Sobrecategoría

En matemáticas, una sobrecategoría (también llamada categoría de rebanada ) es una construcción de la teoría de categorías que se utiliza en múltiples contextos, como con espacios recubridores (espace étalé) . Se introdujeron como un mecanismo para realizar un seguimiento de los datos que rodean a un objeto fijo en alguna categoría . La noción dual es la de una subcategoría (también llamada categoría de rebanada ). $X$ ${\mathcal {C}}$

Ambos pueden expresarse en términos de la construcción más general de una categoría de coma .

Definición

Sea una categoría y un objeto fijo de ^[¹^]^{pág. 59} . La sobrecategoría (también llamada categoría de rebanadas ) es una categoría asociada cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, un morfismo entre objetos viene dado por un morfismo en la categoría tal que el siguiente diagrama conmuta ${\mathcal {C}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}/X$ $(A,\pi )$ $\pi :A\to X$ ${\mathcal {C}}$ $f:(A,\pi )\to (A',\pi ')$ $f:A\to A'$ ${\mathcal {C}}$

${\begin{matrix}A&\xrightarrow {f} &A'\\\pi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \pi '\\X&=&X\end{matrix}}$

Existe una noción dual llamada subcategoría (también llamada categoría cosección ) cuyos objetos son pares donde es un morfismo en . Entonces, los morfismos en están dados por morfismos en tales que el siguiente diagrama conmuta $X/{\mathcal {C}}$ $(B,\psi )$ $\psi :X\to B$ ${\mathcal {C}}$ $X/{\mathcal {C}}$ $g:B\to B'$ ${\mathcal {C}}$

${\begin{matrix}X&=&X\\\psi \downarrow {\text{ }}&{\text{ }}&{\text{ }}\downarrow \psi '\\B&\xrightarrow {g} &B'\end{matrix}}$

Estas dos nociones tienen generalizaciones en la teoría de 2 categorías ^{[ 2 ]} y en la teoría de categorías superiores ^{[ 3 ]}^{pág. 43} , con definiciones análogas o esencialmente iguales.

Propiedades

Muchas propiedades categóricas de se heredan en las categorías superior e inferior asociadas a un objeto . Por ejemplo, si tiene productos y coproductos finitos , es inmediato que las categorías y poseen estas propiedades, ya que el producto y el coproducto pueden construirse en , y mediante propiedades universales , existe un morfismo único hacia o desde . Además, esto también se aplica a los límites y colímites . ${\mathcal {C}}$ $X$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}/X$ $X/{\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ $X$ $X$

Por construcción, es un objeto terminal de y un objeto inicial de . $(X,\operatorname {id} )$ ${\mathcal {C}}/X$ $X/{\mathcal {C}}$

Ejemplos

Categorías excesivas en un sitio

Recordemos que un sitio es una generalización categórica de un espacio topológico introducido por primera vez por Grothendieck . Uno de los ejemplos canónicos proviene directamente de la topología, donde la categoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos de algún espacio topológico , y los morfismos están dados por aplicaciones de inclusión. Entonces, para un subconjunto abierto fijo , la sobrecategoría es canónicamente equivalente a la categoría para la topología inducida en . Esto se debe a que cada objeto en es un subconjunto abierto contenido en . ${\mathcal {C}}$ ${\text{Abrir}}(X)$ $U$ $X$ $U$ ${\text{Abrir}}(X)/U$ ${\text{Abrir}}(U)$ $U\subsetequ X$ ${\text{Abrir}}(X)/U$ $V$ $U$

Categoría de álgebras como subcategoría

La categoría de álgebras conmutativas es equivalente a la subcategoría de la categoría de anillos conmutativos. Esto se debe a que la estructura de un álgebra en un anillo conmutativo está directamente codificada por un morfismo de anillos . Si consideramos la categoría opuesta , es una sobrecategoría de esquemas afines , o simplemente . $A$ $A/{\text{CRing}}$ $A$ $B$ $A\to B$ ${\text{Aff}}/{\text{Spec}}(A)$ ${\text{Aff}}_{A}$

Sobrecategorías de espacios

Otra sobrecategoría común considerada en la literatura son las sobrecategorías de espacios, como esquemas , variedades diferenciables o espacios topológicos. Estas categorías codifican objetos en relación con un objeto fijo, como la categoría de esquemas sobre , . Los productos fibrados en estas categorías pueden considerarse intersecciones (por ejemplo, la intersección de la teoría de esquemas ), dado que los objetos son subobjetos del objeto fijo. $S$ ${\text{Sch}}/S$

Referencias

↑ Leinster, Tom (2016-12-29). "Teoría básica de categorías". arXiv : 1612.09375 [ math.CT ].
↑ "Sección 4.32 (02XG): Categorías sobre categorías: El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 16 de octubre de 2020 .
↑ Lurie, Jacob (31-07-2008). " Teoría de topos superiores ". arXiv : math/0608040 .

[1] Leinster, Tom (2016-12-29). "Teoría básica de categorías". arXiv : 1612.09375 [ math.CT ].

[2] "Sección 4.32 (02XG): Categorías sobre categorías: El proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 16 de octubre de 2020 .

[3] Lurie, Jacob (31-07-2008). " Teoría de topos superiores ". arXiv : math/0608040 .

[

[ 2 ]

[ 3 ]