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Estructura lisa

En matemáticas , una estructura suave en una variedad permite una noción inequívoca de función suave . En particular, una estructura suave permite realizar análisis matemáticos ...

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En matemáticas , una estructura suave en una variedad permite una noción inequívoca de función suave . En particular, una estructura suave permite realizar análisis matemáticos en la variedad. [ 1 ]

Definición

Una estructura lisa en un colectorMETRO{\displaystyle M}es una colección de atlas suaves equivalentes. Aquí, un atlas suave para una variedad topológicaMETRO{\displaystyle M}es un atlas paraMETRO{\displaystyle M}de tal manera que cada función de transición sea un mapa suave y dos atlas suaves paraMETRO{\displaystyle M}son perfectamente equivalentes siempre que su unión sea de nuevo un atlas suave paraMETRO.{\displaystyle M.}Esto proporciona una relación de equivalencia natural en el conjunto de atlas suaves.

Una variedad diferenciable es una variedad topológica.METRO{\displaystyle M}junto con una estructura lisa enMETRO.{\displaystyle M.}

Atlas de máxima suavidad

Al unir todos los atlas que pertenecen a una estructura lisa, obtenemos un atlas liso máximo . Este atlas contiene todos los mapas compatibles con dicha estructura. Existe una correspondencia biunívoca natural entre las estructuras lisas y los atlas lisos máximos. Por lo tanto, podemos considerar una estructura lisa como un atlas liso máximo y viceversa.

En general, los cálculos con el atlas máximo de una variedad resultan bastante engorrosos. Para la mayoría de las aplicaciones, basta con elegir un atlas más pequeño. Por ejemplo, si la variedad es compacta , se puede encontrar un atlas con un número finito de cartas.

Equivalencia de estructuras lisas

Siμ{\displaystyle \mu }yν{\displaystyle \nu }son dos atlas máximos enMETRO{\displaystyle M}las dos estructuras lisas asociadas aμ{\displaystyle \mu }yν{\displaystyle \nu }Se dice que son equivalentes si existe un difeomorfismo.F:METRO→METRO{\displaystyle f:M\to M}de tal manera queμ∘F=ν.{\displaystyle \mu \circ f=\nu .}

Esferas exóticas

En 1956, John Milnor demostró que la esfera de 7 dimensiones admite una estructura lisa que no es equivalente a la estructura lisa estándar. Una esfera con una estructura lisa no estándar se denomina esfera exótica .

colector E8

La variedad E8 es un ejemplo de variedad topológica que no admite una estructura lisa. Esto demuestra, en esencia, que el teorema de Rokhlin solo se cumple para estructuras lisas, y no para variedades topológicas en general.

Los requisitos de suavidad en las funciones de transición pueden debilitarse, de modo que los mapas de transición solo deben ser requeridos.k{\displaystyle k}-veces continuamente diferenciables; o reforzados, de modo que se requiere que los mapas de transición sean analíticos reales. En consecuencia, esto da como resultado undok{\displaystyle C^{k}}o una estructura (real)analítica en la variedad en lugar de una suave. De manera similar, se puede definir una estructura compleja exigiendo que los mapas de transición sean holomorfos.

Véase también

  • Marco suave : generalización de una base ordenada de un espacio vectorial. Páginas que muestran descripciones breves de destinos de redireccionamiento. 
  • Atlas (topología) – Conjunto de cartas que describe una variedad 

Referencias

  1. ↑ Callahan, James J. (1974). "Singularidades y mapas planos" . Amer. Math. Monthly . 81 (3): 211– 240. doi : 10.2307/2319521 . JSTOR 2319521 . 
  • Hirsch, Morris (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 3-540-90148-5.
  • Lee, John M. (2006). Introducción a las variedades diferenciables . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95448-6.
  • Sepanski, Mark R. (2007). Grupos de Lie compactos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-30263-8.
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