Temas elementales

En matemáticas , un topos elemental es una categoría cuyas propiedades la asemejan a la categoría de conjuntos . Los topos elementales pueden utilizarse como modelos de lógica intuicionista de orden superior .

Un topos elemental (en adelante, simplemente topos) puede imaginarse como un universo matemático alternativo. ^{[ 1 ]} Es una categoría suficientemente similar a la categoría de conjuntos como para que se puedan incorporar en ella construcciones matemáticas estándar, como subconjuntos, espacios de funciones , etc. Más precisamente, un topos admite la lógica intuicionista de orden superior como lenguaje interno ; el carácter intuicionista implica que solo las demostraciones constructivas son válidas en cualquier topos. Por lo tanto, los topos se utilizan ampliamente como modelos de matemáticas constructivas .

El “universo matemático estándar” es la categoría de conjuntos , que es un topos. Si la simetría bajo un grupo particular G es importante, se puede usar el topos que consta de todos los G -conjuntos .

También es posible codificar una teoría algebraica , como la teoría de grupos, como un topos, en forma de topos de clasificación . Los modelos individuales de la teoría, es decir, los grupos en nuestro ejemplo, corresponden entonces a functores del topos de codificación a la categoría de conjuntos que respetan la estructura del topos.

Existen múltiples definiciones equivalentes de topos. La siguiente tiene la virtud de ser concisa:

Un topos es una categoría que tiene las dos propiedades siguientes:

• Existen todos los límites aplicados a categorías de índices finitos.
• Cada objeto tiene un objeto potencia. Este cumple la función del conjunto potencia en la teoría de conjuntos.

Formalmente, un objeto de poder de un objeto${\displaystyle X}$es un par${\displaystyle (PX,\ni _{X})}$con${\displaystyle {\ni _{X}}\subseteq PX\times X}$, que clasifica las relaciones, en el siguiente sentido. Primero observe que para cada objeto${\displaystyle I}$, un morfismo${\displaystyle r\colon I\to PX}$("una familia de subconjuntos") induce un subobjeto${\displaystyle \{(i,x)~|~x\in r(i)\}\subseteq I\times X}$Formalmente, esto se define como un retroceso.${\displaystyle \ni _{X}}$a lo largo de${\displaystyle r\times X:I\times X\to PX\times X}$La propiedad universal de un objeto de poder es que toda relación surge de esta manera, dando una correspondencia biyectiva entre relaciones.${\displaystyle R\subsetequ I\times X}$y morfismos${\displaystyle r\colon I\to PX}$.

A partir de límites finitos y objetos de potencia se puede derivar que

• Todos los colímites tomados sobre categorías de índice finitas existen.
• La categoría tiene un clasificador de subobjetos .
• La categoría es cartesiana cerrada .

En algunas aplicaciones, el rol del clasificador de subobjetos es fundamental, mientras que el de los objetos de potencia no lo es. Por lo tanto, algunas definiciones invierten los roles de lo que se define y lo que se deriva.

Un functor lógico es un functor entre topoi que preserva los límites finitos y los objetos potencia. Los functores lógicos preservan las estructuras que tienen los topoi. En particular, preservan los colímites finitos, los clasificadores de subobjetos y los objetos exponenciales . ^{[ 2 ]}

Un topos, tal como se define arriba, puede entenderse como una categoría cartesiana cerrada para la cual la noción de subobjeto de un objeto tiene una definición elemental o de primer orden. Esta noción, como una abstracción categórica natural de las nociones de subconjunto de un conjunto, subgrupo de un grupo y, más generalmente, subálgebra de cualquier estructura algebraica , precede a la noción de topos. Es definible en cualquier categoría, no solo en topoi, en lenguaje de segundo orden , es decir, en términos de clases de morfismos en lugar de morfismos individuales, como sigue. Dados dos mónicos m y n de Y y Z a X respectivamente , decimos que m ≤ n cuando existe un morfismo p : Y → Z para el cual np = m , que induce un preorden en los mónicos a X. Cuando m ≤ n y n ≤ m decimos que m y n son equivalentes. Los subobjetos de X son las clases de equivalencia resultantes de los mónicos correspondientes.

En un topos, "subobjeto" se convierte, al menos implícitamente, en una noción de primer orden, como sigue.

Como se indicó anteriormente, un topos es una categoría C que posee todos los límites finitos y, por lo tanto, en particular el límite vacío u objeto final 1. Es entonces natural tratar los morfismos de la forma x : 1 → X como elementos x ∈ X. Los morfismos f : X → Y corresponden así a funciones que asignan a cada elemento x ∈ X el elemento fx ∈ Y , cuya aplicación se realiza mediante composición.

Uno podría entonces pensar en definir un subobjeto de X como una clase de equivalencia de mónicos m : X′ → X que tienen la misma imagen { mx | x ∈ X′ }. El problema es que dos o más morfismos pueden corresponder a la misma función, es decir, no podemos asumir que C es concreto en el sentido de que el functor C (1,-): C → Set es fiel. Por ejemplo, la categoría Grph de grafos y sus homomorfismos asociados es un topos cuyo objeto final 1 es el grafo con un vértice y una arista (un bucle propio), pero no es concreto porque los elementos 1 → G de un grafo G corresponden solo a los bucles propios y no a las otras aristas, ni a los vértices sin bucles propios. Mientras que la definición de segundo orden hace que G y el subgrafo de todos los bucles de G (con sus vértices) sean subobjetos distintos de G (a menos que cada arista sea, y cada vértice tenga, un bucle), esta definición basada en imágenes no lo hace. Esto se puede solucionar para el ejemplo del grafo y ejemplos relacionados mediante el lema de Yoneda, como se describe en la sección de ejemplos adicionales a continuación, pero entonces deja de ser de primer orden. Los topói proporcionan una solución más abstracta, general y de primer orden.

Como se indicó anteriormente, un topos C tiene un clasificador de subobjetos Ω, es decir, un objeto de C con un elemento t ∈ Ω, el subobjeto genérico de C , que tiene la propiedad de que todo mónico m : X′ → X surge como un retroceso del subobjeto genérico a lo largo de un único morfismo f : X → Ω, como se muestra en la Figura 1. Ahora bien, el retroceso de un mónico es un mónico, y todos los elementos, incluido t, son mónicos, ya que solo hay un morfismo a 1 desde cualquier objeto dado, por lo que el retroceso de t a lo largo de f : X → Ω es un mónico. Por lo tanto, los mónicos a X están en biyección con los retrocesos de t a lo largo de morfismos de X a Ω. Estos últimos morfismos dividen los mónicos en clases de equivalencia, cada una determinada por un morfismo f : X → Ω, el morfismo característico de esa clase, que tomamos como el subobjeto de X caracterizado o nombrado por f .

Todo esto se aplica a cualquier topos, sea concreto o no. En el caso concreto, es decir, fiel a C (1,-), por ejemplo la categoría de conjuntos, la situación se reduce al comportamiento habitual de las funciones. Aquí, los mónicos m : X′ → X son precisamente las inyecciones (funciones biyectivas) de X′ a X , y aquellos con una imagen dada { mx | x ∈ X′ } constituyen el subobjeto de X correspondiente al morfismo f : X → Ω para el cual f ^{− 1} ( t ) es esa imagen. Los mónicos de un subobjeto tendrán, en general, muchos dominios, todos los cuales, sin embargo, estarán en biyección entre sí.

En resumen, esta noción de primer orden de clasificador de subobjetos define implícitamente para un topos la misma relación de equivalencia en los mónicos a X que había sido definida explícitamente con anterioridad por la noción de segundo orden de subobjeto para cualquier categoría. La noción de relación de equivalencia en una clase de morfismos es intrínsecamente de segundo orden, lo cual la definición de topos elude hábilmente al definir explícitamente solo la noción de clasificador de subobjetos Ω, dejando la noción de subobjeto de X como una consecuencia implícita caracterizada (y por lo tanto nombrable) por su morfismo asociado f : X → Ω.

Todo topos de Grothendieck es un topos elemental, pero lo contrario no es cierto (ya que todo topos de Grothendieck es cocompleto, lo cual no es un requisito para un topos elemental).

Las categorías de conjuntos finitos, de G -conjuntos finitos ( acciones de un grupo G sobre un conjunto finito) y de grafos finitos son topoi elementales que no son topoi de Grothendieck.

Si C es una categoría pequeña, entonces la categoría de funtores Set ^C (que consta de todos los funtores covariantes de C a conjuntos, con transformaciones naturales como morfismos) es un topos. Por ejemplo, la categoría Grph de grafos del tipo que permite múltiples aristas dirigidas entre dos vértices es un topos. Dicho grafo consta de dos conjuntos, un conjunto de aristas y un conjunto de vértices, y dos funciones s,t entre esos conjuntos, que asignan a cada arista e su origen s ( e ) y destino t ( e ). Grph es, por lo tanto, equivalente a la categoría de funtores Set ^C , donde C es la categoría con dos objetos E y V y dos morfismos s,t : E → V que dan respectivamente el origen y el destino de cada arista.

El lema de Yoneda afirma que C ^op se incrusta en el conjunto ^C como una subcategoría completa. En el ejemplo del grafo, la incrustación representa a C ^op como la subcategoría del conjunto ^C cuyos dos objetos son V' como el grafo de un vértice y ninguna arista y E' como el grafo de dos vértices y una arista (ambos como functores), y cuyos dos morfismos de no identidad son los dos homomorfismos de grafos de V' a E' (ambos como transformaciones naturales). Las transformaciones naturales de V' a un grafo arbitrario (functor) G constituyen los vértices de G, mientras que las de E' a G constituyen sus aristas. Aunque el conjunto ^C , que podemos identificar con Grph , no se concreta ni por V' ni por E' por sí solos, el functor U : Grph → Set ² que envía el objeto G al par de conjuntos ( Grph ( V' , G ), Grph ( E' , G )) y el morfismo h : G → H al par de funciones ( Grph ( V' , h ), Grph ( E' , h )) es fiel. Es decir, un morfismo de grafos puede entenderse como un par de funciones, una que mapea los vértices y la otra las aristas, con una aplicación que aún se realiza como composición, pero ahora con múltiples tipos de elementos generalizados . Esto demuestra que el concepto tradicional de una categoría concreta como aquella cuyos objetos tienen un conjunto subyacente puede generalizarse para abarcar una gama más amplia de topoi al permitir que un objeto tenga múltiples conjuntos subyacentes, es decir, que sea multisortado.

La categoría de conjuntos con punto y funciones que preservan el punto no es un topos, ya que no tiene objetos potencia: si${\displaystyle PX}$eran el objeto de poder del conjunto señalado${\displaystyle X}$, y${\displaystyle 1}$denota el singleton apuntado, entonces solo hay una función que preserva el punto${\displaystyle r\colon 1\to PX}$, pero las relaciones en${\displaystyle 1\times X}$son tan numerosos como los subconjuntos señalados de${\displaystyle X}$. La categoría de grupos abelianos tampoco es un topos, por una razón similar: todo homomorfismo de grupo debe mapear 0 a 0.

• Historia de la teoría del topos
• Teoría de tipos intuicionista

• McLarty, Colin (1992). Categorías elementales, topos elementales . Clarendon Press. ISBN 978-0-19-158949-2.
• MacLane, Saunders ; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Haz en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría de topos . Springer. ISBN 978-1-4612-0927-0.
• Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Topos Theory . Courier. ISBN 978-0-486-49336-7.
• Johnstone, Peter T. (2002). Bocetos de un elefante: Un compendio de la teoría del topo . Vol.  2. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-851598-2.