Resolución de Godement

La resolución de Godement de un haz es una construcción del álgebra homológica que permite visualizar la información cohomológica global del haz en términos de la información local proveniente de sus tallos. Es útil para calcular la cohomología de haces . Fue descubierta por Roger Godement .

Descripción general

Dado un espacio topológico X (más generalmente, un topos X con suficientes puntos) y un haz F en X , la construcción de Godement para F da un haz $\operatorname {Gode} (F)$ construido de la siguiente manera. Para cada punto $x\in X$ , dejar $F_{x}$ denotemos el tallo de F en x . Dado un conjunto abierto $U\subsetequ X$ , definir

\operatorname {Gode} (F)(U):=\prod _{x\in U}F_{x}.

Un subconjunto abierto $U\subsetequ V$ claramente induce un mapa de restricción $\operatorname {Gode} (F)(V)\rightarrow \operatorname {Gode} (F)(U)$ , entonces $\operatorname {Gode} (F)$ es un prehaz . Se comprueba fácilmente el axioma del haz . También se demuestra fácilmente que $\operatorname {Gode} (F)$ es flácido , lo que significa que cada mapa de restricción es sobreyectivo. El mapa $\operatorname {Gode}$ puede convertirse en un functor porque un mapa entre dos haces induce mapas entre sus tallos. Finalmente, existe un mapa canónico de haces. $F\to \operatorname {Gode} (F)$ que envía cada sección al 'producto' de sus gérmenes . Este mapa canónico es una transformación natural entre el functor identidad y $\operatorname {Gode}$ .

Otra forma de ver $\operatorname {Gode}$ es el siguiente. Sea $X_{\text{disco}}$ Sea X el conjunto con la topología discreta . $p\colon X_{\text{disco}}\to X$ Sea la aplicación continua inducida por la identidad. Induce functores adjuntos directos e inversos de imagen. $p_{*}$ y $p^{-1}$ . Entonces $\operatorname {Gode} =p_{*}\circ p^{-1}$ y la unidad de esta adjunción es la transformación natural descrita anteriormente.

Debido a esta adjunción, existe una mónada asociada en la categoría de haces sobre X. Usando esta mónada, hay una manera de convertir un haz F en un haz cosimplicial coaumentado. Este haz cosimplicial coaumentado da lugar a un complejo cochain aumentado que se define como la resolución de Godement de F.

En términos más sencillos, dejemos que... $G_{0}(F)=\operatorname {Gode} (F)$ y dejar $d_{0}\colon F\rightarrow G_{0}(F)$ denota el mapa canónico. Para cada $i>0$ , dejar $G_{i}(F)$ denotar $\operatorname {Gode} (\operatorname {coker} (d_{i-1}))$ y dejar $d_{i}\colon G_{i-1}\rightarrow G_{i}$ denotemos el mapa canónico. La resolución resultante es una resolución floja de F , y su cohomología es la cohomología de haces de F.

Definición

Dejar $X$ sea un espacio topológico, ${\mathsf {Ab}}(X)$ la categoría de gavillas abelianas en $X$ (La construcción se cumple de forma más general en haces con una estructura más algebraica , por ejemplo, haces de espacios vectoriales, módulos o anillos). La resolución de Godement es una secuencia de functores covariantes. ${\mathcal {G}}^{k}:{\mathsf {Ab}}(X)\rightarrow {\mathsf {Ab}}(X)$ ( $k=0,1,2,...$ ) y transformaciones naturales ${\displaystyle \varepsilon$ , $\delta _{k}:{\mathcal {G}}^{k}\rightarrow {\mathcal {G}}^{k+1}$ ( ${\boldsymbol {1}}$ es el functor identidad) tal que para cualquier haz ${\mathcal {S}}\in {\mathsf {Ab}}(X)$

${\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})$ es un haz flácido;
$0\xrightarrow {} {\mathcal {S}}\xrightarrow {\varepsilon } {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})\xrightarrow {\delta } {\mathcal {G}}^{1}({\mathcal {S}})\xrightarrow {\delta } \cdots$ es una resolución de ${\mathcal {S}}$ .

Recordemos que un espacio de haz (o espacio étalé) es una tripleta $(E,\pi ,X)$ dónde $E$ es un espacio topológico, $\pi$ es un homeomorfismo local sobreyectivo, y cada fibra $E_{x}=\pi ^{-1}(x)$ tiene la estructura de un grupo abeliano tal que el mapa $E\times _{X}E\rightarrow E,\quad (s_{0},s_{1})\mapsto s_{0}-s_{1}$ es continuo. Un morfismo de espacios de haces $f:(E,\pi ,X)\rightarrow (E^{\prime },\pi ^{\prime },X)$ es un mapa continuo entre los espacios $E$ y $E^{\prime }$ de tal manera que $\pi ^{\prime }\circ f=\pi$ .

Además, la asociación $U\mapsto \Gamma (U,E)$ enviar cada conjunto abierto $U\subseteq X$ al grupo abeliano de todas las secciones continuas de $\pi$ (frecuentemente abreviado como secciones de $E$ (aunque esto es un abuso de terminología) es un haz abeliano, y el functor $\mathrm {Sec$ enviando cada espacio de haces $(E,\pi ,X)$ al haz $\mathrm {Sec} (E,\pi ,X):=U\mapsto \Gamma (U,E)$ y cada morfismo $f:(E,\pi ,X)\rightarrow (E^{\prime },\pi ^{\prime },X)$ en el operador $\phi \mapsto f\circ \phi$ de composición con una sección $\phi \in \Gamma (U,E)$ es una equivalencia de categorías.

Para simplificar, dado un haz denotado ${\mathcal {S}}$ , sea su espacio de haces asociado denotado $\mathbf {S}$ y, de forma implícita, identificar cada sección $\phi \in {\mathcal {S}}(U)$ con la sección continua correspondiente del espacio del haz.

Una serración ^{[ 1 ]} de ${\mathcal {S}}$ (o equivalentemente, de $\mathbf {S}$ ) sobre el conjunto abierto $U\subseteq X$ es una sección local $\phi :U\rightarrow \mathbf {S} ,\ \ \pi \circ \phi =\mathrm {Id} _{U}$ que no necesita ser continuo . Si ${\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})(U)$ denota el conjunto de todas las serraciones sobre $U$ , entonces este conjunto está equipado con una estructura de grupo abeliano natural, ${\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})$ es un haz abeliano, y puesto que cada sección continua es también una dentación, existe un monomorfismo natural. ${\displaystyle \varepsilon$ de haces.

Ahora define ${\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})/{\mathcal {S}}$ y repetir esta construcción reemplazando ${\mathcal {S}}$ con ${\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}})$ , produciendo ${\mathcal {G}}^{1}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}))$ y ${\mathcal {F}}^{2}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{1}({\mathcal {S}})/{\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}})$ y así sucesivamente. Una vez ${\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}}),\dots ,{\mathcal {G}}^{k-1}({\mathcal {S}})$ y ${\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}),\dots ,{\mathcal {F}}^{k}({\mathcal {S}})$ una vez construidos, entonces se puede definir, recursivamente, ${\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {F}}^{k}({\mathcal {S}})),\quad {\mathcal {F}}^{k+1}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})/{\mathcal {F}}^{k}({\mathcal {S}}).$ Por construcción, las secuencias cortas $0\rightarrow {\mathcal {F}}^{k}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {F}}^{k+1}({\mathcal {S}})\rightarrow 0$ son exactas, por lo tanto, al concatenarlas se produce la secuencia exacta larga. $0\xrightarrow {} {\mathcal {S}}\xrightarrow {\varepsilon } {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})\xrightarrow {\delta } {\mathcal {G}}^{1}({\mathcal {S}})\xrightarrow {\delta } {\mathcal {G}}^{2}({\mathcal {S}})\xrightarrow {\delta } \cdots ,$ dónde ${\displaystyle \delta$ viene dado por la composición ${\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {F}}^{k+1}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {G}}^{k+1}({\mathcal {S}})$ .

Propiedades

Funtorialidad

Cada haz ${\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})$ y ${\mathcal {F}}^{k}({\mathcal {S}})$ que aparece en la construcción anterior es funtorial en su argumento ${\mathcal {S}}$ , en el sentido de que es un endofunctor aditivo de la categoría ${\mathsf {Ab}}(X)$ . Para ${\mathcal {G}}^{0}$ Esto es fácil de ver ya que cualquier morfismo $f:{\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }$ de haces induce un morfismo correspondiente (denotado de la misma manera) $f:\mathbf {S} \rightarrow \mathbf {S} ^{\prime }$ entre sus espacios de haz y cualquier dentado $\phi \in {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})(U)$ puede estar compuesto como $\phi \mapsto f\circ \phi \in {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})(U)$ . Evidentemente, si $\phi$ Si es continua, entonces también lo es su imagen, de ahí el morfismo (que también se denota de la misma manera). $f:{\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}}^{\prime })$ toma el subhaz ${\mathcal {S}}$ en el subhaz ${\mathcal {S}}^{\prime }$ (esencialmente trivialmente), en consecuencia, también hay un morfismo inducido. ${\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}^{\prime })$ .

Es fácil verificar que los morfismos inducidos satisfacen todas las reglas composicionales necesarias para la funtorialidad, por lo tanto ${\mathcal {G}}^{0}$ y ${\mathcal {F}}^{1}$ son functores. Pero dado que el grado superior Godement haces ${\mathcal {G}}^{k\geq 1}$ y ${\mathcal {F}}^{k\geq 2}$ Se construyen iterativamente mediante el mismo procedimiento, son composiciones de functores y, por lo tanto, son ellos mismos functores.

Flojedad

Para cualquier conjunto abierto $U\subseteq X$ , dejar $\phi \in {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})(U)$ Entonces podemos extender $\phi$ a una sección global ${\hat {\phi }}:X\rightarrow \mathbf {S}$ al establecer ${\hat {\phi }}(x)=\left\{{\begin{matrix}\phi (x)&x\in U\\0&x\in X\setminus U\end{matrix}}\right..$ Por eso, ${\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})$ es flácido para cualquier haz ${\mathcal {S}}$ . Dado que tenemos ${\mathcal {G}}^{k}={\mathcal {G}}^{0}\circ {\mathcal {F}}^{k}$ De ello se deduce que las gavillas de Godement de mayor grado también son flácidas.

Exactitud

Para cualquier secuencia exacta corta $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }\rightarrow 0$ de gavillas y cualquier $k\geq 0$ , la secuencia $0\rightarrow {\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow {\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })\rightarrow 0$ también es exacto, por lo tanto ${\mathcal {G}}^{k}$ es un functor exacto.

Para $k=0$ Esto se deduce de un cálculo directo simple; luego, consideremos la secuencia exacta corta. $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\bullet }\rightarrow {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}}^{\bullet })\rightarrow {\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}^{\bullet })\rightarrow 0$ de complejos (donde ${\mathcal {S}}^{\bullet }$ representa $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }\rightarrow 0$ ), donde los dos primeros complejos son exactos, por lo tanto la secuencia exacta larga de cohomología implica que $0\rightarrow {\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow {\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {F}}^{1}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })\rightarrow 0$ es exacto también, por lo tanto ${\mathcal {F}}^{1}$ es también un functor exacto. Entonces la exactitud de ${\mathcal {G}}^{k\geq 1}$ y ${\mathcal {F}}^{k\geq 2}$ Se deduce de la repetición del mismo argumento.

En realidad, se puede decir algo más. Definamos los functores. $G^{k}:{\mathsf {Ab}}(X)\rightarrow {\mathsf {Ab}},\ G^{k}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})(X)$ y recordemos el conocido teorema ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} que dice que si $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }\rightarrow 0$ es cualquier secuencia corta y exacta de haces donde ${\mathcal {S}}^{\prime }$ está flácido, entonces $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }(X)\rightarrow {\mathcal {S}}(X)\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }(X)\rightarrow 0$ También es exacto. Dado que ${\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})$ es flácido para cualquier haz ${\mathcal {S}}$ , la secuencia $0\rightarrow G^{k}({\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow G^{k}({\mathcal {S}})\rightarrow G^{k}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })\rightarrow 0$ también es exacto, por lo tanto el $G^{k}$ también son functores exactos.

Relación con la cohomología de haces

El uso principal de la resolución de Godement es definir la cohomología de haces. En la literatura existen (al menos) tres métodos mediante los cuales se puede construir la cohomología de haces, a través de

Cohomología de Čech ; ^{[ 2 ]}
la resolución del Godement; ^{[ 1 ]}^{[ 3 ]}
functores derivados (resoluciones inyectivas). ^{[ 4 ]}

Esta lista está ordenada en términos de generalidad creciente. La cohomología de Čech se puede definir para cualquier espacio topológico, pero se garantiza que coincida con las otras formas de cohomología de haces solo si el espacio es un espacio de Hausdorff paracompacto , el enfoque a través de la resolución de Godement funciona en cualquier espacio y coincide con la cohomología de functores derivada, mientras que esta última también se puede definir en general para haces en sitios .

Para haces en espacios topológicos, la resolución de Godement tiene varias ventajas sobre la cohomología de functores derivados debido a que es canónica y los functores de Godement son exactos.

Como ilustración, recordemos el hecho ^{[ 1 ]}^{[ 5 ]} de que la categoría ${\mathsf {Ab}}(X)$ de gavillas abelianas tiene suficientes inyectivas, lo que significa que para cualquier gavilla ${\mathcal {S}}$ Hay un monomorfismo ${\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}$ en un haz inyectivo . Esto es altamente no constructivo ; la prueba estándar implica la construcción de un grupo inyectivo. $I(x)$ por cada punto $x\in X$ . Dejar ${\mathcal {I}}^{0}$ ser un haz inyectivo en el que ${\mathcal {S}}$ incrustaciones, luego toma ${\mathcal {I}}^{1}$ ser un haz inyectivo en el que el cociente ${\mathcal {I}}^{0}/{\mathcal {S}}$ incrustaciones, etc. Esto construye una resolución $0\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {I}}^{0}\rightarrow {\mathcal {I}}^{1}\rightarrow {\mathcal {I}}^{2}\rightarrow \cdots$ donde cada haz ${\mathcal {I}}^{k}$ es inyectivo. El enfoque del functor derivado para la cohomología de haces define entonces $H^{k}(X,{\mathcal {S}}):=H^{k}({\mathcal {I}}^{\bullet }(X))$ , es decir, la k -ésima cohomología de $X$ con coeficientes en ${\mathcal {S}}$ es igual a la k -ésima cohomología del complejo $0\rightarrow {\mathcal {I}}^{0}(X)\rightarrow {\mathcal {I}}^{1}(X)\rightarrow {\mathcal {I}}^{2}(X)\rightarrow \cdots .$ Sin embargo, dado que la resolución inyectiva del haz no es canónica, esta definición solo se considera válida si se demuestra que los grupos de cohomología son independientes de la elección de la resolución inyectiva. Además, es necesario demostrar que existe la sucesión exacta larga de cohomología. Ambas afirmaciones se derivan de argumentos categóricos muy generales provenientes de las propiedades de los objetos inyectivos .

También es posible ^{[ 1 ]} definir una resolución inyectiva que sea canónica en el sentido de que sea functorial en el haz inicial, pero estos functores no son exactos, lo que significa que la existencia de la secuencia exacta larga de cohomología tiene que probarse por otros medios.

En el enfoque a través de la resolución de Godement, se definen los grupos de cohomología de haces como $H^{k}(X,{\mathcal {S}}):=H^{k}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}))$ donde esta última es la k -ésima cohomología del complejo $0\rightarrow G^{0}({\mathcal {S}})\rightarrow G^{1}({\mathcal {S}})\rightarrow G^{2}({\mathcal {S}})\rightarrow \cdots$ y $G^{k}({\mathcal {S}}):={\mathcal {G}}^{k}({\mathcal {S}})(X)$ . Esto está manifiestamente bien definido ya que la resolución se da canónicamente para cualquier haz, y dado que los functores $G^{k}$ son exactas, la existencia de la secuencia exacta larga se deduce de un argumento simple.

axiomas de cohomología de haces

Una teoría de cohomología de haces en un espacio topológico $X$ consta de una secuencia $H^{0}(X,-),H^{1}(X,-),\dots$ de functores covariantes de ${\mathsf {Ab}}(X)$ a ${\mathsf {Ab}}$ de modo que se cumplan las siguientes propiedades:

$H^{0}(X,{\mathcal {S}})={\mathcal {S}}(X)$ para cualquier haz ${\mathcal {S}}$ ;
para cualquier secuencia corta exacta $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }\rightarrow 0$ existe una secuencia exacta larga correspondiente $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }(X)\rightarrow {\mathcal {S}}(X)\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }(X)\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {S}})\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {S}}^{\prime \prime })\rightarrow H^{2}(X,{\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow \cdots$ de grupos de cohomología de haces que es natural o funtorial en el sentido de que cualquier morfismo ${\mathcal {S}}^{\bullet }\rightarrow {\mathcal {T}}^{\bullet }$ de secuencias exactas cortas de haces induce un morfismo correspondiente de sus secuencias exactas largas de cohomología.

Teorema: Los functores $H^{k}(X,-):=H^{k}(G^{\bullet }(-))$ satisfacer los axiomas de cohomología de haces.

Prueba: Para el complejo $G^{\bullet }({\mathcal {S}})$ , la cohomología cero es $H^{0}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}))=\ker(G^{0}({\mathcal {S}})\rightarrow G^{1}({\mathcal {S}}))=\ker({\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}})\rightarrow {\mathcal {G}}^{1}({\mathcal {S}}))(X)=\mathrm {im} ({\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {G}}^{0}({\mathcal {S}}))(X).$ Dado que este último es el espacio de sección de la imagen de un monomorfismo de haces, se deduce que $H^{0}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}))={\mathcal {S}}(X)$ .

Entonces, para cualquier secuencia exacta corta $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }\rightarrow 0$ Consideremos el diagrama conmutativo . ${\begin{matrix}&&0&&0&&0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &G^{0}({\mathcal {S}}^{\prime })&\rightarrow &G^{0}({\mathcal {S}})&\rightarrow &G^{0}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })&\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &G^{1}({\mathcal {S}}^{\prime })&\rightarrow &G^{1}({\mathcal {S}})&\rightarrow &G^{1}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })&\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &G^{2}({\mathcal {S}}^{\prime })&\rightarrow &G^{2}({\mathcal {S}})&\rightarrow &G^{2}({\mathcal {S}}^{\prime \prime })&\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\&&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\\\end{matrix}}.$ Las filas son exactas porque $G^{k}$ son functores exactos, por lo que esta es una secuencia exacta corta. $0\rightarrow G^{\bullet }({\mathcal {S}}^{\prime })\rightarrow G^{\bullet }({\mathcal {S}})\rightarrow G^{\bullet }({\mathcal {S}}^{\prime \prime })\rightarrow 0$ de complejos y las lecturas de secuencia exacta larga de cohomología correspondientes $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime }(X)\rightarrow {\mathcal {S}}(X)\rightarrow {\mathcal {S}}^{\prime \prime }(X)\rightarrow H^{1}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}^{\prime }))\rightarrow H^{1}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}))\rightarrow H^{1}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}^{\prime \prime }))\rightarrow H^{2}(G^{\bullet }({\mathcal {S}}^{\prime }))\rightarrow \cdots$ lo cual establece también el segundo axioma.

Aciclicidad y haces flácidos

Un haz ${\mathcal {S}}$ es acíclico si cada grupo de cohomología superior se desvanece, es decir $H^{k}(X,{\mathcal {S}})=0,\ \ k>0$ Es un hecho importante que la cohomología de haces también se puede calcular a partir de resoluciones acíclicas. Esto se deduce directamente de los axiomas de la cohomología de haces, ya que si $0\rightarrow {\mathcal {S}}\rightarrow {\mathcal {A}}^{0}\rightarrow {\mathcal {A}}^{1}\rightarrow {\mathcal {A}}^{2}\rightarrow \cdots$ es una secuencia exacta donde las gavillas ${\mathcal {A}}^{k}$ son acíclicos, luego descomponiéndolo en secuencias cortas exactas de la forma $0\rightarrow {\mathcal {Z}}^{k}\rightarrow {\mathcal {A}}^{k}\rightarrow {\mathcal {Z}}^{k+1}\rightarrow 0$ , dónde ${\mathcal {Z}}^{k}:=\ker({\mathcal {A}}^{k}\rightarrow {\mathcal {A}}^{k+1})$ y aplicando la secuencia exacta larga de cohomología de haces a cada una, la secuencia exacta larga de cohomología se descompone en secuencias exactas $0\rightarrow {\mathcal {Z}}^{k}(X)\rightarrow {\mathcal {A}}^{k}(X)\rightarrow {\mathcal {Z}}^{k+1}(X)\rightarrow H^{1}(X,{\mathcal {Z}}^{k})\rightarrow 0,\ \ k\geq 0,$ y $0\rightarrow H^{p}(X,{\mathcal {Z}}^{k+1})\rightarrow H^{p+1}(X,{\mathcal {Z}}^{k})\rightarrow 0,\ \ p\geq 1,\ k\geq 0.$

La primera implica que $H^{1}(X,{\mathcal {Z}}^{k})\cong H^{k+1}({\mathcal {A}}^{\bullet }(X))$ , mientras que el segundo que $H^{p}(X,{\mathcal {Z}}^{k+1})\cong H^{p+1}(X,{\mathcal {Z}}^{k}).$ Juntos estos dan $H^{k}(X,{\mathcal {S}})\cong H^{k}({\mathcal {A}}^{\bullet }(X))$ (técnicamente, la prueba es válida solo para $k\geq 1$ , pero la validez de $k=0$ es esencialmente trivial).

Una demostración muy similar a la anterior establece entonces que siempre que una secuencia exacta $0\rightarrow {\mathcal {S}}^{0}\rightarrow {\mathcal {S}}^{1}\rightarrow {\mathcal {S}}^{2}\rightarrow \cdots$ se da en el que cada haz es flácido, entonces la cohomología $H^{k}({\mathcal {S}}^{\bullet }(X))$ de la secuencia de secciones globales desaparece.

Dado que las gavillas de Godement son flácidas, para cualquier gavilla flácida ${\mathcal {S}}$ , la resolución de Godement es una secuencia exacta en la que cada haz es flácido. Por lo tanto, $H^{k}(X,{\mathcal {S}})=0$ , cuando sea $k>0$ .

Como consecuencia,

Las gavillas flácidas son acíclicas y
La cohomología de haces se puede calcular generalmente mediante resoluciones débiles.

Referencias

1 2 3 4 5 Bredon, Glen E. (1997). Teoría de haces . Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94905-5.
1 2 Lee, John M. (2024). Introducción a las variedades complejas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7695-3.
↑ Wells, RO (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Textos de posgrado en matemáticas ; 65. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.
^ Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Texto universitario. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-16389-3.
↑ Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139644136 . ISBN 978-0-521-55987-4.

Godement, Roger (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux , París: Hermann, ISBN 9782705612528, MR 0345092
Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9781139644136 , ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324

Enlaces externos

Los autores del proyecto Stacks. "Resolución de Godement 20.30" .
Goresky, Mark. "Introducción a las gavillas perversas §.4.1. Resolución de Godement" (PDF) . Instituto de Estudios Avanzados.

[:0-1] 1 2 3 4 5 Bredon, Glen E. (1997). Teoría de haces . Textos de posgrado en matemáticas (2.ª ed.). Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-94905-5.

[:1-2] 1 2 Lee, John M. (2024). Introducción a las variedades complejas . Estudios de posgrado en matemáticas. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7695-3.

[3] Wells, RO (1980). Análisis diferencial en variedades complejas . Textos de posgrado en matemáticas ; 65. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90419-1.

[4] Iversen, Birger (1986). Cohomología de gavillas . Texto universitario. Berlín, Heidelberg: Springer Berlín Heidelberg. ISBN 978-3-540-16389-3.

[5] Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Estudios de matemáticas avanzadas de Cambridge. Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017/CBO9781139644136 . ISBN 978-0-521-55987-4.

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]