toroide sólido

En matemáticas , un toro sólido es el sólido formado al barrer un disco alrededor de un círculo . ^{[ 1 ]} Como espacio topológico , es homeomorfo al producto cartesiano.${\displaystyle S^{1}\times D^{2}}$del disco y del círculo, ^{[ 2 ]} dotados de la topología de producto .

Una forma estándar de visualizar un toro sólido es como un toroide incrustado en el espacio tridimensional . Sin embargo, conviene distinguirlo de un toroide , una superficie que tiene la misma apariencia visual: el toroide es el espacio bidimensional en el límite de un toroide, mientras que el toro sólido incluye también el espacio interior compacto encerrado por el toroide. Un toro sólido es un toroide más la región dentro del toroide, con un volumen distinto de cero . Algunos objetos del mundo real que se aproximan a un toro sólido son las juntas tóricas , los salvavidas no inflables , las rosquillas y los bagels .

El toro sólido es una variedad tridimensional conectada , compacta y orientable con frontera. La frontera es homeomorfa a${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$, el toro ordinario .

Dado que el disco${\displaystyle D^{2}}$es contraíble , el toro sólido tiene el tipo de homotopía de un círculo,${\displaystyle S^{1}}$. ^{[ 3 ]} Por lo tanto, el grupo fundamental y los grupos de homología son isomorfos a los del círculo: $${\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong \pi _{1}\left(S^{1}\right)\cong \mathbb {Z} ,\\H_{k}\left(S^{1}\times D^{2}\right)&\cong H_{k}\left(S^{1}\right)\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{si }}k=0,1,\\0&{\text{en otro caso}}.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

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