Subconjunto cerrado localmente

En topología , una rama de las matemáticas, un subconjunto${\displaystyle E}$de un espacio topológico${\displaystyle X}$Se dice que es localmente cerrado si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

• ${\displaystyle E}$es la intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado en${\displaystyle X.}$
• Para cada punto${\displaystyle x\in E,}$Hay un vecindario${\displaystyle U}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle E\cap U}$está cerrado en${\displaystyle U.}$
• ${\displaystyle E}$está abierto en su cierre${\displaystyle {\overline {E}}.}$
• El conjunto${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$está cerrado en${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos cerrados en${\displaystyle X.}$
• ${\displaystyle E}$es la diferencia de dos conjuntos abiertos en${\displaystyle X.}$

La segunda condición justifica la terminología localmente cerrado y es la definición de Bourbaki de localmente cerrado. ^{[ 1 ]} Para ver que la segunda condición implica la tercera, usemos los hechos de que para subconjuntos${\displaystyle A\subseteq B,}$${\displaystyle A}$está cerrado en${\displaystyle B}$si y solo si${\displaystyle A={\overline {A}}\cap B}$y que para un subconjunto${\displaystyle E}$y un subconjunto abierto${\displaystyle U,}$${\displaystyle {\overline {E}}\cap U={\overline {E\cap U}}\cap U.}$

El intervalo${\displaystyle (0,1]=(0,2)\cap [0,1]}$es un subconjunto localmente cerrado de${\displaystyle \mathbb {R} .}$Por otro ejemplo, consideremos el interior relativo${\displaystyle D}$de un disco cerrado en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$Es localmente cerrado, ya que es la intersección de un disco cerrado y una bola abierta.

Por otro lado,${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\neq 0\}\cup \{(0,0)\}}$no es un subconjunto cerrado localmente de${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Recordemos que, por definición, una subvariedad${\displaystyle E}$de un${\displaystyle n}$-colector${\displaystyle M}$es un subconjunto tal que para cada punto${\displaystyle x}$en${\displaystyle E,}$Hay un gráfico${\displaystyle \varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}}$a su alrededor de tal manera que${\displaystyle \varphi (E\cap U)=\mathbb {R} ^{k}\cap \varphi (U).}$Por lo tanto, una subvariedad es localmente cerrada. ^{[ 5 ]}

He aquí un ejemplo en geometría algebraica. Sea U una carta afín abierta sobre una variedad proyectiva X (en la topología de Zariski). Entonces, cada subvariedad cerrada Y de U es localmente cerrada en X ; es decir,${\displaystyle Y=U\cap {\overline {Y}}}$dónde${\displaystyle {\overline {Y}}}$denota la clausura de Y en X. (Véase también variedad cuasiproyectiva y variedad cuasiafín ).

Las intersecciones finitas y la preimagen bajo una aplicación continua de conjuntos localmente cerrados son localmente cerrados. ^{[ 1 ]} Por otro lado, la unión y el complemento de subconjuntos localmente cerrados no tienen por qué ser localmente cerrados. ^{[ 6 ]} (Esto motiva la noción de conjunto construible ).

Especialmente en la teoría de la estratificación , para un subconjunto localmente cerrado${\displaystyle E,}$el complemento${\displaystyle {\overline {E}}\setminus E}$se llama el límite de${\displaystyle E}$(no confundir con límite topológico ). ^{[ 2 ]} Si${\displaystyle E}$es una subvariedad cerrada con frontera de una variedad${\displaystyle M,}$entonces el interior relativo (es decir, el interior como una variedad) de${\displaystyle E}$está cerrado localmente en${\displaystyle M}$y su frontera como variedad es la misma que su frontera como subconjunto localmente cerrado. ^{[ 2 ]}

Se dice que un espacio topológico esSubmaximal si cada subconjunto es localmente cerrado. Consulteel glosario de topología#Spara obtener más información sobre este concepto.

• Espacio generado de forma contable

• Bourbaki, Nicolás (2007). Topología general. Capítulos 1 a 4 . Berlín: Springer. doi : 10.1007/978-3-540-33982-3 . ISBN 978-3-540-33982-3.
• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ] . Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. doi : 10.1007/978-3-642-61701-0 . ISBN 978-3-540-64241-1OCLC 18588129 .​ 
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3-88538-006-4.
• Pflaum, Markus J. (2001). Estudio analítico y geométrico de espacios estratificados . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  1768. Berlín: Springer. ISBN 3-540-42626-4OCLC 47892611​​ 

• Conjunto cerrado localmente en el Laboratorio n