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Espacio afín complejo

La geometría afín , en términos generales, es el estudio de las propiedades geométricas de líneas, planos y sus análogos de dimensiones superiores, en los que se conserva la noc...

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La geometría afín , en términos generales, es el estudio de las propiedades geométricas de líneas, planos y sus análogos de dimensiones superiores, en los que se conserva la noción de "paralelo", pero no las nociones métricas de distancia o ángulo. Los espacios afines se diferencian de los espacios lineales (es decir, los espacios vectoriales) en que no tienen un origen definido. Así, en palabras de Marcel Berger , "Un espacio afín no es más que un espacio vectorial cuyo origen intentamos ignorar añadiendo traslaciones a las transformaciones lineales". [ 1 ] En consecuencia, un espacio afín complejo , es decir, un espacio afín sobre los números complejos , es como un espacio vectorial complejo, pero sin un punto definido que sirva de origen.

La geometría afín es una de las dos ramas principales de la geometría algebraica clásica , siendo la otra la geometría proyectiva . Un espacio afín complejo se puede obtener a partir de un espacio proyectivo complejo fijando un hiperplano, que puede considerarse como un hiperplano de puntos ideales "en el infinito" del espacio afín. Para ilustrar la diferencia (sobre los números reales), una parábola en el plano afín interseca la recta en el infinito , mientras que una elipse no lo hace. Sin embargo, dos secciones cónicas cualesquiera son proyectivamente equivalentes. Así, una parábola y una elipse son iguales cuando se consideran proyectivamente, pero diferentes cuando se consideran como objetos afines. De forma menos intuitiva, sobre los números complejos, una elipse interseca la recta en el infinito en un par de puntos, mientras que una parábola la interseca en un solo punto. Por lo tanto, por una razón ligeramente diferente, una elipse y una parábola no son equivalentes sobre el plano afín complejo, pero sí lo son sobre el plano proyectivo (complejo).

Cualquier espacio vectorial complejo es un espacio afín: basta con olvidar el origen (y posiblemente cualquier estructura adicional como un producto interno ). Por ejemplo, el espacio complejo n -dimensionaldonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}puede considerarse un espacio afín complejo, cuando uno está interesado únicamente en sus propiedades afines (a diferencia de sus propiedades lineales o métricas, por ejemplo). Dado que cualesquiera dos espacios afines de la misma dimensión son isomorfos , en algunas situaciones es apropiado identificarlos condonorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}, partiendo de la premisa de que solo las nociones invariantes afínmente tienen significado en última instancia. Este uso es muy común en la geometría algebraica moderna.

Estructura afín

Existen varias formas equivalentes de especificar la estructura afín de un espacio afín complejo n -dimensional A. La más sencilla implica un espacio auxiliar V , denominado espacio diferencia , que es un espacio vectorial sobre los números complejos. En este caso, un espacio afín es un conjunto A junto con una acción simple y transitiva de V sobre A. (Es decir, A es un V -torsor).

Otra forma es definir una noción de combinación afín que satisfaga ciertos axiomas. Una combinación afín de puntos p 1 , …, p k ∈ A se expresa como una suma de la forma

a1pag1+⋯+akpagk{\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}

donde los escalares a i son números complejos cuya suma es igual a la unidad.

El espacio de diferencias puede identificarse con el conjunto de "diferencias formales" p − q , módulo la relación de que las diferencias formales respetan las combinaciones afines de una manera obvia.

funciones afines

Una funciónF:A↦do{\displaystyle f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C} }Se denomina afín si conserva las combinaciones afines. Por lo tanto,

F(a1pag1+⋯+akpagk)=a1F(pag1)+⋯+akF(pagk){\displaystyle f(a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k})=a_{1}f(\mathbf {p} _{1})+\cdots +a_{k}f(\mathbf {p} _{k})}

para cualquier combinación afín

a1pag1+⋯+akpagk{\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}en A.​

El espacio de funciones afines A * es un espacio lineal. El espacio vectorial dual de A * es naturalmente isomorfo a un espacio vectorial F( A ) de dimensión ( n +1) , que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en A coincide con la combinación afín en F( A ) . Mediante esta construcción, la estructura afín del espacio afín A puede recuperarse completamente a partir del espacio de funciones afines.

El álgebra de polinomios en las funciones afines sobre A define un anillo de funciones, denominado anillo de coordenadas afines en geometría algebraica. Este anillo posee una filtración , definida por grado en las funciones afines. A la inversa, es posible recuperar los puntos del espacio afín como el conjunto de homomorfismos algebraicos del anillo de coordenadas afines a los números complejos. Esto se denomina espectro maximal del anillo, ya que coincide con su conjunto de ideales maximales . Existe una estructura afín única sobre este espectro maximal que es compatible con la filtración en el anillo de coordenadas afines.

Ejemplos de baja dimensionalidad

Una dimensión

Un espacio afín complejo unidimensional, o línea afín compleja, es un torsor para un espacio lineal unidimensional sobredo{\displaystyle \mathbb {C} }El ejemplo más sencillo es el plano de Argand de números complejos.do{\displaystyle \mathbb {C} }en sí mismo. Esto tiene una estructura lineal canónica, y por lo tanto, "olvidar" el origen le da una estructura afín canónica.

Por otro ejemplo, supongamos que X es un espacio vectorial bidimensional sobre los números complejos. Seaα:incógnita→do{\displaystyle \alpha Sea $\mathbf {X} \to \mathbb {C} }$ un funcional lineal . Es bien sabido que el conjunto de soluciones de $α ( x ) = 0$ , el núcleo de $α$ , es un subespacio lineal unidimensional (es decir, una recta compleja que pasa por el origen de $X$ ). Pero si $c$ es algún número complejo distinto de cero, entonces el conjunto $A$ de soluciones de $α ( x ) = $c$ es una recta afín en $X$ , pero no es un subespacio lineal porque no es cerrado bajo ninguna combinación lineal arbitraria. El espacio de diferencias $V$ es el núcleo de $α$ , porque la diferencia de dos soluciones de la ecuación no homogénea $α ( x ) = $c$ se encuentra en el núcleo.

Una construcción análoga se aplica a la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea

y′(incógnita)+μ(incógnita)y(incógnita)=0{\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=0}

es un espacio lineal unidimensional, mientras que el conjunto de soluciones del problema no homogéneo

y′(incógnita)+μ(incógnita)y(incógnita)=F(incógnita){\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=f(x)}

es un espacio afín unidimensional A. La solución general es igual a una solución particular de la ecuación, más una solución de la ecuación homogénea. El espacio de soluciones de la ecuación homogénea es el espacio de diferencias V.

Consideremos una vez más el caso general de un espacio vectorial bidimensional X dotado de una forma lineal α . Un espacio afín A ( c ) viene dado por la solución α( x ) = c . Obsérvese que, para dos valores distintos de cero de c , digamos c₁ y c₂ , los espacios afines A ( c₁ ) y A ( c₂ ) son naturalmente isomorfos : al escalar por c₂ / c₁ se obtiene A ( c₁ ) en A ( c₂ ) . Así pues , en esta situación solo hay un espacio afín que merece la pena considerar, llamémoslo A , cuyos puntos son las rectas que pasan por el origen de X y que no se encuentran en el núcleo de α .

Algebraicamente, el espacio afín complejo A que acabamos de describir es el espacio de descomposiciones de la secuencia exacta.

0→ker⁡α→⊆incógnita→αdo→0.{\displaystyle 0\to \ker \alpha \,{\overset {\subseteq }{\rightarrow }}\,X\xrightarrow {\alpha } \mathbb {C} \to 0.}

Dos dimensiones

Un plano afín complejo es un espacio afín bidimensional sobre los números complejos. Un ejemplo es el espacio de coordenadas complejas bidimensional.do2{\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}. Esto tiene una estructura lineal natural y, por lo tanto, hereda una estructura afín bajo el functor de olvido . Otro ejemplo es el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial ordinaria lineal no homogénea de segundo orden (sobre los números complejos). Finalmente, en analogía con el caso unidimensional, el espacio de descomposiciones de una secuencia exacta

0→do2→do3→do→0{\displaystyle 0\to \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} \to 0}

es un espacio afín de dimensión dos.

Cuatro dimensiones

El grupo de espín conforme del grupo de Lorentz es SU(2,2), que actúa sobre un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones T (llamado espacio twistor ). El grupo de Poincaré conforme, como subgrupo de SU(2,2), estabiliza una secuencia exacta de la forma

0→Π→T→Ω→0{\displaystyle 0\to \Pi \to \mathbf {T} \to \Omega \to 0}

donde Π es un subespacio isotrópico maximal de T. El espacio de descomposiciones de esta secuencia es un espacio afín de cuatro dimensiones: espacio de Minkowski (complejado) .

Coordenadas afines

Sea A un espacio afín n -dimensional. Una colección de n funciones afines afínmente independientes.z1,z2,…,znorte:A→do{\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }es un sistema de coordenadas afín en A. Un sistema de coordenadas afín en A establece una biyección de A con el espacio de coordenadas complejas.donorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}, cuyos elementos son n- tuplas de números complejos.

En cambio,donorte{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}A veces se le denomina espacio afín complejo n- dimensional, donde se entiende que lo que interesa es su estructura como espacio afín (en contraposición, por ejemplo, a su condición de espacio lineal o espacio de coordenadas ). Este uso es típico en geometría algebraica .

Espacio proyectivo asociado

Un espacio afín complejo A tiene una completación proyectiva canónica P ( A ), definida de la siguiente manera. Se forma el espacio vectorial F( A ), que es el espacio vectorial libre en A módulo la relación de que la combinación afín en F( A ) coincide con la combinación afín en A. Entonces dim F( A ) = n + 1 , donde n es la dimensión de A. La completación proyectiva de A es el espacio proyectivo de subespacios lineales complejos unidimensionales de F( A ).

Grupo de estructura y automorfismos

El grupo Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n + 1, C ) actúa sobre P ( A ). El estabilizador del hiperplano en el infinito es un subgrupo parabólico, que es el grupo de automorfismos de A . Es isomorfo (pero no naturalmente isomorfo) a un producto semidirecto del grupo GL( V ) y V . El subgrupo GL( V ) es el estabilizador de algún punto de referencia fijo o (un "origen") en A , actuando como el grupo de automorfismos lineales del espacio de vectores que emanan de o , y V actúa por traslación.

El grupo de automorfismos del espacio proyectivo P ( A ) como variedad algebraica no es otro que el grupo de colineaciones PGL(F( A )) . En contraste, el grupo de automorfismos del espacio afín A como variedad algebraica es mucho mayor. Por ejemplo, consideremos el automapa del plano afín definido en términos de un par de coordenadas afines por

(z1,z2)↦(z1,z2+F(z1)){\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1}))}

donde f es un polinomio en una sola variable. Este es un automorfismo de la variedad algebraica, pero no un automorfismo de la estructura afín. El determinante jacobiano de tal automorfismo algebraico es necesariamente una constante no nula. Se cree que si el jacobiano de una automapa de un espacio afín complejo es una constante no nula, entonces la aplicación es un automorfismo (algebraico). Esto se conoce como la conjetura jacobiana .

Estructura compleja

Una función en un espacio afín complejo es holomorfa si su conjugada compleja es una derivada de Lie a lo largo del espacio de diferencias V. Esto le da a cualquier espacio afín complejo la estructura de una variedad compleja .

Toda función afín de A a los números complejos es holomorfa. Por lo tanto, todo polinomio en funciones afines también lo es.

Topologías

En un espacio afín complejo, existen dos topologías que se utilizan comúnmente.

La topología analítica es la topología inicial para la familia de funciones afines en los números complejos, donde estos últimos conservan su topología euclidiana usual, inducida por el valor absoluto complejo como norma. Esta es también la topología inicial para la familia de funciones holomorfas.

La topología analítica tiene una base formada por polidiscos . Asociada a cualesquiera n funciones afines independientes.z1,…,znorte:A→do{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }En A , el polidisco unitario se define por

B(z1,…,znorte)={z∈A:|z1(z)|<1,…,|znorte(z)|<1}.{\displaystyle B(z_{1},\dots ,z_{n})=\left\{\mathbf {z} \in \mathbf {A} \,:\,\left|z_{1}(\mathbf {z} )\right|<1,\dots ,\left|z_{n}(\mathbf {z} )\right|<1\right\}.}

Cualquier conjunto abierto en la topología analítica es la unión de una colección numerable de polidiscos unitarios.

La topología de Zariski es la topología inicial para las funciones afines de valores complejos, pero aplica a la recta compleja la topología de complemento finito. Así, en la topología de Zariski, un subconjunto de A es cerrado si y solo si es el conjunto cero de alguna colección de funciones polinómicas de valores complejos definidas en A. Una subbase de la topología de Zariski es la colección de complementos de conjuntos algebraicos irreducibles.

La topología analítica es más fina que la topología de Zariski, lo que significa que todo conjunto abierto en la topología de Zariski también lo es en la topología analítica. Lo contrario no es cierto. Un polidisco, por ejemplo, es abierto en la topología analítica pero no en la de Zariski.

Se puede definir una métrica en un espacio afín complejo, convirtiéndolo en un espacio euclidiano , seleccionando un producto interno en V. La distancia entre dos puntos p y q de A se da entonces en términos de la norma asociada en V mediante

d(pag,q)=‖pag−q‖.{\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|.}

Las bolas abiertas asociadas a la métrica forman la base de una topología, que es la misma que la topología analítica.

Haz de funciones analíticas

La familia de funciones holomorfas en un espacio afín complejo A forma un haz de anillos sobre él. Por definición, dicho haz asocia a cada subconjunto abierto (analítico) U de A el anilloO(U){\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}de todas las funciones holomorfas de valor complejo en U.

La unicidad de la continuación analítica establece que, dadas dos funciones holomorfas en un subconjunto abierto conexo U de C n , si coinciden en un subconjunto abierto no vacío de U , coinciden en U . En términos de la teoría de haces, la unicidad implica queO{\displaystyle {\mathcal {O}}}, visto como espacio étalé , es un espacio topológico de Hausdorff .

El teorema de coherencia de Oka establece que el haz de estructuraO{\displaystyle {\mathcal {O}}}de un espacio afín complejo es coherente . Este es el resultado fundamental en la teoría de funciones de varias variables complejas ; por ejemplo, implica inmediatamente que el haz estructural de un espacio analítico complejo (por ejemplo, una variedad compleja ) es coherente.

Todo espacio afín complejo es un dominio de holomorfía . En particular, es una variedad de Stein .

Véase también

Referencias

  1. ↑