Marco móvil

En matemáticas , un marco móvil es una generalización flexible de la noción de base ordenada de un espacio vectorial que a menudo se utiliza para estudiar la geometría diferencial extrínseca de variedades suaves incrustadas en un espacio homogéneo .

En términos sencillos, un marco de referencia es un sistema de varas de medición que utiliza un observador para medir el espacio circundante proporcionando coordenadas . Un marco móvil es entonces un marco de referencia que se mueve con el observador a lo largo de una trayectoria (una curva ). El método del marco móvil, en este simple ejemplo, busca producir un marco móvil "preferido" a partir de las propiedades cinemáticas del observador. En un contexto geométrico, este problema fue resuelto a mediados del siglo XIX por Jean Frédéric Frenet y Joseph Alfred Serret . ^[1] El marco de Frenet-Serret es un marco móvil definido en una curva que puede construirse puramente a partir de la velocidad y la aceleración de la curva. ^[2]

El marco de Frenet-Serret desempeña un papel clave en la geometría diferencial de las curvas , lo que en última instancia conduce a una clasificación más o menos completa de las curvas suaves en el espacio euclidiano hasta la congruencia . ^[3] Las fórmulas de Frenet-Serret muestran que hay un par de funciones definidas en la curva, la torsión y la curvatura , que se obtienen al diferenciar el marco y que describen completamente cómo evoluciona el marco en el tiempo a lo largo de la curva. Una característica clave del método general es que un marco móvil preferido, siempre que se pueda encontrar, proporciona una descripción cinemática completa de la curva.

A finales del siglo XIX, Gaston Darboux estudió el problema de construir un sistema móvil preferido sobre una superficie en el espacio euclidiano en lugar de una curva, el sistema Darboux (o trièdre mobile, como se lo llamaba entonces). Resultó que, en general, era imposible construir un sistema de este tipo y que había condiciones de integrabilidad que debían cumplirse primero. ^[1]

Más tarde, Élie Cartan y otros desarrollaron ampliamente los marcos móviles en el estudio de subvariedades de espacios homogéneos más generales (como el espacio proyectivo ). En este contexto, un marco traslada la idea geométrica de una base de un espacio vectorial a otros tipos de espacios geométricos ( geometrías de Klein ). Algunos ejemplos de marcos son: ^[3]

• Un marco lineal es una base ordenada de un espacio vectorial .
• Un marco ortonormal de un espacio vectorial es una base ordenada que consta de vectores unitarios ortogonales (una base ortonormal ).
• Un marco afín de un espacio afín consiste en una elección de origen junto con una base ordenada de vectores en el espacio de diferencia asociado . ^[4]
• Un marco euclidiano de un espacio afín es una elección de origen junto con una base ortonormal del espacio de diferencias.
• Un marco proyectivo en un espacio proyectivo n -dimensional es una colección ordenada de n +2 puntos tal que cualquier subconjunto de n +1 puntos es linealmente independiente .
• Los campos de marcos en la relatividad general son marcos de cuatro dimensiones, o vierbeins , en alemán.

En cada uno de estos ejemplos, el conjunto de todos los marcos es homogéneo en cierto sentido. En el caso de los marcos lineales, por ejemplo, dos marcos cualesquiera están relacionados por un elemento del grupo lineal general . Los marcos proyectivos están relacionados por el grupo lineal proyectivo . Esta homogeneidad, o simetría, de la clase de marcos captura las características geométricas del paisaje lineal, afín, euclidiano o proyectivo. Un marco en movimiento, en estas circunstancias, es justamente eso: un marco que varía de un punto a otro.

Formalmente, un marco en un espacio homogéneo G / H consiste en un punto en el fibrado tautológico G → G / H . Un marco móvil es una sección de este fibrado. Es móvil en el sentido de que a medida que varía el punto de la base, el marco en la fibra cambia por un elemento del grupo de simetría G . Un marco móvil en una subvariedad M de G / H es una sección del pullback del fibrado tautológico a M . Intrínsecamente ^[5] un marco móvil puede definirse en un fibrado principal P sobre una variedad. En este caso, un marco móvil está dado por una aplicación G -equivariante φ : P → G , enmarcando así la variedad por elementos del grupo de Lie G .

Se puede extender la noción de marcos a un caso más general: se puede " soldar " un haz de fibras a una variedad lisa , de tal manera que las fibras se comporten como si fueran tangentes. Cuando el haz de fibras es un espacio homogéneo, esto se reduce al campo de marcos descrito anteriormente. Cuando el espacio homogéneo es un cociente de grupos ortogonales especiales , esto se reduce a la concepción estándar de un vierbein .

Aunque existe una diferencia formal sustancial entre los sistemas móviles extrínsecos e intrínsecos, ambos son similares en el sentido de que un sistema móvil siempre está dado por una aplicación en G. La estrategia en el método de sistemas móviles de Cartan , como se describe brevemente en el método de equivalencia de Cartan , es encontrar un sistema móvil natural en la variedad y luego tomar su derivada de Darboux , en otras palabras, hacer retroceder la forma Maurer-Cartan de G a M (o P ), y así obtener un conjunto completo de invariantes estructurales para la variedad. ^[3]

Cartan (1937) formuló la definición general de un sistema de referencia móvil y el método del sistema de referencia móvil, tal como lo elaboró ​​Weyl (1938). Los elementos de la teoría son:

• Un grupo de Lie G.
• Un espacio de Klein X cuyo grupo de automorfismos geométricos es G .
• Una variedad suave Σ que sirve como espacio de coordenadas (generalizadas) para X .
• Una colección de marcos ƒ cada uno de los cuales determina una función de coordenadas de X a Σ (la naturaleza precisa del marco queda vaga en la axiomatización general).

Se supone entonces que se cumplen los siguientes axiomas entre estos elementos:

• Existe una acción grupal libre y transitiva de G sobre la colección de marcos: es un espacio homogéneo principal para G . En particular, para cualquier par de marcos ƒ y ƒ′, existe una transición única de marco (ƒ→ƒ′) en G determinada por el requisito (ƒ→ƒ′)ƒ = ƒ′.
• Dado un sistema ƒ y un punto A  ∈  X , se asocia un punto x  = ( A ,ƒ) perteneciente a Σ. Esta aplicación determinada por el sistema ƒ es una biyección de los puntos de X a los de Σ. Esta biyección es compatible con la ley de composición de sistemas en el sentido de que la coordenada x ′ del punto A en un sistema diferente ƒ′ surge de ( A ,ƒ) por aplicación de la transformación (ƒ→ƒ′). Es decir,$${\displaystyle (A,f')=(f\to f')\circ (A,f).}$$

De interés para el método son las subvariedades parametrizadas de X . Las consideraciones son en gran medida locales, por lo que se toma el dominio de parámetros como un subconjunto abierto de R ^λ . Se aplican técnicas ligeramente diferentes según se esté interesado en la subvariedad junto con su parametrización o en la subvariedad hasta la reparametrización.

El caso más común de un sistema de referencia móvil es el del fibrado de sistemas de referencia tangentes (también llamado fibrado de sistemas de referencia ) de una variedad. En este caso, un sistema de referencia tangente móvil sobre una variedad M consiste en una colección de campos vectoriales e ₁ , e ₂ , …, e _n que forman una base del espacio tangente en cada punto de un conjunto abierto U ⊂ M .

Si es un sistema de coordenadas en U , entonces cada campo vectorial e _j puede expresarse como una combinación lineal de los campos vectoriales de coordenadas : donde cada uno es una función en U . Estos pueden verse como los componentes de una matriz . Esta matriz es útil para encontrar la expresión de coordenadas del coframe dual, como se explica en la siguiente sección. ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\puntos ,x^{n})}$${\textstyle {\frac {\parcial }{\parcial x^{i}}}}$$${\displaystyle e_{j}=\sum _{i=1}^{n}A_{j}^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}},}$$$Estilo de visualización A_{j}^{i}}$${\estilo de visualización A}$

Un sistema de referencia móvil determina un sistema dual o cosistema del fibrado cotangente sobre U , que a veces también se denomina sistema de referencia móvil. Se trata de una n -tupla de 1 -formas suaves

θ ¹ , θ ² , …, θ ⁿ

que son linealmente independientes en cada punto q en U . Por el contrario, dado dicho co-marco, existe un único marco móvil e ₁ , e ₂ , …, e _n que es dual a él, es decir, satisface la relación de dualidad θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j , donde δ ⁱ _j es la función delta de Kronecker en U .

Si es un sistema de coordenadas en U , como en la sección anterior, entonces cada campo covectorial θ ⁱ puede expresarse como una combinación lineal de los campos covectoriales de coordenadas : donde cada uno es una función en U. Dado que , las dos expresiones de coordenadas anteriores se combinan para producir ; en términos de matrices, esto simplemente dice que y son inversas entre sí. ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\puntos ,x^{n})}$${\displaystyle dx^{i}}$$${\displaystyle \theta ^{i}=\sum _{j=1}^{n}B_{j}^{i}dx^{j},}$$$Estilo de visualización Bj$${\textstyle dx^{i}\left({\frac {\parcial }{\parcial x^{j}}}\right)=\delta _{j}^{i}}$${\textstyle \suma _{k=1}^{n}B_{k}^{i}A_{j}^{k}=\delta _{j}^{i}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización B}$

En el contexto de la mecánica clásica , cuando se trabaja con coordenadas canónicas , el co-marco canónico viene dado por la forma unitaria tautológica . Intuitivamente, relaciona las velocidades de un sistema mecánico (dadas por campos vectoriales en el fibrado tangente de las coordenadas) con los momentos correspondientes del sistema (dados por campos vectoriales en el fibrado cotangente; es decir, dados por formas). La forma unitaria tautológica es un caso especial de la forma de soldadura más general , que proporciona un campo de (co-)marco en un fibrado general .

Los marcos móviles son importantes en la relatividad general , donde no hay una manera privilegiada de extender una elección de marco en un evento p (un punto en el espacio-tiempo , que es una variedad de dimensión cuatro) a puntos cercanos, y por lo tanto se debe hacer una elección. En contraste, en la relatividad especial , M se toma como un espacio vectorial V (de dimensión cuatro). En ese caso, un marco en un punto p se puede trasladar de p a cualquier otro punto q de una manera bien definida. En términos generales, un marco móvil corresponde a un observador, y los marcos distinguidos en la relatividad especial representan observadores inerciales .

En relatividad y en geometría de Riemann , los sistemas móviles más útiles son los sistemas ortogonales y ortonormales , es decir, sistemas que consisten en vectores ortogonales (unitarios) en cada punto. En un punto dado p, un sistema general puede volverse ortonormal mediante ortonormalización ; de hecho, esto puede hacerse sin problemas, de modo que la existencia de un sistema móvil implica la existencia de un sistema ortonormal móvil.

Un sistema móvil siempre existe localmente , es decir, en algún vecindario U de cualquier punto p en M ; sin embargo, la existencia de un sistema móvil globalmente en M requiere condiciones topológicas . Por ejemplo, cuando M es un círculo , o más generalmente un toro , tales sistemas existen; pero no cuando M es una 2- esfera . Una variedad que tiene un sistema móvil global se llama paralelizable . Nótese, por ejemplo, cómo las direcciones unitarias de latitud y longitud en la superficie de la Tierra se descomponen como un sistema móvil en los polos norte y sur.

El método de los marcos móviles de Élie Cartan se basa en tomar un marco móvil que se adapte al problema particular que se está estudiando. Por ejemplo, dada una curva en el espacio, los tres primeros vectores derivados de la curva pueden, en general, definir un marco en un punto de la misma (cf. tensor de torsión para una descripción cuantitativa – se supone aquí que la torsión no es cero). De hecho, en el método de los marcos móviles, se trabaja más a menudo con comarcos que con marcos. De manera más general, los marcos móviles pueden verse como secciones de fibrados principales sobre conjuntos abiertos U . El método general de Cartan explota esta abstracción utilizando la noción de conexión de Cartan .

En muchos casos, resulta imposible definir un único marco de referencia que sea válido a nivel global. Para superar este problema, los marcos se suelen unir para formar un atlas , llegando así a la noción de marco local . Además, a menudo es deseable dotar a estos atlas de una estructura uniforme , de modo que los campos de marcos resultantes sean diferenciables.

Aunque este artículo construye los campos de marco como un sistema de coordenadas en el fibrado tangente de una variedad , las ideas generales se trasladan fácilmente al concepto de fibrado vectorial , que es una variedad dotada de un espacio vectorial en cada punto, siendo ese espacio vectorial arbitrario y no en general relacionado con el fibrado tangente.

Las maniobras de una aeronave pueden expresarse en términos del marco móvil ( ejes principales de la aeronave ) cuando las describe el piloto.

• Marco Darboux
• Fórmulas de Frenet-Serret
• Guiñada, cabeceo y balanceo

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