Espacio generado de forma contable

En matemáticas , un espacio topológico${\displaystyle X}$se denomina generado contablemente si la topología de${\displaystyle X}$está determinada por los conjuntos numerables de manera similar a como la topología de un espacio secuencial (o un espacio de Fréchet ) está determinada por las secuencias convergentes.

Los espacios generados de forma contable son precisamente los espacios que tienen una estrechez contable ; de ​​ahí el nombre.También se utiliza el término " countably tight" (contablemente ajustado ).

Un espacio topológico${\displaystyle X}$se llamagenerado de forma contable si la topología en${\displaystyle X}$es coherente con la familia de sus subespacios numerables. En otras palabras, cualquier subconjunto${\displaystyle V\subsetequ X}$está cerrado en${\displaystyle X}$siempre que para cada subespacio contable${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$el conjunto${\displaystyle V\cap U}$está cerrado en${\displaystyle U;}$ o equivalentemente, cualquier subconjunto${\displaystyle V\subsetequ X}$está abierto en${\displaystyle X}$siempre que para cada subespacio contable${\displaystyle U}$de${\displaystyle X}$el conjunto${\displaystyle V\cap U}$está abierto en${\displaystyle U.}$

De forma equivalente,${\displaystyle X}$es contablemente ajustado ; es decir, para cada conjunto${\displaystyle A\subsetequ X}$y cada punto${\displaystyle x\in {\overline {A}}}$, hay un conjunto contable${\displaystyle D\subsetequ A}$con${\displaystyle x\in {\overline {D}}.}$ En otras palabras, el cierre de${\displaystyle A}$es la unión de los cierres de todos los subconjuntos numerables de${\displaystyle A.}$

Un espacio topológico${\displaystyle X}$tienetensión del ventilador contable si por cada punto${\displaystyle x\in X}$y cada secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$de subconjuntos del espacio${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$hay un conjunto finito${\displaystyle B_{1}\subseteq A_{1},B_{2}\subseteq A_{2},\ldots }$de tal manera que${\displaystyle x\in {\overline {{\textstyle \bigcup \limits _{n}}\,B_{n}}}={\overline {B_{1}\cup B_{2}\cup \cdots }}.}$

Un espacio topológico${\displaystyle X}$tienecontable fuerte tensión del ventilador si por cada punto${\displaystyle x\in X}$y cada secuencia${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$de subconjuntos del espacio${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle x\in {\textstyle \bigcap \limits _{n}}\,{\overline {A_{n}}}={\overline {A_{1}}}\cap {\overline {A_{2}}}\cap \cdots ,}$hay puntos${\displaystyle x_{1}\in A_{1},x_{2}\in A_{2},\ldots }$de tal manera que${\displaystyle x\in {\overline {\left\{x_{1},x_{2},\ldots \right\}}}.}$Cada espacio Fréchet-Urysohn robusto tiene una fuerte estanqueidad al ventilador.

Un cociente de un espacio generado numerablemente también es generado numerablemente. De igual modo, una suma topológica de espacios generados numerablemente también es generada numerablemente. Por lo tanto, los espacios generados numerablemente forman una subcategoría correflectiva de la categoría de espacios topológicos . Son la envoltura correflectiva de todos los espacios numerables.

Cualquier subespacio de un espacio generado numerablemente es también generado numerablemente.

Todo espacio secuencial (en particular, todo espacio metrizable ) es contablemente generado.

Un ejemplo de un espacio que es numerablemente generado pero no secuencial se puede obtener, por ejemplo, como un subespacio del espacio de Arens-Fort .

• Espacio finitamente generado : tipo de topología en matemáticas. Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redireccionamiento. 
• Subconjunto cerrado localmente : intersección de un conjunto abierto y un conjunto cerrado. 

• Herrlich, Horst (1968). Topologische Reflexionen und Coreflexionen . Apuntes de clases de matemáticas. 78. Berlín: Springer .

• Glosario de definiciones de topología general
• https://web.archive.org/web/20040917084107/http://thales.doa.fmph.uniba.sk/density/pages/slides/sleziak/paper.pdf