Espacio (matemáticas)

En las matemáticas de la antigua Grecia, el «espacio» era una abstracción geométrica de la realidad tridimensional observada en la vida cotidiana. Alrededor del año 300 a. C., Euclides formuló axiomas sobre las propiedades del espacio. Euclides construyó todas las matemáticas sobre estos fundamentos geométricos, llegando incluso a definir los números comparando la longitud de segmentos de recta con la longitud de un segmento de referencia elegido.

El método de coordenadas ( geometría analítica ) fue adoptado por René Descartes en 1637. ^{[ 3 ]} En ese momento, los teoremas geométricos se trataban como verdades objetivas absolutas, cognoscibles mediante la intuición y la razón, similares a los objetos de las ciencias naturales; ^{[ 4 ] : 11} y los axiomas se trataban como implicaciones obvias de las definiciones. ^{[ 4 ] : 15}

Se utilizaron dos relaciones de equivalencia entre figuras geométricas: congruencia y semejanza . Las traslaciones, rotaciones y reflexiones transforman una figura en figuras congruentes; las homotecias , en figuras semejantes. Por ejemplo, todos los círculos son semejantes entre sí, pero las elipses no lo son. Una tercera relación de equivalencia, introducida por Gaspard Monge en 1795, se da en la geometría proyectiva : no solo las elipses, sino también las parábolas e hipérbolas, se convierten en círculos mediante transformaciones proyectivas adecuadas; todas ellas son figuras proyectivamente equivalentes.

La relación entre las dos geometrías, euclidiana y proyectiva, ^{[ 4 ] : ​​133} muestra que los objetos matemáticos no se nos dan con su estructura . ^{[ 4 ] : ​​21} Más bien, cada teoría matemática describe sus objetos mediante algunas de sus propiedades, precisamente aquellas que se establecen como axiomas en los fundamentos de la teoría. ^{[ 4 ] : ​​20}

Las distancias y los ángulos no pueden aparecer en los teoremas de la geometría proyectiva, ya que estas nociones no se mencionan en sus axiomas ni se definen a partir de ellos. La pregunta "¿cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo?" tiene sentido en la geometría euclidiana, pero carece de él en la geometría proyectiva.

En el siglo XIX surgió una situación diferente: en algunas geometrías, la suma de los tres ángulos de un triángulo está bien definida, pero difiere del valor clásico (180 grados). La geometría hiperbólica no euclidiana , introducida por Nikolai Lobachevsky en 1829 y János Bolyai en 1832 (y Carl Friedrich Gauss en 1816, inédito) ^{[ 4 ] : ​​133,} afirmaba que la suma depende del triángulo y siempre es menor que 180 grados. Eugenio Beltrami en 1868 y Felix Klein en 1871 obtuvieron "modelos" euclidianos de la geometría hiperbólica no euclidiana, justificando así completamente esta teoría como una posibilidad lógica. ^{[ 4 ] : ​​24 [ 5 ]}

Este descubrimiento obligó a abandonar las pretensiones de verdad absoluta de la geometría euclidiana. Demostró que los axiomas no son "obvios" ni "implicaciones de definiciones", sino hipótesis. ¿Hasta qué punto se corresponden con una realidad experimental? Este importante problema físico ya no tiene nada que ver con las matemáticas. Incluso si una "geometría" no se corresponde con una realidad experimental, sus teoremas no dejan de ser "verdades matemáticas". ^{[ 4 ] : 15}

Un modelo euclidiano de una geometría no euclidiana consiste en la selección de ciertos objetos existentes en el espacio euclidiano y ciertas relaciones entre ellos que satisfacen todos los axiomas (y, por lo tanto, todos los teoremas) de la geometría no euclidiana. Estos objetos y relaciones euclidianos "representan" la geometría no euclidiana como actores contemporáneos representan una obra antigua. Los actores pueden imitar una situación que nunca ocurrió en la realidad. Las relaciones entre los actores en el escenario imitan las relaciones entre los personajes de la obra. Del mismo modo, las relaciones elegidas entre los objetos del modelo euclidiano imitan las relaciones no euclidianas. Esto demuestra que las relaciones entre objetos son esenciales en matemáticas, mientras que la naturaleza de los objetos no lo es.

La palabra "geometría" (del griego antiguo: geo- "tierra", -metron "medición") inicialmente significaba una forma práctica de procesar longitudes, regiones y volúmenes en el espacio en el que vivimos, pero luego se extendió ampliamente (así como la noción de espacio en cuestión aquí).

Según Bourbaki, ^{[ 4 ] : 131} el período entre 1795 ( Géométrie descriptive de Monge) y 1872 (el "programa de Erlangen" de Klein) puede llamarse "la edad de oro de la geometría". El espacio original investigado por Euclides ahora se llama espacio euclidiano tridimensional . Su axiomatización, iniciada por Euclides hace 23 siglos, fue reformada con los axiomas de Hilbert , los axiomas de Tarski y los axiomas de Birkhoff . Estos sistemas axiomáticos describen el espacio a través de nociones primitivas (como "punto", "entre", "congruente") restringidas por una serie de axiomas .

La geometría analítica progresó notablemente y logró reemplazar los teoremas de la geometría clásica con cálculos mediante invariantes de grupos de transformación. ^{[ 4 ] : 134, 5} Desde entonces, los nuevos teoremas de la geometría clásica han despertado más interés entre los aficionados que entre los matemáticos profesionales. ^{[ 4 ] : 136} Sin embargo, el legado de la geometría clásica no se perdió. Según Bourbaki, ^{[ 4 ] : 138} «relegada de su papel como ciencia autónoma y viva, la geometría clásica se transforma así en un lenguaje universal de las matemáticas contemporáneas».

Simultáneamente, los números comenzaron a desplazar a la geometría como fundamento de las matemáticas. Por ejemplo, en el ensayo de Richard Dedekind de 1872, Stetigkeit und irrationale Zahlen ( Continuidad y números irracionales ), afirma que los puntos en una línea deberían tener las propiedades de los cortes de Dedekind , y que, por lo tanto, una línea era lo mismo que el conjunto de los números reales. Dedekind se cuida de señalar que esta es una suposición imposible de demostrar. En los tratamientos modernos, la afirmación de Dedekind se suele tomar como la definición de una línea, reduciendo así la geometría a la aritmética. El espacio euclidiano tridimensional se define como un espacio afín cuyo espacio vectorial asociado de diferencias de sus elementos está dotado de un producto interno. ^{[ 6 ]} Una definición "desde cero", como la de Euclides, ya no se usa con frecuencia, puesto que no revela la relación de este espacio con otros espacios. Además, ahora se define un espacio proyectivo tridimensional como el espacio formado por todos los subespacios unidimensionales (es decir, las líneas rectas que pasan por el origen) de un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Este cambio en los fundamentos requiere un nuevo conjunto de axiomas, y si se adoptan estos axiomas, los axiomas clásicos de la geometría se convierten en teoremas.

Un espacio ahora consiste en objetos matemáticos seleccionados (por ejemplo, funciones en otro espacio, subespacios de otro espacio o simplemente elementos de un conjunto) tratados como puntos, y relaciones seleccionadas entre estos puntos. Por lo tanto, los espacios son simplemente estructuras matemáticas de conveniencia. Cabría esperar que las estructuras llamadas "espacios" se percibieran de forma más geométrica que otros objetos matemáticos, pero esto no siempre es así.

Según la famosa conferencia inaugural impartida por Bernhard Riemann en 1854, todo objeto matemático parametrizado por n números reales puede tratarse como un punto del espacio n -dimensional de todos esos objetos. ^{[ 4 ] : 140} Los matemáticos contemporáneos siguen esta idea de forma rutinaria y consideran sumamente sugerente utilizar la terminología de la geometría clásica prácticamente en todas partes. ^{[ 4 ] : 138}

Las funciones son objetos matemáticos importantes. Por lo general, forman espacios de funciones de dimensión infinita , como ya señaló Riemann ^{[ 4 ] : 141} y fue desarrollado en el siglo XX por el análisis funcional .

Si bien cada tipo de espacio tiene su propia definición, la idea general de «espacio» escapa a la formalización. Algunas estructuras se denominan espacios, otras no, sin un criterio formal. Además, no existe consenso sobre la idea general de «estructura». Según Pudlák, ^{[ 7 ]} «Las matemáticas [...] no pueden explicarse completamente mediante un único concepto como la estructura matemática. Sin embargo, el enfoque estructuralista de Bourbaki es el mejor del que disponemos». Retomaremos el enfoque estructuralista de Bourbaki en la última sección, «Espacios y estructuras», mientras que ahora esbozamos una posible clasificación de espacios (y estructuras) siguiendo la línea de Bourbaki.

Clasificamos los espacios en tres niveles. Dado que cada teoría matemática describe sus objetos mediante algunas de sus propiedades, la primera pregunta que debemos hacernos es: ¿cuáles propiedades? Esto nos lleva al primer nivel de clasificación (superior). En el segundo nivel, se consideran las respuestas a preguntas especialmente importantes (entre las que tienen sentido según el primer nivel). En el tercer nivel de clasificación, se consideran las respuestas a todas las preguntas posibles.

Por ejemplo, la clasificación de nivel superior distingue entre espacios euclidianos y proyectivos , ya que la distancia entre dos puntos está definida en espacios euclidianos pero no en espacios proyectivos. Otro ejemplo: la pregunta "¿cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo?" tiene sentido en un espacio euclidiano pero no en un espacio proyectivo. En un espacio no euclidiano, la pregunta tiene sentido, pero se responde de manera diferente, lo cual no constituye una distinción de nivel superior.

Además, la distinción entre un plano euclidiano y un espacio euclidiano tridimensional no es una distinción de nivel superior; la pregunta "¿cuál es la dimensión?" tiene sentido en ambos casos.

La clasificación de segundo nivel distingue, por ejemplo, entre espacios euclidianos y no euclidianos; entre espacios de dimensión finita e infinita; entre espacios compactos y no compactos, etc. En términos de Bourbaki, ^{[ 2 ]} la clasificación de segundo nivel es la clasificación por "especie". A diferencia de la taxonomía biológica, un espacio puede pertenecer a varias especies.

La clasificación de tercer nivel distingue, por ejemplo, entre espacios de distinta dimensión, pero no distingue entre un plano de un espacio euclidiano tridimensional, tratado como un espacio euclidiano bidimensional, y el conjunto de todos los pares de números reales, también tratado como un espacio euclidiano bidimensional. Del mismo modo, no distingue entre diferentes modelos euclidianos del mismo espacio no euclidiano. De forma más formal, el tercer nivel clasifica los espacios salvo isomorfismo . Un isomorfismo entre dos espacios se define como una correspondencia biunívoca entre los puntos del primer espacio y los puntos del segundo, que conserva todas las relaciones estipuladas según el primer nivel. Los espacios mutuamente isomorfos se conciben como copias de un único espacio. Si uno de ellos pertenece a una especie determinada, entonces todos lo hacen.

La noción de isomorfismo esclarece la clasificación de nivel superior. Dada una correspondencia biunívoca entre dos espacios de la misma clase de nivel superior, cabe preguntarse si se trata de un isomorfismo o no. Esta pregunta carece de sentido para dos espacios de clases diferentes.

Un isomorfismo respecto a sí mismo se denomina automorfismo. Los automorfismos de un espacio euclidiano son traslaciones, rotaciones, reflexiones y composiciones de estos. El espacio euclidiano es homogéneo en el sentido de que cualquier punto puede transformarse en cualquier otro punto mediante algún automorfismo.

Los axiomas euclidianos ^{[ b ]} no dejan margen de error; determinan de forma unívoca todas las propiedades geométricas del espacio. Más precisamente: todos los espacios euclidianos tridimensionales son mutuamente isomorfos. En este sentido, tenemos "el" espacio euclidiano tridimensional. En términos de Bourbaki, la teoría correspondiente es univalente . En contraste, los espacios topológicos son generalmente no isomorfos; su teoría es multivalente . Una idea similar aparece en la lógica matemática : una teoría se denomina categórica si todos sus modelos de la misma cardinalidad son mutuamente isomorfos. Según Bourbaki, ^{[ 8 ]} el estudio de las teorías multivalentes es la característica más destacada que distingue a las matemáticas modernas de las clásicas.

Las nociones topológicas (continuidad, convergencia, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, etc.) se definen naturalmente en todo espacio euclidiano. En otras palabras, todo espacio euclidiano es también un espacio topológico. Todo isomorfismo entre dos espacios euclidianos es también un isomorfismo entre los espacios topológicos correspondientes (llamado " homeomorfismo "), pero lo contrario es incorrecto: un homeomorfismo puede distorsionar las distancias. En términos de Bourbaki, ^{[ 2 ]} el "espacio topológico" es una estructura subyacente de la estructura del "espacio euclidiano". Ideas similares aparecen en la teoría de categorías : la categoría de espacios euclidianos es una categoría concreta sobre la categoría de espacios topológicos; el functor de olvido (o "despojamiento") mapea la primera categoría a la segunda.

Un espacio euclidiano tridimensional es un caso especial de un espacio euclidiano. En términos de Bourbaki, ^{[ 2 ]} la especie de espacio euclidiano tridimensional es más rica que la especie de espacio euclidiano. De igual modo, la especie de espacio topológico compacto es más rica que la especie de espacio topológico.

Estas relaciones entre especies de espacios pueden expresarse diagramáticamente como se muestra en la Fig. 3. Una flecha de A a B significa que todo espacio A es también un espacio B, o puede tratarse como un espacio B, o proporciona un espacio B, etc. Si se tratan A y B como clases de espacios, se puede interpretar la flecha como una transición de A a B. (En términos de Bourbaki, ^{[ 9 ]} "procedimiento de deducción" de un espacio B a partir de un espacio A. No es exactamente una función a menos que las clases A y B sean conjuntos; este matiz no invalida lo siguiente). Las dos flechas de la Fig. 3 no son invertibles, pero por diferentes razones.

La transición de lo euclidiano a lo topológico es ambigua. La topología distingue entre continuo y discontinuo, pero no entre rectilíneo y curvilíneo. La intuición nos dice que la estructura euclidiana no puede reconstruirse a partir de la topología. Una demostración utiliza un automorfismo del espacio topológico (es decir, un autohomeomorfismo ) que no es un automorfismo del espacio euclidiano (es decir, no es una composición de traslaciones, rotaciones y reflexiones). Dicha transformación convierte la estructura euclidiana dada en una estructura euclidiana (isomorfa pero) diferente; ambas estructuras euclidianas corresponden a una única estructura topológica.

En cambio, la transición de «euclidiano tridimensional» a «euclidiano» no implica olvido; un espacio euclidiano no tiene por qué ser tridimensional, pero si lo es, se mantiene intacto, sin pérdida de estructura. En otras palabras, esta última transición es inyectiva (uno a uno), mientras que la primera no lo es (muchos a uno). Denotamos las transiciones inyectivas con una flecha de punta cónica, «↣», en lugar de «→».

Ambas transiciones no son sobreyectivas ; es decir, no todo espacio B resulta de algún espacio A. Primero, un espacio euclidiano tridimensional es un caso especial (no general) de un espacio euclidiano. Segundo, una topología de un espacio euclidiano es un caso especial de topología (por ejemplo, debe ser no compacta y conexa, etc.). Denotamos las transiciones sobreyectivas con una flecha de doble punta, "↠", en lugar de "→". Véase, por ejemplo, la figura 4; allí, la flecha de "topológico lineal real" a "lineal real" tiene doble punta, ya que todo espacio lineal real admite alguna (al menos una) topología compatible con su estructura lineal.

Dicha topología no es única en general, pero sí lo es cuando el espacio lineal real es de dimensión finita. Para estos espacios, la transición es tanto inyectiva como sobreyectiva, es decir, biyectiva ; véase la flecha de "topológica lineal real de dimensión finita" a "lineal real de dimensión finita" en la Fig. 4. La transición inversa existe (y podría mostrarse con una segunda flecha hacia atrás). Por lo tanto, las dos especies de estructuras son equivalentes. En la práctica, no se hace distinción entre especies de estructuras equivalentes. ^{[ 10 ]} Las estructuras equivalentes pueden tratarse como una sola estructura, como se muestra con un recuadro grande en la Fig. 4.

Las transiciones indicadas por las flechas obedecen a isomorfismos. Es decir, dos espacios A isomorfos dan lugar a dos espacios B isomorfos .

El diagrama de la figura 4 es conmutativo . Es decir, todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos de inicio y fin conducen al mismo resultado. Los demás diagramas que se muestran a continuación también son conmutativos, excepto las flechas discontinuas de la figura 9. La flecha de "topológico" a "medible" es discontinua por la razón que se explica allí: "Para convertir un espacio topológico en un espacio medible, se le dota de un álgebra σ. El álgebra σ de conjuntos de Borel es la opción más popular, pero no la única". Una flecha continua denota una transición predominante, denominada "canónica", que se sugiere de forma natural y se utiliza ampliamente, a menudo implícitamente, por defecto. Por ejemplo, al hablar de una función continua en un espacio euclidiano, no es necesario especificar su topología explícitamente. De hecho, existen topologías alternativas que se utilizan a veces, por ejemplo, la topología fina ; pero estas siempre se especifican explícitamente, ya que son mucho menos notables que la topología predominante. Una flecha discontinua indica que se están utilizando varias transiciones y que ninguna es particularmente predominante.

Dos espacios básicos son los espacios lineales (también llamados espacios vectoriales) y los espacios topológicos .

Los espacios lineales son de naturaleza algebraica ; existen espacios lineales reales (sobre el cuerpo de los números reales ), espacios lineales complejos (sobre el cuerpo de los números complejos ) y, de forma más general, espacios lineales sobre cualquier cuerpo. Todo espacio lineal complejo es también un espacio lineal real (este último subyace al primero), puesto que cada número complejo puede especificarse mediante dos números reales. Por ejemplo, el plano complejo, tratado como un espacio lineal complejo unidimensional, puede reducirse a un espacio lineal real bidimensional. En cambio, la recta real puede tratarse como un espacio lineal real unidimensional, pero no como un espacio lineal complejo. Véase también extensiones de cuerpo . De forma más general, un espacio vectorial sobre un cuerpo también tiene la estructura de un espacio vectorial sobre un subcuerpo de dicho cuerpo. Las operaciones lineales, definidas en un espacio lineal, dan lugar a nociones como rectas (y planos, y otros subespacios lineales); rectas paralelas; elipses (y elipsoides). Sin embargo, es imposible definir líneas ortogonales (perpendiculares) o distinguir círculos entre elipses, ya que en un espacio lineal no existe una estructura como un producto escalar que permita medir ángulos. La dimensión de un espacio lineal se define como el número máximo de vectores linealmente independientes o, equivalentemente, como el número mínimo de vectores que lo abarcan; puede ser finita o infinita. Dos espacios lineales sobre el mismo cuerpo son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Un espacio lineal complejo n -dimensional es también un espacio lineal real 2n - dimensional .

Los espacios topológicos son de naturaleza analítica . Los conjuntos abiertos , dados en un espacio topológico por definición, conducen a nociones como funciones continuas , caminos, aplicaciones; sucesiones convergentes, límites ; interior, frontera, exterior. Sin embargo, la continuidad uniforme , los conjuntos acotados , las sucesiones de Cauchy y las funciones diferenciables (caminos, aplicaciones) permanecen sin definir. Los isomorfismos entre espacios topológicos se denominan tradicionalmente homeomorfismos; estos son correspondencias biyectivas continuas en ambas direcciones. El intervalo abierto (0,1) es homeomorfo a toda la recta real (−∞,∞) pero no es homeomorfo al intervalo cerrado [0,1], ni a un círculo. La superficie de un cubo es homeomorfa a una esfera (la superficie de una bola) pero no es homeomorfa a un toro. Los espacios euclidianos de diferentes dimensiones no son homeomorfos, lo que parece evidente, pero no es fácil de demostrar. La dimensión de un espacio topológico es difícil de definir; Se pueden utilizar la dimensión inductiva (basada en la observación de que la dimensión del borde de una figura geométrica suele ser una unidad menor que la dimensión de la figura misma) y la dimensión de recubrimiento de Lebesgue . En el caso de un espacio euclidiano n -dimensional , ambas dimensiones topológicas son iguales a n .

Todo subconjunto de un espacio topológico es, a su vez, un espacio topológico (en contraste, solo los subconjuntos lineales de un espacio lineal son espacios lineales). Los espacios topológicos arbitrarios, estudiados por la topología general (también llamada topología de conjuntos de puntos), son demasiado diversos para una clasificación completa salvo homeomorfismo. Los espacios topológicos compactos constituyen una clase importante de espacios topológicos ("especie" de este "tipo"). Toda función continua está acotada en dicho espacio. El intervalo cerrado [0,1] y la recta real extendida [−∞,∞] son ​​compactos; el intervalo abierto (0,1) y la recta (−∞,∞) no lo son. La topología geométrica estudia las variedades (otra "especie" de este "tipo"); estos son espacios topológicos localmente homeomorfos a espacios euclidianos (y que satisfacen algunas condiciones adicionales). Las variedades de baja dimensión están completamente clasificadas salvo homeomorfismo.

Tanto la estructura lineal como la topológica subyacen a la estructura del espacio topológico lineal (o, en otras palabras, espacio vectorial topológico). Un espacio topológico lineal es a la vez un espacio lineal real o complejo y un espacio topológico, de modo que las operaciones lineales son continuas. Por lo tanto, un espacio lineal que también es topológico no es, en general, un espacio topológico lineal.

Todo espacio lineal real o complejo de dimensión finita es un espacio topológico lineal en el sentido de que posee una única topología que lo define como tal. Por lo tanto, las dos estructuras, "espacio lineal real o complejo de dimensión finita" y "espacio topológico lineal de dimensión finita", son equivalentes, es decir, mutuamente subyacentes. En consecuencia, toda transformación lineal invertible de un espacio topológico lineal de dimensión finita es un homeomorfismo. Las tres nociones de dimensión (una algebraica y dos topológicas) coinciden para los espacios lineales reales de dimensión finita. Sin embargo, en espacios de dimensión infinita, diferentes topologías pueden ajustarse a una estructura lineal dada, y las transformaciones lineales invertibles generalmente no son homeomorfismos.

Es conveniente introducir los espacios afines y proyectivos mediante espacios lineales, como se muestra a continuación. Un subespacio lineal n -dimensional de un espacio lineal ( n +1)-dimensional , que a su vez es un espacio lineal n -dimensional , no es homogéneo; contiene un punto especial: el origen. Al desplazarlo mediante un vector externo, se obtiene un subespacio afín n -dimensional . Este subespacio es homogéneo. Un espacio afín no tiene por qué estar incluido en un espacio lineal, sino que es isomorfo a un subespacio afín de un espacio lineal. Todos los espacios afines n- dimensionales sobre un cuerpo dado son mutuamente isomorfos. En palabras de John Baez , «un espacio afín es un espacio vectorial que ha olvidado su origen». En particular, todo espacio lineal es también un espacio afín.

Dado un subespacio afín n -dimensional A en un espacio lineal ( n +1)-dimensional L , una línea recta en A puede definirse como la intersección de A con un subespacio lineal bidimensional de L que interseca a A ; en otras palabras, con un plano que pasa por el origen y que no es paralelo a A. De forma más general, un subespacio afín k -dimensional de A es la intersección de A con un subespacio lineal ( k +1)-dimensional de L que interseca a A.

Cada punto del subespacio afín A es la intersección de A con un subespacio lineal unidimensional de L. Sin embargo, algunos subespacios unidimensionales de L son paralelos a A ; en cierto sentido, lo intersecan en el infinito. El conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio lineal de ( n +1) dimensiones es, por definición, un espacio proyectivo de n dimensiones . Y el subespacio afín A está incrustado en el espacio proyectivo como un subconjunto propio. Sin embargo, el espacio proyectivo en sí es homogéneo. Una línea recta en el espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal bidimensional del espacio lineal de ( n +1) dimensiones. De forma más general, un subespacio proyectivo de k dimensiones del espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal de ( k +1) dimensiones del espacio lineal de ( n +1) dimensiones, y es isomorfo al espacio proyectivo de k dimensiones .

Definidos de esta manera, los espacios afines y proyectivos son de naturaleza algebraica; pueden ser reales, complejos y, de forma más general, sobre cualquier cuerpo.

Todo espacio afín o proyectivo, real o complejo, es también un espacio topológico. Un espacio afín es una variedad no compacta; un espacio proyectivo es una variedad compacta. En un espacio proyectivo real, una línea recta es homeomorfa a un círculo, por lo tanto compacta, a diferencia de una línea recta en un espacio lineal o afín.

Las distancias entre puntos se definen en un espacio métrico . Los isomorfismos entre espacios métricos se denominan isometrías. Todo espacio métrico es también un espacio topológico. Un espacio topológico se denomina metrizable si subyace a un espacio métrico. Todas las variedades son metrizables.

En un espacio métrico, podemos definir conjuntos acotados y sucesiones de Cauchy. Un espacio métrico se denomina completo si todas las sucesiones de Cauchy convergen. Todo espacio incompleto se encuentra incrustado isométricamente, como un subconjunto denso, en un espacio completo (la completación). Todo espacio métrico compacto es completo; la recta real no es compacta pero sí completa; el intervalo abierto (0,1) es incompleto.

Todo espacio euclidiano es también un espacio métrico completo. Además, todas las nociones geométricas inherentes a un espacio euclidiano pueden caracterizarse en términos de su métrica. Por ejemplo, el segmento recto que conecta dos puntos dados A y C consta de todos los puntos B tales que la distancia entre A y C es igual a la suma de dos distancias: entre A y B , y entre B y C.

La dimensión de Hausdorff (relacionada con el número de bolas pequeñas que cubren el conjunto dado) se aplica a espacios métricos y puede ser no entera (especialmente para fractales ). Para un espacio euclidiano n -dimensional , la dimensión de Hausdorff es igual a n .

Los espacios uniformes no introducen distancias, pero permiten utilizar la continuidad uniforme, las secuencias de Cauchy (o filtros o redes ), la completitud y la completitud. Todo espacio uniforme es también un espacio topológico. Todo espacio topológico lineal (metrizable o no) es también un espacio uniforme, y es completo en dimensión finita, pero generalmente incompleto en dimensión infinita. De forma más general, todo grupo topológico conmutativo es también un espacio uniforme. Sin embargo, un grupo topológico no conmutativo posee dos estructuras uniformes: una invariante por la izquierda y otra invariante por la derecha.

Los vectores en un espacio euclidiano forman un espacio lineal, pero cada vector${\displaystyle x}$tiene también una longitud, en otras palabras, norma,${\displaystyle \lVert x\rVert }$Un espacio lineal real o complejo dotado de una norma es un espacio normado . Todo espacio normado es a la vez un espacio topológico lineal y un espacio métrico. Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Muchos espacios de sucesiones o funciones son espacios de Banach de dimensión infinita.

El conjunto de todos los vectores de norma menor que uno se denomina bola unitaria de un espacio normado. Es un conjunto convexo y simétrico respecto al centro, que generalmente no es un elipsoide; por ejemplo, puede ser un polígono (en el plano) o, más generalmente, un politopo (en dimensión finita arbitraria). La ley del paralelogramo (también llamada identidad del paralelogramo)

${\displaystyle \lVert xy\rVert ^{2}+\lVert x+y\rVert ^{2}=2\lVert x\rVert ^{2}+2\lVert y\rVert ^{2}\ ,}$

Generalmente falla en espacios normados, pero se cumple para vectores en espacios euclidianos, lo cual se deduce del hecho de que la norma euclidiana al cuadrado de un vector es su producto interno consigo mismo.${\displaystyle \lVert x\rVert ^{2}=(x,x)}$.

Un espacio con producto interno es un espacio lineal real o complejo, dotado de una forma bilineal o sesquilineal respectivamente, que satisface ciertas condiciones y se denomina producto interno. Todo espacio con producto interno es también un espacio normado. Un espacio normado subyace a un espacio con producto interno si y solo si satisface la ley del paralelogramo, o equivalentemente, si su bola unitaria es un elipsoide. Los ángulos entre vectores se definen en espacios con producto interno. Un espacio de Hilbert se define como un espacio con producto interno completo. (Algunos autores insisten en que debe ser complejo, otros admiten también espacios de Hilbert reales). Muchos espacios de sucesiones o funciones son espacios de Hilbert de dimensión infinita. Los espacios de Hilbert son muy importantes para la teoría cuántica . ^{[ 11 ]}

Todos los espacios reales con producto interno de dimensión n son mutuamente isomorfos. Se podría decir que el espacio euclidiano de dimensión n es el espacio real con producto interno de dimensión n que olvidó su origen.

Las variedades diferenciables no se denominan «espacios», aunque podrían serlo. Toda variedad diferenciable es una variedad topológica y puede incrustarse en un espacio lineal de dimensión finita. Las superficies diferenciables en un espacio lineal de dimensión finita son variedades diferenciables: por ejemplo, la superficie de un elipsoide es una variedad diferenciable, mientras que un politopo no lo es. Los espacios lineales, afines y proyectivos de dimensión finita, tanto reales como complejos, también son variedades diferenciables.

En cada uno de sus puntos, una trayectoria suave en una variedad diferenciable tiene un vector tangente que pertenece al espacio tangente de la variedad en ese punto. Los espacios tangentes a una variedad diferenciable n -dimensional son espacios lineales n- dimensionales . El diferencial de una función diferenciable en una variedad diferenciable proporciona un funcional lineal en el espacio tangente en cada punto.

Una variedad riemanniana , o espacio de Riemann, es una variedad diferenciable cuyos espacios tangentes poseen productos internos que satisfacen ciertas condiciones. Los espacios euclidianos también son espacios de Riemann. Las superficies diferenciables en espacios euclidianos son espacios de Riemann. Un espacio hiperbólico no euclidiano también es un espacio de Riemann. Una curva en un espacio de Riemann tiene una longitud, y la longitud de la curva más corta entre dos puntos define una distancia, de modo que el espacio de Riemann es un espacio métrico. El ángulo entre dos curvas que se intersecan en un punto es el ángulo entre sus rectas tangentes.

Al renunciar a la positividad de los productos internos en los espacios tangentes, se obtienen espacios pseudo-riemannianos , incluidos los espacios lorentzianos que son muy importantes para la relatividad general .

Al prescindir de distancias y ángulos, pero conservando los volúmenes (de cuerpos geométricos), se llega a la teoría de la medida . Además del volumen, una medida generaliza las nociones de área, longitud, distribución de masa (o carga) y también distribución de probabilidad, según el enfoque de Andrey Kolmogorov a la teoría de la probabilidad .

Un «cuerpo geométrico» de las matemáticas clásicas es mucho más regular que un simple conjunto de puntos. El contorno del cuerpo tiene volumen cero. Por lo tanto, el volumen del cuerpo es el volumen de su interior, y este interior puede ser ocupado por una sucesión infinita de cubos. En cambio, el contorno de un conjunto arbitrario de puntos puede tener volumen distinto de cero (por ejemplo, el conjunto de todos los puntos racionales dentro de un cubo dado). La teoría de la medida logró extender la noción de volumen a una vasta clase de conjuntos, los llamados conjuntos medibles . De hecho, los conjuntos no medibles casi nunca aparecen en las aplicaciones.

Los conjuntos medibles, dados en un espacio medible por definición, dan lugar a funciones y aplicaciones medibles. Para convertir un espacio topológico en un espacio medible, se le dota de una σ-álgebra. La σ-álgebra de conjuntos de Borel es la más popular, pero no la única opción. ( También se utilizan a veces conjuntos de Baire , conjuntos universalmente medibles , etc.). La topología no está determinada unívocamente por la σ-álgebra de Borel; por ejemplo, la topología de la norma y la topología débil en un espacio de Hilbert separable dan lugar a la misma σ-álgebra de Borel . No toda σ-álgebra es la σ-álgebra de Borel de alguna topología. ^{[ c ]} De hecho, una σ-álgebra puede generarse mediante una colección dada de conjuntos (o funciones) independientemente de cualquier topología. Todo subconjunto de un espacio medible es en sí mismo un espacio medible.

Los espacios medibles estándar (también llamados espacios de Borel estándar ) son especialmente útiles debido a cierta similitud con los espacios compactos (véase EoM ). Toda aplicación biyectiva medible entre espacios medibles estándar es un isomorfismo; es decir, la aplicación inversa también es medible. Y una aplicación entre dichos espacios es medible si y solo si su gráfica es medible en el espacio producto. De manera similar, toda aplicación biyectiva continua entre espacios métricos compactos es un homeomorfismo; es decir, la aplicación inversa también es continua. Y una aplicación entre dichos espacios es continua si y solo si su gráfica es cerrada en el espacio producto.

Todo conjunto de Borel en un espacio euclidiano (y, más generalmente, en un espacio métrico separable completo), dotado de la σ-álgebra de Borel, es un espacio medible estándar. Todos los espacios medibles estándar no numerables son mutuamente isomorfos.

Un espacio de medida es un espacio mensurable dotado de una medida. Un espacio euclidiano con la medida de Lebesgue es un espacio de medida. La teoría de la integración define la integrabilidad y las integrales de funciones medibles en un espacio de medida.

Los conjuntos de medida 0, denominados conjuntos nulos, son despreciables. Por consiguiente, un "  isomorfismo módulo 0" se define como un isomorfismo entre subconjuntos de medida completa (es decir, con complemento despreciable).

Un espacio de probabilidad es un espacio de medida tal que la medida de todo el espacio es igual a 1. El producto de cualquier familia (finita o no) de espacios de probabilidad constituye un espacio de probabilidad. En cambio, para los espacios de medida en general, solo se define el producto de un número finito de espacios. Por consiguiente, existen muchas medidas de probabilidad de dimensión infinita (especialmente, medidas gaussianas ), pero no medidas de Lebesgue de dimensión infinita.

Los espacios de probabilidad estándar son especialmente útiles . En un espacio de probabilidad estándar, una esperanza condicional puede tratarse como la integral sobre la medida condicional ( probabilidades condicionales regulares ; véase también desintegración de la medida ). Dados dos espacios de probabilidad estándar, todo homomorfismo de sus álgebras de medida es inducido por alguna aplicación que preserva la medida. Toda medida de probabilidad en un espacio medible estándar conduce a un espacio de probabilidad estándar. El producto de una sucesión (finita o no) de espacios de probabilidad estándar es un espacio de probabilidad estándar. Todos los espacios de probabilidad estándar no atómicos son mutuamente isomorfos módulo  0; uno de ellos es el intervalo (0,1) con la medida de Lebesgue.

Estos espacios son menos geométricos. En particular, la idea de dimensión, aplicable (de una forma u otra) a todos los demás espacios, no se aplica a los espacios medibles, de medida y de probabilidad.

El estudio teórico del cálculo, conocido como análisis matemático , condujo a principios del siglo XX al estudio de los espacios lineales de funciones reales o complejas. Los primeros ejemplos fueron los espacios de funciones , cada uno adaptado a su propia clase de problemas. Estos ejemplos compartían muchas características comunes, que pronto se abstrajeron en espacios de Hilbert, espacios de Banach y espacios vectoriales topológicos más generales. Estos espacios constituyeron una poderosa herramienta para la solución de una amplia gama de problemas matemáticos.

La información más detallada la contenía una clase de espacios llamados álgebras de Banach . Estas son espacios de Banach junto con una operación de multiplicación continua. Un ejemplo temprano importante fue el álgebra de Banach de funciones medibles esencialmente acotadas en un espacio de medida X. Este conjunto de funciones es un espacio de Banach bajo la suma puntual y la multiplicación escalar. Con la operación de multiplicación puntual, se convierte en un tipo especial de espacio de Banach, que ahora se denomina álgebra de von Neumann conmutativa . La multiplicación puntual determina una representación de esta álgebra en el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en X. Una observación temprana de John von Neumann fue que esta correspondencia también funcionaba a la inversa: dadas algunas hipótesis técnicas suaves, un álgebra de von Neumann conmutativa junto con una representación en un espacio de Hilbert determina un espacio de medida, y estas dos construcciones (de un álgebra de von Neumann más una representación y de un espacio de medida) son mutuamente inversas.

Von Neumann propuso entonces que las álgebras de von Neumann no conmutativas debían tener significado geométrico, al igual que las conmutativas. Junto con Francis Murray , elaboró ​​una clasificación de las álgebras de von Neumann. La construcción de la integral directa muestra cómo descomponer cualquier álgebra de von Neumann en un conjunto de álgebras más simples llamadas factores . Von Neumann y Murray clasificaron los factores en tres tipos. El tipo I era casi idéntico al caso conmutativo. Los tipos II y III presentaban nuevos fenómenos. Un álgebra de von Neumann de tipo II determinaba una geometría con la peculiaridad de que la dimensión podía ser cualquier número real no negativo, no solo un entero. Las álgebras de tipo III eran aquellas que no pertenecían ni al tipo I ni al tipo II, y tras varias décadas de investigación, se demostró que estaban estrechamente relacionadas con los factores de tipo II.

Un enfoque ligeramente diferente a la geometría de los espacios de funciones se desarrolló al mismo tiempo que el trabajo de von Neumann y Murray sobre la clasificación de factores. Este enfoque es la teoría de las C*-álgebras . Aquí, el ejemplo motivador es el álgebra C*.${\displaystyle C_{0}(X)}$donde X es un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Por definición, este es el álgebra de funciones continuas de valores complejos en X que se anulan en el infinito (lo que significa, en términos generales, que cuanto más te alejas de un punto elegido, más se acerca la función a cero) con las operaciones de suma y multiplicación puntuales. El teorema de Gelfand-Naimark implica que existe una correspondencia entre las C*-álgebras conmutativas y los objetos geométricos: Toda C*-álgebra conmutativa tiene la forma${\displaystyle C_{0}(X)}$para algún espacio de Hausdorff localmente compacto X. En consecuencia, es posible estudiar los espacios de Hausdorff localmente compactos puramente en términos de C*-álgebras conmutativas. La geometría no conmutativa se inspira en esto para el estudio de las C*-álgebras no conmutativas : si existiera un "espacio no conmutativo X ", entonces su${\displaystyle C_{0}(X)}$sería un álgebra C* no conmutativa ; si además se aplicara el teorema de Gelfand-Naimark a estos objetos inexistentes, entonces los espacios (conmutativos o no) serían lo mismo que las álgebras C*; por lo tanto, a falta de un enfoque directo para la definición de un espacio no conmutativo, un espacio no conmutativo se define como un álgebra C* no conmutativa. Muchas herramientas geométricas estándar pueden reformularse en términos de álgebras C*, y esto proporciona técnicas de inspiración geométrica para estudiar las álgebras C* no conmutativas .

Ambos ejemplos pertenecen al campo de la geometría no conmutativa . Los ejemplos específicos de álgebras de von Neumann y C*-álgebras se conocen como teoría de la medida no conmutativa y topología no conmutativa, respectivamente. La geometría no conmutativa no es simplemente una búsqueda de generalidad por sí misma ni una mera curiosidad. Los espacios no conmutativos surgen de forma natural, incluso inevitable, a partir de ciertas construcciones. Por ejemplo, consideremos los recubrimientos de Penrose no periódicos del plano mediante cometas y dardos. Un teorema establece que, en dicho recubrimiento, cada parche finito de cometas y dardos aparece infinitas veces. En consecuencia, no hay forma de distinguir dos recubrimientos de Penrose observando una porción finita. Esto imposibilita asignar al conjunto de todos los recubrimientos una topología en el sentido tradicional. A pesar de ello, los recubrimientos de Penrose determinan un C*-álgebra no conmutativa y, por lo tanto, pueden estudiarse mediante las técnicas de la geometría no conmutativa. Otro ejemplo, de gran interés en geometría diferencial , proviene de las foliaciones de variedades. Estas consisten en dividir la variedad en subvariedades de menor dimensión llamadas hojas , cada una de las cuales es localmente paralela a las cercanas. El conjunto de todas las hojas puede constituir un espacio topológico. Sin embargo, el ejemplo de una rotación irracional muestra que este espacio topológico puede ser inaccesible a las técnicas de la teoría clásica de la medida. No obstante, existe un álgebra de von Neumann no conmutativa asociada al espacio de hojas de una foliación, lo que, una vez más, confiere a un espacio que de otro modo sería ininteligible una buena estructura geométrica.

La geometría algebraica estudia las propiedades geométricas de las ecuaciones polinómicas . Los polinomios son un tipo de función definida a partir de las operaciones aritméticas básicas de suma y multiplicación. Por ello, están estrechamente ligados al álgebra. La geometría algebraica ofrece una manera de aplicar técnicas geométricas a cuestiones de álgebra pura, y viceversa.

Antes de la década de 1940, la geometría algebraica trabajaba exclusivamente con números complejos, y la variedad más fundamental era el espacio proyectivo. La geometría del espacio proyectivo está estrechamente relacionada con la teoría de la perspectiva , y su álgebra se describe mediante polinomios homogéneos . Todas las demás variedades se definían como subconjuntos del espacio proyectivo. Las variedades proyectivas eran subconjuntos definidos por un conjunto de polinomios homogéneos. En cada punto de la variedad proyectiva, todos los polinomios del conjunto debían ser iguales a cero. El complemento del conjunto cero de un polinomio lineal es un espacio afín, y una variedad afín era la intersección de una variedad proyectiva con un espacio afín.

André Weil observó que el razonamiento geométrico podía aplicarse en ocasiones a situaciones de teoría de números donde los espacios en cuestión podían ser discretos o incluso finitos. En pos de esta idea, Weil reformuló los fundamentos de la geometría algebraica, liberándola de su dependencia de los números complejos e introduciendo variedades algebraicas abstractas que no estaban incrustadas en el espacio proyectivo. Estas se denominan simplemente variedades .

El tipo de espacio que subyace a la mayor parte de la geometría algebraica moderna es incluso más general que las variedades algebraicas abstractas de Weil. Fue introducido por Alexander Grothendieck y se denomina esquema . Una de las motivaciones de la teoría de esquemas es que los polinomios presentan una estructura inusual entre las funciones, y las variedades algebraicas son, en consecuencia, rígidas. Esto plantea problemas al intentar estudiar situaciones degeneradas. Por ejemplo, casi cualquier par de puntos en un círculo determina una única línea llamada secante, y a medida que los dos puntos se mueven alrededor del círculo, la secante varía continuamente. Sin embargo, cuando los dos puntos colisionan, la secante degenera en una tangente. La tangente es única, pero la geometría de esta configuración —un solo punto en un círculo— no es lo suficientemente expresiva como para determinar una única línea. Estudiar situaciones como esta requiere una teoría capaz de asignar datos adicionales a situaciones degeneradas.

Uno de los componentes básicos de un esquema es un espacio topológico. Los espacios topológicos poseen funciones continuas, pero estas son demasiado generales para reflejar la estructura algebraica subyacente de interés. Por lo tanto, el otro componente esencial de un esquema es un haz definido sobre el espacio topológico, denominado "haz estructural". En cada subconjunto abierto del espacio topológico, el haz especifica una colección de funciones, llamadas "funciones regulares". Tanto el espacio topológico como el haz estructural deben satisfacer condiciones que indiquen que las funciones provienen de operaciones algebraicas.

Al igual que las variedades, los esquemas se definen como espacios que se modelan localmente en un espacio familiar. En el caso de las variedades, el espacio familiar es el espacio euclidiano. Para un esquema, los modelos locales se denominan esquemas afines . Los esquemas afines proporcionan un vínculo directo entre la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Los objetos fundamentales de estudio en el álgebra conmutativa son los anillos conmutativos .${\displaystyle R}$Si es un anillo conmutativo, entonces existe un esquema afín correspondiente.${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$que traduce la estructura algebraica de${\displaystyle R}$en geometría. A la inversa, todo esquema afín determina un anillo conmutativo, es decir, el anillo de secciones globales de su haz estructural. Estas dos operaciones son inversas entre sí, por lo que los esquemas afines proporcionan un nuevo lenguaje para estudiar cuestiones de álgebra conmutativa. Por definición, todo punto en un esquema tiene un entorno abierto que es un esquema afín.

Existen muchos esquemas que no son afines. En particular, los espacios proyectivos satisfacen una condición denominada propiedad , análoga a la compacidad. Los esquemas afines no pueden ser propios (salvo en situaciones triviales, como cuando el esquema tiene un solo punto), y por lo tanto, ningún espacio proyectivo es un esquema afín (excepto los espacios proyectivos de dimensión cero). Los esquemas proyectivos, es decir, aquellos que surgen como subesquemas cerrados de un espacio proyectivo, constituyen la familia de esquemas más importante. ^{[ 12 ]}

Se han introducido varias generalizaciones de esquemas. Michael Artin definió un espacio algebraico como el cociente de un esquema mediante las relaciones de equivalencia que definen los morfismos étale . Los espacios algebraicos conservan muchas de las propiedades útiles de los esquemas, a la vez que son más flexibles. Por ejemplo, el teorema de Keel-Mori puede utilizarse para demostrar que muchos espacios de módulos son espacios algebraicos.

Más general que un espacio algebraico es una pila de Deligne-Mumford . Las pilas DM son similares a los esquemas, pero permiten singularidades que no pueden describirse únicamente en términos de polinomios. Cumplen la misma función para los esquemas que los orbifolds para las variedades . Por ejemplo, el cociente del plano afín por un grupo finito de rotaciones alrededor del origen produce una pila de Deligne-Mumford que no es ni un esquema ni un espacio algebraico. Lejos del origen, el cociente por la acción del grupo identifica conjuntos finitos de puntos igualmente espaciados en un círculo. Pero en el origen, el círculo consta de un solo punto, el origen mismo, y la acción del grupo fija este punto. En la pila DM de cociente, sin embargo, este punto viene con el dato adicional de ser un cociente. Este tipo de estructura refinada es útil en la teoría de espacios de módulos, y de hecho, se introdujo originalmente para describir módulos de curvas algebraicas .

Una generalización adicional son las pilas algebraicas , también llamadas pilas de Artin. Las pilas DM se limitan a cocientes mediante acciones de grupos finitos. Si bien esto es suficiente para muchos problemas en la teoría de módulos, resulta demasiado restrictivo para otros, y las pilas de Artin permiten cocientes más generales.

En su trabajo sobre las conjeturas de Weil , Grothendieck introdujo un nuevo tipo de topología, ahora conocida como topología de Grothendieck . Un espacio topológico (en el sentido ordinario) axiomatiza la noción de "proximidad", de modo que dos puntos están cerca si y solo si pertenecen a muchos de los mismos conjuntos abiertos. Por el contrario, una topología de Grothendieck axiomatiza la noción de "recubrimiento". Un recubrimiento de un espacio es una colección de subespacios que contienen conjuntamente toda la información del espacio ambiente. Dado que los haces se definen en términos de recubrimientos, una topología de Grothendieck también puede considerarse una axiomatización de la teoría de haces.

El trabajo de Grothendieck sobre sus topologías lo condujo a la teoría de los topoi . En sus memorias Récoltes et Semailles , los llamó su "concepción más vasta". ^{[ 13 ]} Un haz (ya sea en un espacio topológico o con respecto a una topología de Grothendieck) se utiliza para expresar datos locales. La categoría de todos los haces contiene todas las formas posibles de expresar datos locales. Dado que los espacios topológicos se construyen a partir de puntos, que son en sí mismos un tipo de datos locales, la categoría de haces puede, por lo tanto, usarse como reemplazo del espacio original. En consecuencia, Grothendieck definió un topos como una categoría de haces y estudió los topoi como objetos de interés por derecho propio. Estos ahora se denominan topoi de Grothendieck .

Todo espacio topológico determina un topos, y viceversa. Existen espacios topológicos donde tomar el topos asociado implica la pérdida de información, pero estos se consideran generalmente patológicos. (Una condición necesaria y suficiente es que el espacio topológico sea un espacio sobrio ). Por el contrario, existen topoi cuyos espacios topológicos asociados no capturan el topos original. Sin embargo, lejos de ser patológicos, estos topoi pueden ser de gran interés matemático. Por ejemplo, la teoría de la cohomología étale de Grothendieck (que finalmente condujo a la demostración de las conjeturas de Weil) puede formularse como cohomología en el topos étale de un esquema, y ​​este topos no proviene de un espacio topológico.

Los espacios topológicos, de hecho, dan lugar a topos muy especiales llamados locales . El conjunto de subconjuntos abiertos de un espacio topológico determina un retículo . Los axiomas de un espacio topológico hacen que estos retículos sean álgebras de Heyting completas . La teoría de los locales toma esto como punto de partida. Un local se define como un álgebra de Heyting completa, y las propiedades elementales de los espacios topológicos se reformulan y refutan en estos términos. El concepto de local resulta ser más general que el de espacio topológico, ya que todo espacio topológico sobrio determina un local único, pero muchos locales interesantes no provienen de espacios topológicos. Dado que los locales no necesitan tener puntos, el estudio de los locales se denomina, en cierto modo en broma, topología sin sentido .

Los topos también muestran profundas conexiones con la lógica matemática. Cada topos de Grothendieck tiene un haz especial llamado clasificador de subobjetos. Este clasificador de subobjetos funciona como el conjunto de todos los posibles valores de verdad. En el topos de conjuntos, el clasificador de subobjetos es el conjunto${\displaystyle \{0,1\}}$, correspondientes a "Falso" y "Verdadero". Pero en otros topoi, el clasificador de subobjetos puede ser mucho más complejo. Lawvere y Tierney reconocieron que axiomatizar el clasificador de subobjetos producía un tipo de topos más general, ahora conocido como topos elemental , y que los topoi elementales eran modelos de lógica intuicionista . Además de proporcionar una forma poderosa de aplicar herramientas de la lógica a la geometría, esto hizo posible el uso de métodos geométricos en la lógica.