Teorema de aproximación celular

El teorema de aproximación celular se puede utilizar para calcular inmediatamente algunos grupos de homotopía . En particular, si${\displaystyle n<k,}$entonces${\displaystyle \pi _{n}(S^{k})=0.}$Dar${\displaystyle S^{n}}$y${\displaystyle S^{k}}$su estructura CW canónica , con una celda 0 cada una, y con una celda n para${\displaystyle S^{n}}$y una célula k para${\displaystyle S^{k}.}$Cualquier mapa que conserve el punto base${\displaystyle f\colon S^{n}\to S^{k}}$es entonces homotópico a un mapa cuya imagen se encuentra en el n -esqueleto de${\displaystyle S^{k},}$que consiste únicamente en el punto base. Es decir, cualquier mapa de este tipo es nulo-homotópico.

Sea f : (X,A) → (Y,B) una aplicación de pares CW , es decir, f es una aplicación de X a Y , y la imagen de${\displaystyle A\subseteq X\,}$Si f se encuentra dentro de B , entonces f es homotópico a una aplicación celular (X,A) → (Y,B) . Para ver esto, restrinja f a A y use la aproximación celular para obtener una homotopía de f a una aplicación celular en A. Use la propiedad de extensión de homotopía para extender esta homotopía a todo X , y aplique la aproximación celular nuevamente para obtener una aplicación celular en X , pero sin violar la propiedad celular en A.

Como consecuencia, tenemos que un par CW (X,A) está n-conectado , si todas las celdas de${\displaystyle XA}$tener una dimensión estrictamente mayor que n : Si${\displaystyle i\leq n\,}$, entonces cualquier mapa${\displaystyle (D^{i},\partial D^{i})\,}$→ (X,A) es homotópico a un mapa celular de pares, y dado que el n -esqueleto de X se encuentra dentro de A , cualquier mapa de este tipo es homotópico a un mapa cuya imagen está en A , y por lo tanto es 0 en el grupo de homotopía relativa.${\displaystyle \pi _{i}(X,A)\,}$. Tenemos en particular que${\displaystyle (X,X^{n})\,}$es n -conexo, por lo que se deduce de la larga secuencia exacta de grupos de homotopía para el par${\displaystyle (X,X^{n})\,}$que tenemos isomorfismos${\displaystyle \pi _{i}(X^{n})\,}$→${\displaystyle \pi _{i}(X)\,}$a pesar de${\displaystyle i<n\,}$y una sobreyección${\displaystyle \pi _{n}(X^{n})\,}$→${\displaystyle \pi _{n}(X)\,}$.

Para cada espacio X se puede construir un complejo CW Z y una equivalencia homotópica débil.${\displaystyle f\colon Z\to X}$Esto se denomina aproximación CW a X. La aproximación CW, al ser una equivalencia homotópica débil, induce isomorfismos en los grupos de homología y cohomología de X. Por lo tanto, a menudo se puede utilizar la aproximación CW para reducir una afirmación general a una versión más simple que solo concierne a complejos CW.

La aproximación CW se construye induciendo en el esqueleto${\displaystyle Z_{i}}$de${\displaystyle Z}$, para que los mapas${\displaystyle (f_{i})_{*}\colon \pi _{k}(Z_{i})\to \pi _{k}(X)}$son isomorfos para${\displaystyle k<i}$y están listos para${\displaystyle k=i}$(para cualquier punto de referencia). Entonces${\displaystyle Z_{i+1}}$está construido a partir de${\displaystyle Z_{i}}$adjuntando (i+1)-celdas que (para todos los puntos base)

• están conectados por las asignaciones${\displaystyle S^{i}\to Z_{i}}$que generan el núcleo de${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i})\to \pi _{i}(X)}$(y se asignan a X mediante la contracción de los esferoides correspondientes)
• están unidos por asignaciones constantes y se asignan a X para generar${\displaystyle \pi _{i+1}(X)}$(o${\displaystyle \pi _{i+1}(X)/(f_{i})_{*}(\pi _{i+1}(Z_{i}))}$).

La aproximación celular asegura entonces que agregar (i+1)-células no afecta${\displaystyle \pi _{k}(Z_{i}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{k}(X)}$para${\displaystyle k<i}$, mientras${\displaystyle \pi _ {i}(Z_ {i})}$se ve afectado por las clases de las asignaciones de adjuntos${\displaystyle S^{i}\to Z_{i}}$de estas células dando${\displaystyle \pi _{i}(Z_{i+1}){\stackrel {\cong }{\to }}\pi _{i}(X)}$. Sobreyectividad de${\displaystyle \pi _{i+1}(Z_{i+1})\to \pi _{i+1}(X)}$Esto se evidencia en el segundo paso de la construcción.