Variedad analítica compleja

En matemáticas , particularmente en geometría diferencial y geometría compleja , una variedad analítica compleja ^{[ nota 1 ]} o espacio analítico complejo es una generalización de una variedad compleja que permite la presencia de singularidades . Las variedades analíticas complejas son espacios localmente anillados que son localmente isomorfos a espacios modelo locales, donde un espacio modelo local es un subconjunto abierto del lugar de anulación de un conjunto finito de funciones holomorfas .

Las variedades analíticas complejas son análogas a las variedades algebraicas . En términos generales, una variedad analítica compleja es el lugar geométrico de los ceros de un conjunto de una función analítica compleja, mientras que una variedad algebraica es el lugar geométrico de los ceros de un conjunto de una función polinómica.

Denotemos el haz constante en un espacio topológico con valor${\displaystyle \mathbb {C} }$por${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$. A${\displaystyle \mathbb {C} }$-space es un espacio anular localmente${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$, cuyo haz de estructura es un álgebra sobre${\displaystyle {\underline {\mathbb {C} }}}$.

Elija un subconjunto abierto${\displaystyle U}$de algún espacio afín complejo${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y fijar un número finito de funciones holomorfas${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k}}$en${\displaystyle U}$. Dejar${\displaystyle X=V(f_{1},\dots ,f_{k})}$sea ​​el lugar común de desaparición de estas funciones holomorfas, es decir,${\displaystyle X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}}$. Defina un haz de anillos en${\displaystyle X}$al dejar${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ser la restricción a${\displaystyle X}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}_{U}}$es el haz de funciones holomorfas en${\displaystyle U}$. Luego, el anillo local${\displaystyle \mathbb {C} }$-espacio${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$es un espacio modelo local .

Una variedad analítica compleja es una variedad localmente anillada.${\displaystyle \mathbb {C} }$-espacio${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$que es localmente isomorfo a un espacio modelo local.

Los morfismos de variedades analíticas complejas se definen como morfismos de los espacios anillados localmente subyacentes; también se denominan aplicaciones holomorfas. Un haz de estructuras puede tener elementos nilpotentes; ^{[ 1 ]} si el haz de estructuras es reducido , entonces el espacio analítico complejo se denomina reducido.

Un espacio analítico complejo asociado (variedad)${\displaystyle X_{h}}$es tal que: ^{[ 1 ]}

Sea X un esquema de tipo finito sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$y cubrir X con subconjuntos afines abiertos${\displaystyle Y_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$(${\displaystyle X=\cup Y_{i}}$) ( Espectro de un anillo ). Luego cada${\displaystyle A_{i}}$es un álgebra de tipo finito sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$, y${\displaystyle A_{i}\simeq \mathbb {C} [z_{1},\dots ,z_{n}]/(f_{1},\dots ,f_{m})}$, dónde${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$son polinomios en${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$, que puede considerarse como una función holomorfa en${\displaystyle \mathbb {C} }$Por lo tanto, su conjunto de ceros comunes es el subespacio analítico complejo.${\displaystyle (Y_{i})_{h}\subseteq \mathbb {C} }$Aquí, el esquema X se obtiene pegando los datos de los conjuntos.${\displaystyle Y_{i}}$y luego se pueden usar los mismos datos para unir los espacios analíticos complejos.${\displaystyle (Y_{i})_{h}}$en un espacio analítico complejo${\displaystyle X_{h}}$, así que llamamos${\displaystyle X_{h}}$un espacio analítico complejo asociado con X. El espacio analítico complejo X se reduce si y solo si el espacio analítico complejo asociado${\displaystyle X_{h}}$se reduce. ^{[ 2 ]}

• Espacio analítico
• variedad algebraica compleja
• GAGA – Dos temas matemáticos estrechamente relacionados. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Espacio analítico rígido : análogo de un espacio analítico complejo sobre un cuerpo no arquimediano.