Espacio de lentes

Un espacio de lentes es un ejemplo de espacio topológico , considerado en matemáticas . El término a menudo se refiere a una clase específica de 3-variedades , pero en general se puede definir para dimensiones superiores.

En el caso de la variedad 3, un espacio de lentes puede visualizarse como el resultado de unir dos toros sólidos mediante un homeomorfismo de sus límites. A menudo, la 3-esfera y , que pueden obtenerse como se indicó anteriormente, no se cuentan porque se consideran casos especiales triviales. ${\displaystyle S^{2}\times S^{1}}$

Los espacios de lentes tridimensionales fueron introducidos por Heinrich Tietze en 1908. Fueron los primeros ejemplos conocidos de 3-variedades que no estaban determinadas únicamente por su homología y grupo fundamental , y los ejemplos más simples de variedades cerradas cuyo tipo de homeomorfismo no está determinado por su tipo de homotopía. J. W. Alexander en 1919 demostró que los espacios de lentes y no eran homeomorfos aunque tienen grupos fundamentales isomorfos y la misma homología, aunque no tienen el mismo tipo de homotopía. Otros espacios de lentes (como y ) tienen incluso el mismo tipo de homotopía (y por tanto grupos fundamentales isomorfos y homología), pero no el mismo tipo de homeomorfismo; por tanto, pueden considerarse como el nacimiento de la topología geométrica de variedades a diferencia de la topología algebraica . ${\displaystyle L(p;q)}$${\estilo de visualización L(5;1)}$${\estilo de visualización L(5;2)}$${\estilo de visualización L(7;1)}$${\displaystyle L(7;2)}$

Existe una clasificación completa de los espacios de lentes tridimensionales, por grupo fundamental y torsión de Reidemeister .

Los espacios de lentes tridimensionales son cocientes de por -acciones. Más precisamente, sean y enteros coprimos y consideremos como la esfera unitaria en . Entonces la -acción sobre generada por el homeomorfismo ${\displaystyle L(p;q)}$$Estilo de visualización S3$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\estilo de visualización p}$${\estilo de visualización q}$$Estilo de visualización S3$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$$Estilo de visualización S3$

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (e^{2\pi i/p}\cdot z_{1},e^{2\pi iq/p}\cdot z_{2})}$

es libre. El espacio cociente resultante se llama espacio de lentes . ${\displaystyle L(p;q)}$

Esto se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera: Sean números enteros tales que los sean coprimos con y considérese como la esfera unitaria en . El espacio de lentes es el cociente de por la acción libre generada por ${\displaystyle p,q_{1},\ldots ,q_{n}}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots q_{n})}$${\displaystyle S^{2n-1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle (z_{1},\ldots ,z_{n})\mapsto (e^{2\pi iq_{1}/p}\cdot z_{1},\ldots ,e^{2\pi iq_{n}/p}\cdot z_{n}).}$

En tres dimensiones tenemos${\displaystyle L(p;q)=L(p;1,q).}$

El grupo fundamental de todos los espacios de lentes es independiente del . ${\displaystyle L(p;q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$${\displaystyle q_{i}}$

Los espacios de lentes son espacios localmente simétricos , pero no (totalmente) simétricos, con la excepción de que es simétrico. (Los espacios localmente simétricos son espacios simétricos que están cocienteados por una isometría que no tiene puntos fijos; los espacios de lentes cumplen con esta definición). ${\displaystyle L(2;1)}$

El espacio tridimensional de lentes se define a menudo como una esfera sólida con la siguiente identificación: primero marque p puntos igualmente espaciados en el ecuador de la esfera sólida, denótelos con , luego, en el límite de la esfera, dibuje líneas geodésicas que conecten los puntos con el polo norte y el polo sur. Ahora identifique triángulos esféricos identificando el polo norte con el polo sur y los puntos con y con . El espacio resultante es homeomorfo al espacio de lentes . ${\displaystyle L(p;q)}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle a_{p-1}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a_{i+q}}$${\displaystyle a_{i+1}}$${\displaystyle a_{i+q+1}}$${\displaystyle L(p;q)}$

Otra definición relacionada es considerar la bola sólida como la siguiente bipirámide sólida: construya un polígono regular plano de p lados . Coloque dos puntos n y s directamente encima y debajo del centro del polígono. Construya la bipirámide uniendo cada punto del polígono regular de p lados con n y s . Complete la bipirámide para hacerla sólida y dé a los triángulos en el límite la misma identificación que antes.

Las clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía se conocen como sigue: Los espacios tridimensionales y son: ${\displaystyle L(p;q_{1})}$${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. homotopía equivalente si y sólo si para algún ;${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
2. homeomorfo si y sólo si .${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

Si, como en el caso 2, son "obviamente" homeomorfos, ya que es fácil producir un homeomorfismo, es más difícil demostrar que estos son los únicos espacios de lentes homeomorfos. ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}}$

El invariante que da la clasificación de homotopía de los espacios de lentes tridimensionales es la forma de enlace de torsión .

La clasificación del homeomorfismo es más sutil y se da por la torsión de Reidemeister . Esta se dio en (Reidemeister 1935) como una clasificación hasta el homeomorfismo PL , pero se demostró en (Brody 1960) que era una clasificación de homeomorfismo. En términos modernos, los espacios de lentes están determinados por un tipo de homotopía simple y no hay invariantes normales (como clases características ) ni obstrucción quirúrgica .

En (Przytycki y Yasukhara 2003) se da una clasificación basada en la teoría de nudos : sea C una curva cerrada en el espacio de lentes que se eleva hasta un nudo en la cubierta universal del espacio de lentes. Si el nudo elevado tiene un polinomio de Alexander trivial , calcule la forma de enlace de torsión en el par (C, C); esto da la clasificación de homeomorfismo.

Otro invariante es el tipo de homotopía de los espacios de configuración : (Salvatore y Longoni 2005) demostraron que los espacios de lentes homotópicamente equivalentes pero no homeomórficos pueden tener espacios de configuración con diferentes tipos de homotopía, que pueden detectarse mediante diferentes productos de Massey .

• Variedad esférica de 3 vías

• Glen Bredon , Topología y geometría , Springer Graduate Texts in Mathematics 139, 1993.
• Brody, EJ (1960), "La clasificación topológica de los espacios de lentes", Annals of Mathematics , 2, 71 (1): 163–184, doi :10.2307/1969884, JSTOR  1969884
• Allen Hatcher , Topología algebraica, Cambridge University Press , 2002.
• Allen Hatcher, Notas sobre topología básica de 3 variedades. (Explica la clasificación de L(p,q) hasta el homeomorfismo.)
• Przytycki, Józef H. ; Yasukhara, Akira (2003), "Simetría de enlaces y clasificación de espacios de lentes", Geometriae Dedicata , 98 (1): 57–61, doi :10.1023/A:10240, MR  1988423
• Reidemeister, Kurt (1935), "Homotopieringe und Linsenräume", Abh. Matemáticas. Sem. Univ. Hamburgo , 11 (1): 102–109, doi :10.1007/BF02940717
• Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), "Los espacios de configuración no son homotópicamente invariantes", Topology , 44 (2): 375–380, arXiv : math/0401075 , doi :10.1016/j.top.2004.11.002
• Herbert Seifert y William Threlfall , Un libro de texto de topología , Matemáticas puras y aplicadas 89, Traducido de la edición alemana de 1934, Academic Press Inc. Nueva York (1980)
• Heinrich Tietze , Ueber die topologischen Invarianten mehrdimensionaler Mannigfaltigkeiten, Monatsh. Fuer Matemáticas. y Phys. 19, 1–118 (1908) ( 20) Traducción al inglés (2008) de John Stillwell .${\displaystyle \S }$
• Watkins, Matthew (1990), A Short Survey of Lens Spaces (PDF) (tesis de licenciatura), archivada desde el original (PDF) el 25 de septiembre de 2006

• Espacios de lentes en el Atlas de Manifold
• Espacios de lentes: una historia en el Atlas Manifold
• Espacios de lentes falsos en Manifold Atlas
• espacio de lentes en nLab