Dualidad coherente

En matemáticas, la dualidad coherente es cualquiera de las diversas generalizaciones de la dualidad de Serre , que se aplican a haces coherentes , en geometría algebraica y teoría de variedades complejas , así como a algunos aspectos del álgebra conmutativa que forman parte de la teoría "local".

Las raíces históricas de la teoría se encuentran en la idea del sistema lineal adjunto de un sistema lineal de divisores en la geometría algebraica clásica. Esto se reexpresó, con el advenimiento de la teoría de haces , de una manera que hizo más evidente una analogía con la dualidad de Poincaré . Luego, según un principio general, el punto de vista relativo de Grothendieck , la teoría de Jean-Pierre Serre se extendió a un morfismo propio ; la dualidad de Serre se recuperó como el caso del morfismo de una variedad proyectiva no singular (o variedad completa ) a un punto. La teoría resultante ahora se denomina a veces dualidad de Serre-Grothendieck-Verdier , y es una herramienta básica en geometría algebraica. Un tratamiento de esta teoría, Residues and Duality (1966) de Robin Hartshorne , se convirtió en una referencia. Un derivado concreto fue el residuo de Grothendieck .

Para ir más allá de los morfismos propios, como en el caso de las versiones de la dualidad de Poincaré que no se aplican a variedades cerradas , se requiere alguna versión del concepto de soporte compacto . Esto se abordó en SGA2 en términos de cohomología local y dualidad local de Grothendieck ; y posteriormente. La dualidad de Greenlees-May , formulada por primera vez en 1976 por Ralf Strebel y en 1978 por Eben Matlis , forma parte del estudio continuo de esta área.

Si bien la dualidad de Serre utiliza un fibrado lineal o un haz invertible como haz dualizante , la teoría general (resulta) no puede ser tan simple. (Más precisamente, sí puede, pero a costa de imponer la condición del anillo de Gorenstein ). En un giro característico, Grothendieck reformuló la dualidad coherente general como la existencia de un functor adjunto derecho.${\displaystyle f^{!}}$, llamado functor de imagen inversa retorcido o excepcional , a un functor de imagen directa superior con soporte compacto${\displaystyle Rf_{!}}$.

Las imágenes directas superiores son una forma de cohomología de haces en este caso con soporte propio (compacto); se agrupan en un único functor mediante la formulación de categoría derivada del álgebra homológica (introducida teniendo en cuenta este caso). Si${\displaystyle f}$es correcto, entonces ${\displaystyle Rf_{!}=Rf_{\ast }}$es un adjunto derecho del functor de imagen inversa${\displaystyle f^{\ast }}$El teorema de existencia para la imagen inversa retorcida es el nombre que se le da a la prueba de la existencia de lo que sería la counidad para la comónada de la adjunción buscada, a saber, una transformación natural.

${\displaystyle Rf_{!}f^{!}\rightarrow id}$,

que se denota por${\displaystyle Tr_{f}}$(Hartshorne) o${\displaystyle \int _{f}}$(Verdier). Es el aspecto de la teoría más cercano al significado clásico, como sugiere la notación, que la dualidad se define por la integración.

Para ser más precisos,${\displaystyle f^{!}}$existe como un functor exacto de una categoría derivada de haces cuasi-coherentes en${\displaystyle Y}$, a la categoría análoga en${\displaystyle X}$, cuando sea

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$

es un morfismo propio o cuasiproyectivo de esquemas noetherianos , de dimensión Krull finita . ^{[ 1 ]} A partir de esto se puede derivar el resto de la teoría: los complejos dualizantes retroceden mediante${\displaystyle f^{!}}$, el símbolo residual de Grothendieck , el haz dualizante en el caso Cohen-Macaulay .

Para obtener una formulación en un lenguaje más clásico, pero aún más amplia que la dualidad de Serre, Hartshorne ( Geometría Algebraica ) utiliza el functor Ext de haces ; esto es una especie de paso previo a la categoría derivada.

La formulación clásica de la dualidad de Grothendieck para un morfismo proyectivo o propio.${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$de esquemas noetherianos de dimensión finita, encontrados en Hartshorne ( Residuos y dualidad ) es el siguiente cuasi-isomorfismo

${\displaystyle Rf_{\ast }RHom_{X}(F^{\bullet },f^{!}G^{\bullet })\to RHom_{Y}(Rf_{\ast }F^{\bullet },G^{\bullet })}$

para${\displaystyle F^{\bullet }}$un complejo acotado por encima de${\displaystyle O_{X}}$-módulos con cohomología cuasi-coherente y${\displaystyle G^{\bullet }}$un complejo limitado por debajo de${\displaystyle O_{Y}}$-módulos con cohomología coherente. Aquí el${\displaystyle Inicio}$son haces de homomorfismos.

A lo largo de los años, se han utilizado varios enfoques para construir el${\displaystyle f^{!}}$Surgió el pseudofunctor. Un enfoque exitoso bastante reciente se basa en la noción de un complejo dualizante rígido. Esta noción fue definida por primera vez por Van den Bergh en un contexto no conmutativo. ^{[ 2 ]} La construcción se basa en una variante de la cohomología de Hochschild derivada (cohomología de Shukla): Sea${\displaystyle k}$Sea un anillo conmutativo, y sea ${\displaystyle A}$ser conmutativo${\displaystyle k-}$álgebra. Hay un functor${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$que toma un complejo de cocadena${\displaystyle M}$a un objeto${\displaystyle RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,M\otimes _{k}^{L}M)}$en la categoría derivada sobre${\displaystyle A}$. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

Arrogante${\displaystyle A}$es noetheriano, un complejo dualizador rígido sobre${\displaystyle A}$relativo a${\displaystyle k}$es por definición un par${\displaystyle (R,\rho )}$dónde${\displaystyle R}$es un complejo dualizante sobre${\displaystyle A}$que tiene dimensión plana finita sobre${\displaystyle k}$y dónde ${\displaystyle \rho :R\to RHom_{A\otimes _{k}^{L}A}(A,R\otimes _{k}^{L}R)}$es un isomorfismo en la categoría derivada${\displaystyle D(A)}$. Si existe un complejo dualizador tan rígido, entonces es único en un sentido estricto. ^{[ 5 ]}

Arrogante${\displaystyle A}$es una localización de un tipo finito${\displaystyle k}$-álgebra, existencia de un complejo dualizante rígido sobre${\displaystyle A}$relativo a${\displaystyle k}$fue demostrado por primera vez por Yekutieli y Zhang ^{[ 5 ]} asumiendo${\displaystyle k}$es un anillo noetheriano regular de dimensión Krull finita, y por Avramov , Iyengar y Lipman ^{[ 6 ]} asumiendo${\displaystyle k}$es un anillo de Gorenstein de dimensión Krull finita y${\displaystyle A}$es de dimensión plana finita sobre${\displaystyle k}$.

Si${\displaystyle X}$es un esquema de tipo finito sobre${\displaystyle k}$, se pueden pegar los complejos dualizantes rígidos que tienen sus piezas afines, ^{[ 7 ]} y obtener un complejo dualizante rígido.${\displaystyle R_{X}}$Una vez que se establece la existencia global de un complejo dualizador rígido, dado un mapa${\displaystyle f:X\to Y}$de planes sobre${\displaystyle k}$, uno puede definir${\displaystyle f^{!}:=D_{X}\circ Lf^{*}\circ D_{Y}}$, donde para un plan${\displaystyle X}$, establecimos${\displaystyle D_{X}:=RHom_{{\mathcal {O}}_{X}}(-,R_{X})}$.

• Dualidad más verde

• Greenlees, JPC; May, J. Peter (1992), "Funtores derivados de la completitud I -ádica y la homología local", Journal of Algebra , 149 (2): 438–453 , doi : 10.1016/0021-8693(92)90026-I , ISSN 0021-8693 , MR 1172439  
• Hartshorne, Robin (1966), Residuos y dualidad , Lecture Notes in Mathematics 20 , vol.  20, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pp. 20–48 , doi : 10.1007/BFb0080482 , ISBN  978-3-540-03603-6
• Neeman, Amnon (1996), "El teorema de dualidad de Grothendieck mediante las técnicas de Bousfield y la representabilidad de Brown", Journal of the American Mathematical Society , 9 (1): 205–236 , doi : 10.1090/S0894-0347-96-00174-9 , ISSN 0894-0347 , MR 1308405  
• Verdier, Jean-Louis (1969), "Cambio de base para la imagen inversa retorcida de haces coherentes", Geometría algebraica (Coloquio internacional, Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968) , Oxford University Press , págs. 393–408 , MR 0274464  
• Hopkins, Glenn, Un enfoque algebraico del símbolo de residuo de Grothendieck (PDF)