haz de inyecciones

En matemáticas , los haces inyectivos de grupos abelianos se utilizan para construir las resoluciones necesarias para definir la cohomología de haces (y otros functores derivados , como sheaf Ext ).

Hay otro grupo de conceptos relacionados aplicados a los haces : flácido ( flasque en francés), fino , suave ( mou en francés), acíclico . En la historia del tema, se introdujeron antes del " artículo de Tohoku " de Alexander Grothendieck de 1957 , que demostró que la noción de objeto inyectivo de la categoría abeliana era suficiente para fundar la teoría. Las otras clases de haces son nociones históricamente más antiguas. El marco abstracto para definir la cohomología y los functores derivados no los necesita. Sin embargo, en la mayoría de las situaciones concretas, las resoluciones mediante haces acíclicos suelen ser más fáciles de construir. Por lo tanto, los haces acíclicos sirven para fines computacionales, por ejemplo, la secuencia espectral de Leray .

Un haz inyectivo${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es un haz que es un objeto inyectivo de la categoría de haces abelianos; en otras palabras, homomorfismos de${\displaystyle {\mathcal {A}}}$a${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Siempre se puede extender a cualquier haz.${\displaystyle {\mathcal {B}}}$que contiene${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

La categoría de haces abelianos posee suficientes objetos inyectivos: esto significa que cualquier haz es un subhaz de un haz inyectivo. Este resultado de Grothendieck se deriva de la existencia de un generador de la categoría (que puede escribirse explícitamente y está relacionado con el clasificador de subobjetos ). Esto basta para demostrar que existen functores derivados derechos de cualquier functor exacto izquierdo, y que estos son únicos salvo isomorfismo canónico.

Para fines técnicos, los haces inyectivos suelen ser superiores a las demás clases de haces mencionadas anteriormente: pueden realizar prácticamente todas las funciones de las otras clases, y su teoría es más sencilla y general. De hecho, los haces inyectivos son flexibles , suaves y acíclicos. Sin embargo, existen situaciones en las que las demás clases de haces aparecen de forma natural, especialmente en situaciones computacionales concretas.

El concepto dual, haces proyectivos , no se usa mucho, porque en una categoría general de haces no hay suficientes: no todo haz es el cociente de un haz proyectivo, y en particular las resoluciones proyectivas no siempre existen. Este es el caso, por ejemplo, cuando se considera la categoría de haces en el espacio proyectivo en la topología de Zariski . Esto causa problemas al intentar definir funtores derivados por la izquierda de un funtor exacto por la derecha (como Tor ). Esto a veces se puede hacer por medios ad hoc: por ejemplo, los funtores derivados por la izquierda de Tor se pueden definir usando una resolución plana en lugar de una proyectiva, pero se requiere cierto trabajo para demostrar que esto es independiente de la resolución. No todas las categorías de haces se topan con este problema; por ejemplo, la categoría de haces en un esquema afín contiene suficientes proyectivos.

Un haz acíclico${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sobre X es uno tal que todos los grupos de cohomología de haces superiores se anulan.

Los grupos de cohomología de cualquier haz se pueden calcular a partir de cualquier resolución acíclica del mismo (esto se conoce como teorema de De Rham-Weil ).

Un haz fino sobre X es aquel con " particiones de la unidad "; más precisamente, para cualquier cubierta abierta del espacio X podemos encontrar una familia de homomorfismos del haz en sí mismo con suma 1 tales que cada homomorfismo es 0 fuera de algún elemento de la cubierta abierta.

Los haces finos se utilizan generalmente solo sobre espacios de Hausdorff paracompactos X. Ejemplos típicos son el haz de gérmenes de funciones continuas de valor real sobre dicho espacio, las funciones suaves sobre una variedad suave (de Hausdorff paracompacta) o los módulos sobre estos haces de anillos. Además, los haces finos sobre espacios de Hausdorff paracompactos son suaves y acíclicos.

Se puede encontrar una resolución de un haz en una variedad lisa mediante haces finos utilizando la resolución de Alexander-Spanier. ^{[ 1 ]}

Como aplicación, consideremos una variedad real X. Existe la siguiente resolución del haz constante.${\displaystyle \mathbb {R} }$por los finos haces de formas diferenciales (suaves) :

${\displaystyle 0\to \mathbb {R} \to C_{X}^{0}\to C_{X}^{1}\to \cdots \to C_{X}^{\dim X}\to 0.}$

Esta es una resolución, es decir, un complejo exacto de haces, por el lema de Poincaré . La cohomología de X con valores en${\displaystyle \mathbb {R} }$Por lo tanto, puede calcularse como la cohomología del complejo de formas diferenciales definidas globalmente:

${\displaystyle H^{i}(X,\mathbb {R} )=H^{i}(C_{X}^{\bullet }(X)).}$

Un haz suave${\displaystyle {\mathcal {F}}}$sobre X es tal que cualquier sección sobre cualquier subconjunto cerrado de X puede extenderse a una sección global.

Las haces suaves son acíclicas sobre espacios de Hausdorff paracompactos.

Un haz de pacas (también llamado haz flácido ) es un haz${\displaystyle {\mathcal {F}}}$con la siguiente propiedad: si${\displaystyle X}$es el espacio topológico base sobre el cual se define el haz y

${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X}$

son subconjuntos abiertos , entonces el mapa de restricción

${\displaystyle r_{U\subseteq V}:\Gamma (V,{\mathcal {F}})\to \Gamma (U,{\mathcal {F}})}$

es sobreyectiva , como un mapa de grupos ( anillos , módulos , etc.).

Los haces de Flasque son útiles porque (por definición) sus secciones se extienden. Esto significa que son algunos de los haces más sencillos de manejar en términos de álgebra homológica . Cualquier haz tiene una incrustación canónica en el haz de Flasque de todas las secciones posiblemente discontinuas del espacio étalé , y al repetir esto podemos encontrar una resolución canónica de Flasque para cualquier haz. Las resoluciones de Flasque , es decir, las resoluciones mediante haces de Flasque, son una forma de definir la cohomología de haces .

Las gavillas de matraces son blandas y acíclicas.

Flasque es una palabra francesa que a veces se ha traducido al inglés como flabby (flaco) .

• Godement, Roger (1998), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, ISBN 978-2-7056-1252-8, MR 0345092 
• Grothendieck, Alexander (1957), "Sur quelques point d'algèbre homologique", The Tohoku Mathematical Journal , segunda serie, 9 (2): 119– 221, doi : 10.2748/tmj/1178244839 , ISSN 0040-8735 , MR 0102537  
• "Cohomología de haces y resoluciones inyectivas" en MathOverflow