Ortogonalización

En álgebra lineal , _la ortogonalización es el proceso de encontrar un conjunto de vectores ortogonales que generen un subespacio particular . Formalmente, partiendo de un conjunto linealmente independiente de vectores { v₁ _,  ...  , vk } en un espacio con producto interno (generalmente el espacio euclidiano Rₙ ^{) ,} _la ortogonalización da como resultado un conjunto de vectores ortogonales { u₁ _, ... , uk } que generan el mismo subespacio que los vectores v₁ _, ... , vk _. Cada vector del nuevo conjunto es ortogonal a cualquier otro vector del nuevo conjunto; y el nuevo conjunto y el conjunto original tienen el mismo espacio generado linealmente .       

Además, si queremos que todos los vectores resultantes sean vectores unitarios , entonces normalizamos cada vector y el procedimiento se llama ortonormalización .

La ortogonalización también es posible con respecto a cualquier forma bilineal simétrica (no necesariamente un producto interno, no necesariamente sobre números reales ), pero los algoritmos estándar pueden encontrar división por cero en este contexto más general.

Los métodos para realizar la ortogonalización incluyen:

• Proceso de Gram-Schmidt , que utiliza proyección
• Transformación de Householder , que utiliza la reflexión.
• Rotación de Givens
• Ortogonalización simétrica, que utiliza la descomposición en valores singulares.

Al realizar la ortogonalización en un ordenador, la transformación de Householder suele preferirse al proceso de Gram-Schmidt, ya que es numéricamente más estable , es decir, los errores de redondeo tienden a tener efectos menos graves.

Por otro lado, el proceso de Gram-Schmidt produce el j-ésimo vector ortogonalizado después de la j-ésima iteración, mientras que la ortogonalización mediante reflexiones de Householder produce todos los vectores solo al final. Esto hace que solo el proceso de Gram-Schmidt sea aplicable para métodos iterativos como la iteración de Arnoldi .

La rotación de Givens se paraleliza más fácilmente que las transformaciones de Householder.

La ortogonalización simétrica fue formulada por Per-Olov Löwdin . ^{[ 1 ]}

Para compensar la pérdida de señal útil en los métodos tradicionales de atenuación de ruido debido a una selección incorrecta de parámetros o a supuestos inadecuados para la eliminación de ruido , se puede aplicar un operador de ponderación a la sección inicialmente sin ruido para recuperar la señal útil de la sección original con ruido. Este nuevo proceso de eliminación de ruido se denomina ortogonalización local de señal y ruido. ^{[ 2 ]} Tiene una amplia gama de aplicaciones en diversos campos del procesamiento de señales y la exploración sísmica .

• Ortogonalidad
• Sistema biorthogonal
• Base ortogonal