Módulo gratuito

En matemáticas , un módulo libre es un módulo que tiene una base , es decir, un conjunto generador linealmente independiente . Todo espacio vectorial es un módulo libre, ^{[ 1 ]} pero, si el anillo de los coeficientes no es un anillo de división (no es un cuerpo en el caso conmutativo ), entonces existen módulos no libres.

Dado cualquier conjunto S y anillo R , existe un R -módulo libre con base S , que se denomina módulo libre en S o módulo de combinaciones lineales formales R de los elementos de S.

Un grupo abeliano libre es precisamente un módulo libre sobre el anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de enteros .

Para un anillo${\displaystyle R}$y un${\displaystyle R}$- módulo${\displaystyle M}$, el conjunto${\displaystyle E\subseteq M}$es una base para${\displaystyle M}$si:

• ${\displaystyle E}$es un conjunto generador para${\displaystyle M}$; es decir, cada elemento de${\displaystyle M}$es una suma finita de elementos de${\displaystyle E}$multiplicado por coeficientes en${\displaystyle R}$; y
• ${\displaystyle E}$es linealmente independiente : para cada conjunto${\displaystyle \{e_{1},\dots,e_{n}\}\subset E}$de elementos distintos,${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$implica que${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$(dónde${\displaystyle 0_{M}}$es el elemento cero de${\displaystyle M}$y${\displaystyle 0_{R}}$es el elemento cero de${\displaystyle R}$).

Un módulo libre es un módulo con una base. ^{[ 2 ]}

Una consecuencia inmediata de la segunda mitad de la definición es que los coeficientes de la primera mitad son únicos para cada elemento de M.

Si${\displaystyle R}$Si tiene un número de base invariante , entonces, por definición, dos bases cualesquiera tienen la misma cardinalidad. Por ejemplo, los anillos conmutativos no nulos tienen un número de base invariante. La cardinalidad de cualquier base (y, por lo tanto, de todas) se denomina rango del módulo libre.${\displaystyle M}$. Si esta cardinalidad es finita, se dice que el módulo libre es libre de rango finito , o libre de rango n si se sabe que el rango es n .

Sea R un anillo.

• R es un módulo libre de rango uno sobre sí mismo (ya sea como módulo izquierdo o derecho); cualquier elemento unitario es una base.
• De manera más general, si R es conmutativo, un ideal no nulo I de R es libre si y solo si es un ideal principal generado por un divisor no nulo , siendo el generador una base. ^{[ 3 ]}
• Sobre un dominio ideal principal (por ejemplo,${\displaystyle \mathbb {Z} }$), un submódulo de un módulo libre es libre.
• Si R es conmutativo, el anillo de polinomios${\displaystyle R[X]}$En un conjunto indeterminado, X es un módulo libre con una base posible 1, X , X ² , ....
• Dejar${\displaystyle A[t]}$Sea A un anillo de polinomios sobre un anillo conmutativo A , f un polinomio mónico de grado d en dicho anillo,${\displaystyle B=A[t]/(f)}$y${\displaystyle \xi }$la imagen de t en B. Entonces B contiene a A como un subanillo y es libre como un A -módulo con una base.${\displaystyle 1,\xi ,\dots ,\xi ^{d-1}}$.
• Para cualquier entero no negativo n ,${\displaystyle R^{n}=R\times \cdots \times R}$, el producto cartesiano de n copias de R como un R -módulo izquierdo, es libre. Si R tiene un número de base invariante , entonces su rango es n .
• Una suma directa de módulos libres es libre, mientras que un producto cartesiano infinito de módulos libres generalmente no es libre (cf. el grupo de Baer-Specker ).
• Un módulo finitamente generado sobre un anillo local conmutativo es libre si y solo si es fielmente plano . ^{[ 4 ]} Además, el teorema de Kaplansky establece que un módulo proyectivo sobre un anillo local (posiblemente no conmutativo) es libre.
• En ocasiones, determinar si un módulo es libre o no resulta indecidible desde el punto de vista de la teoría de conjuntos. Un ejemplo famoso es el problema de Whitehead , que plantea la cuestión de si un grupo de Whitehead es libre o no. Resulta que este problema es independiente de ZFC.

Dado un conjunto E y un anillo R , existe un R -módulo libre que tiene a E como base: concretamente, la suma directa de copias de R indexadas por E.

${\displaystyle R^{(E)}=\bigoplus _ {e\in E}R.}$

Explícitamente, es el submódulo del producto cartesiano.${\textstyle \prod _{E}R}$( R se considera, por ejemplo, un módulo izquierdo) que consta de los elementos que tienen solo un número finito de componentes no nulas. Se puede incrustar E en R ^{( E )} como un subconjunto identificando un elemento e con aquel de R ^{( E )} cuya componente e es 1 (la unidad de R ) y todas las demás componentes son cero. Entonces, cada elemento de R ^{( E )} se puede escribir de forma única como

${\displaystyle \sum _ {e\in E}c_ {e}e,}$

donde solo un número finito de${\displaystyle c_{e}}$son distintos de cero. Se denomina combinación lineal formal de elementos de E.

Un argumento similar muestra que todo R -módulo izquierdo (resp. derecho) libre es isomorfo a una suma directa de copias de R como módulo izquierdo (resp. derecho).

El mapeo de la inclusión${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$La definición anterior es universal en el siguiente sentido. Dada una función arbitraria${\displaystyle f:E\to N}$de un conjunto E a un R -módulo izquierdo N , existe un homomorfismo de módulos único${\displaystyle {\overline {f}}:R^{(E)}\to N}$de tal manera que${\displaystyle f={\overline {f}}\circ \iota }$; es decir,${\displaystyle {\overline {f}}}$se define mediante la fórmula:

${\displaystyle {\overline {f}}\left(\sum _{e\in E}r_{e}e\right)=\sum _{e\in E}r_{e}f(e)}$

y${\displaystyle {\overline {f}}}$Se dice que se obtiene extendiendo${\displaystyle f}$por linealidad. La unicidad significa que cada mapa R -lineal${\displaystyle R^{(E)}\to N}$está determinado de forma única por su restricción a E.

Como es habitual para las propiedades universales, esto define R ^{( E )} salvo un isomorfismo canónico . También la formación de${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$para cada conjunto E determina un functor

${\displaystyle R^{(-)}:{\textbf {Establecer}}\to R{\text{-}}{\mathsf {Mod}},\,E\mapsto R^{(E)}}$,

de la categoría de conjuntos a la categoría de R -módulos izquierdos. Se le llama functor libre y satisface una relación natural: para cada conjunto E y un módulo izquierdo N ,

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\textbf {Set}}(E,U(N))\simeq \operatorname {Hom} _{R}(R^{(E)},N),\,f\mapsto {\overline {f}}}$

dónde${\displaystyle U:R{\text{-}}{\mathsf {Mod}}\to {\textbf {Set}}}$es el functor olvidadizo , lo que significa${\displaystyle R^{(-)}}$es un adjunto izquierdo del functor olvidadizo.

Muchas afirmaciones válidas para módulos libres se extienden a ciertas clases más amplias de módulos. Los módulos proyectivos son sumandos directos de módulos libres. Los módulos planos se definen por la propiedad de que al tensorializar con ellos se conservan secuencias exactas. Los módulos sin torsión forman una clase aún más amplia. Para un módulo finitamente generado sobre un PID (como Z ), las propiedades libre, proyectivo, plano y sin torsión son equivalentes.

Vea el anillo local , el anillo perfecto y el anillo Dedekind .

• Objeto libre
• Presentación gratuita
• Resolución gratuita
• Teorema de Quillen-Suslin
• Módulo libre estable
• Gratuidad genérica

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• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos matemáticos universitarios. Oliver and Boyd. págs. 65–66 . ISBN  0-05-002192-3. MR 0345993 . 
• Keown, R. (1975). Introducción a la teoría de la representación de grupos . Matemáticas en ciencia e ingeniería. Vol.  116. Academic Press. ISBN 978-0-12-404250-6. SR 0387387 . 
• Govorov, VE (2001) [1994], "Módulo libre" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
• Matsumura, Hideyuki (1986). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol.  8. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36764-6. SEÑOR 0879273 . Zbl 0603.13001 .