Objeto proyectivo

En teoría de categorías , la noción de objeto proyectivo generaliza la noción de módulo proyectivo . Los objetos proyectivos en categorías abelianas se utilizan en álgebra homológica . La noción dual de objeto proyectivo es la de objeto inyectivo .

Un objeto${\displaystyle P}$en una categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$es proyectivo si para cualquier epimorfismo${\displaystyle e:E\twoheadrightarrow X}$y morfismo${\displaystyle f:P\to X}$, hay un morfismo${\displaystyle {\overline {f}}:P\to E}$de tal manera que${\displaystyle e\circ {\overline {f}}=f}$, es decir, el siguiente diagrama conmuta :

Es decir, cada morfismo${\displaystyle P\to X}$factores a través de cada epimorfismo${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$. ^{[ 1 ]}

Si C es localmente pequeño , es decir, en particular${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}(P,X)}$es un conjunto para cualquier objeto X en C , esta definición es equivalente a la condición de que el functor hom (también conocido como functor corepresentable )

${\displaystyle \operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set} }$

conserva epimorfismos . ^{[ 2 ]}

• El coproducto de dos objetos proyectivos es proyectivo. ^{[ 3 ]}
• Una retracción de un objeto proyectivo es proyectiva. ^{[ 4 ]}

La afirmación de que todos los conjuntos son proyectivos es equivalente al axioma de elección .

Los objetos proyectivos en la categoría de grupos abelianos son los grupos abelianos libres .

Dejar${\displaystyle R}$ser un anillo con identidad. Consideremos la categoría (abeliana)${\displaystyle R}$- Mod de izquierda${\displaystyle R}$-módulos. Los objetos proyectivos en${\displaystyle R}$- Los módulos son precisamente los R-módulos izquierdos proyectivos . En consecuencia,${\displaystyle R}$es en sí mismo un objeto proyectivo en${\displaystyle R}$- Mod . Dualmente, los objetos inyectables en ${\displaystyle R}$- Los mods son exactamente los R-módulos izquierdos inyectivos .

La categoría de izquierda (derecha)${\displaystyle R}$-modules también tiene suficientes proyectivos. Esto es cierto ya que, para cada izquierda (derecha)${\displaystyle R}$-módulo${\displaystyle M}$, podemos tomar${\displaystyle F}$ser libre (y por lo tanto proyectivo)${\displaystyle R}$-módulo generado por un conjunto generador${\displaystyle X}$para${\displaystyle M}$(por ejemplo podemos tomar${\displaystyle X}$ser${\displaystyle M}$). Luego la proyección canónica${\displaystyle \pi \colon F\to M}$es la sobreyección requerida .

Los objetos proyectivos en la categoría de espacios compactos de Hausdorff son precisamente los espacios extremadamente disconexos . Este resultado se debe a Gleason (1958) , con una demostración simplificada proporcionada por Rainwater (1959) .

En la categoría de espacios de Banach y contracciones (es decir, funcionales cuya norma es como máximo 1), los epimorfismos son precisamente las aplicaciones con imagen densa . Wiweger (1969) harvtxt error: no target: CITEREFWiweger1969 ( help ) muestra que el espacio cero es el único objeto proyectivo en esta categoría. Sin embargo, existen espacios no triviales que son proyectivos con respecto a la clase de contracciones sobreyectivas. En la categoría de espacios vectoriales normados con contracciones (y aplicaciones sobreyectivas como "sobreyecciones"), los objetos proyectivos son precisamente los${\displaystyle l^{1}}$-espacios. ^{[ 5 ]}

${\displaystyle l^{1}(S)=\{(x_{s})_{s\in S},\sum _{s\in S}||x_{s}||<\infty \}.}$

objeto proyectivo en el Laboratorio n