Cosheaf

En topología , una rama de las matemáticas, un cohaz es una noción dual a la de haz que resulta útil para estudiar la homología de Borel-Moore .

Nos asociamos a un espacio topológico${\displaystyle X}$su categoría de conjuntos abiertos${\displaystyle \operatorname {Op} (X)}$, cuyos objetos son los conjuntos abiertos de${\displaystyle X}$, con un morfismo (único) de${\displaystyle U}$a${\displaystyle V}$cuando sea${\displaystyle U\subset V}$. Corregir una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$. Luego un precohaz (con valores en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$) es un functor covariante${\displaystyle F:\operatorname {Op} X\to {\mathcal {C}}}$, es decir,${\displaystyle F}$consta de

• para cada conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$, un objeto${\displaystyle F(U)}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, y
• para cada inclusión de conjuntos abiertos${\displaystyle U\subset V}$, un morfismo${\displaystyle \iota _{U,V}:F(U)\to F(V)}$en${\displaystyle {\mathcal {C}}}$de tal manera que
  • ${\displaystyle \iota _{U,U}=\mathrm {id} _{F(U)}}$a pesar de${\displaystyle U}$y
  • ${\displaystyle \iota _{U,V}\circ \iota _{V,W}=\iota _{U,W}}$cuando sea${\displaystyle U\subset V\subset W}$.

Supongamos ahora que${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es una categoría abeliana que admite colímites pequeños . Entonces un cohaz es un precohaz.${\displaystyle F}$para la cual la secuencia

$${\displaystyle \bigoplus _{(\alpha ,\beta )}F(U_{\alpha ,\beta })\xrightarrow {\sum _{(\alpha ,\beta )}(\iota _ {U_{\alpha ,\beta },U_{\alpha }}-\iota _{U_{\alpha ,\beta },U_{\beta }})} \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })\xrightarrow {\sum _{\alpha }\iota _{U_{\alpha },U}} F(U)\to 0}$$

es exacto para cada colección${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$de conjuntos abiertos, donde${\displaystyle U:=\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }}$y${\displaystyle U_{\alpha,\beta}:=U_{\alpha}\cap U_{\beta}}$. (Nótese que esto es dual a la condición de haz). Aproximadamente, exactitud en${\displaystyle F(U)}$significa que cada elemento más${\displaystyle U}$puede representarse como una suma finita de elementos que viven sobre los espacios más pequeños.${\displaystyle U_{\alpha }}$, mientras que la exactitud en${\displaystyle \bigoplus _{\alpha }F(U_{\alpha })}$significa que, cuando comparamos dos representaciones de un mismo elemento, su diferencia debe ser capturada por una colección finita de elementos que viven sobre las intersecciones.${\ Displaystyle U _ {\ alfa, \ beta}}$.

De forma equivalente,${\displaystyle F}$es un haz si

• para todos los conjuntos abiertos${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$,${\displaystyle F(U\cup V)}$es el empuje de${\displaystyle F(U\cap V)\to F(U)}$y${\displaystyle F(U\cap V)\to F(V)}$, y
• para cualquier familia orientada hacia arriba${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha }}$de conjuntos abiertos, el morfismo canónico${\displaystyle \varinjlim F(U_{\alpha })\to F\left(\bigcup _{\alpha }U_{\alpha }\right)}$es un isomorfismo. Se puede demostrar que esta definición concuerda con la anterior. ^{[ 1 ]} Sin embargo, esta tiene la ventaja de tener sentido incluso cuando${\displaystyle {\mathcal {C}}}$no es una categoría abeliana.

Un ejemplo motivador de un precohaz de grupos abelianos es el precohaz singular , que envía un conjunto abierto.${\displaystyle U}$a${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$, el grupo abeliano libre de singular${\displaystyle k}$-cadenas en${\displaystyle U}$. En particular, hay una inclusión natural${\displaystyle \iota _ {U,V}:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(V;\mathbb {Z} )}$cuando sea${\displaystyle U\subset V}$Sin embargo, esto no es un cohaz porque un simplex singular no se puede dividir en piezas más pequeñas. Para solucionar esto, dejamos${\displaystyle s:C_{k}(U;\mathbb {Z} )\to C_{k}(U;\mathbb {Z} )}$sea ​​el homomorfismo de subdivisión baricéntrica y defina${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$ser el colímite del diagrama

$${\displaystyle C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} C_{k}(U;\mathbb {Z} )\xrightarrow {s} \ldots .}$$

En el colímite, un simplex se identifica con todas sus subdivisiones baricéntricas. Se puede demostrar usando el lema del número de Lebesgue que el precohaz enviando${\displaystyle U}$a${\displaystyle {\overline {C}}_{k}(U;\mathbb {Z} )}$es de hecho una gavilla.

Reparar un mapa continuo${\displaystyle f:Y\to X}$de espacios topológicos. Entonces el precohaz (en${\displaystyle X}$) de espacios topológicos enviando${\displaystyle U}$a${\displaystyle f^{-1}(U)}$es una gavilla. ^{[ 2 ]}