las redes neuronales profundas , los trabajos iniciales en TDL se inspiraron en el análisis de datos topológicos y buscaron que los descriptores resultantes fueran aptos para su integración en modelos de aprendizaje profundo . Esto condujo a trabajos que definieron nuevas capas para redes neuronales profundas. El trabajo pionero de Hofer et al., [ 28 ] por ejemplo, introdujo una capa que permitía integrar descriptores topológicos como diagramas de persistencia o códigos de barras de persistencia en una red neuronal profunda. Esto se logró mediante funciones de proyección entrenables de extremo a extremo, lo que permitió utilizar características topológicas para resolver tareas de clasificación de formas, por ejemplo. Trabajos posteriores ampliaron las propiedades teóricas de dichos descriptores y los integraron en el campo del aprendizaje de representaciones . [ 29 ] Otras capas topológicas de este tipo incluyen capas basadas en descriptores de homología persistente extendida, [ 30 ] paisajes de persistencia, [ 31 ] o funciones de coordenadas. [ 32 ] Paralelamente, la homología persistente también encontró aplicaciones en tareas de aprendizaje de grafos. Entre los ejemplos más destacados se incluyen nuevos algoritmos para aprender funciones de filtrado específicas para tareas de clasificación de grafos o de nodos. [ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]

Aplicaciones

TDL está encontrando rápidamente nuevas aplicaciones en diferentes dominios, incluyendo compresión de datos, [ 36 ] mejora de la expresividad y el rendimiento predictivo de las redes neuronales gráficas , [ 16 ] [ 17 ] [ 33 ] reconocimiento de acciones, [ 37 ] y predicción de trayectorias. [ 38 ]

Referencias

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