Espacio Chu

Los espacios de Chu generalizan la noción de espacio topológico al eliminar los requisitos de que el conjunto de conjuntos abiertos sea cerrado bajo la unión y la intersección finita , que los conjuntos abiertos sean extensionales y que el predicado de pertenencia (de puntos en conjuntos abiertos) sea bivaluado. La definición de función continua permanece inalterada, salvo que debe redactarse cuidadosamente para que siga teniendo sentido tras estas generalizaciones.

El nombre se debe a Po-Hsiang Chu, quien originalmente construyó una verificación de categorías autónomas como estudiante de posgrado bajo la dirección de Michael Barr en 1979. ^{[ 1 ]}

Entendido estáticamente, un espacio de Chu ( A , r , X ) sobre un conjunto K consta de un conjunto A de puntos, un conjunto X de estados y una función r  : A × X → K . Esto lo convierte en una matriz A × X con entradas extraídas de K , o equivalentemente una relación binaria con valores en K entre A y X (las relaciones binarias ordinarias tienen dos valores).

Entendidos dinámicamente, los espacios de Chu se transforman de la misma manera que los espacios topológicos, con A como el conjunto de puntos, X como el conjunto de conjuntos abiertos y r como la relación de pertenencia entre ellos, donde K es el conjunto de todos los posibles grados de pertenencia de un punto a un conjunto abierto. La contraparte de una función continua de ( A , r , X ) a ( B , s , Y ) es un par ( f , g ) de funciones f  : A → B , g  : Y → X que satisfacen la condición de adjunción s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )) para todo a ∈ A e y ∈ Y. Es decir, f mapea puntos hacia adelante al mismo tiempo que g mapea estados hacia atrás. La condición de adjunción hace que g sea la función imagen inversa f⁻¹ , mientras que la elección de X para el codominio de g corresponde al requisito para ^las funciones continuas de que la imagen inversa de conjuntos abiertos sea abierta. Dicho par se denomina transformación de Chu o morfismo de espacios de Chu.

Un espacio topológico ( X , T ), donde X es el conjunto de puntos y T el conjunto de conjuntos abiertos, puede entenderse como un espacio de Chu ( X , ∈, T ) sobre {0,  1}. Es decir, los puntos del espacio topológico se convierten en los del espacio de Chu, mientras que los conjuntos abiertos se convierten en estados y la relación de pertenencia "  ∈  " entre puntos y conjuntos abiertos se hace explícita en el espacio de Chu. La condición de que el conjunto de conjuntos abiertos sea cerrado bajo una unión arbitraria (incluida la vacía) y una intersección finita (incluida la vacía) se convierte en la condición correspondiente sobre las columnas de la matriz. Una función continua f : X → X' entre dos espacios topológicos se convierte en un par adjunto ( f , g ) en el que f ahora está emparejado con una realización de la condición de continuidad construida como una función testigo explícita g que exhibe los conjuntos abiertos requeridos en el dominio de f .   

La categoría de espacios de Chu sobre K y sus aplicaciones se denota por Chu ( Set , K ). Como se desprende de la simetría de las definiciones, es una categoría autodual : es equivalente (de hecho, isomorfa) a su dual, la categoría obtenida al invertir todas las aplicaciones. Además, es una categoría *-autónoma con objeto dualizador ( K , λ, {*}) donde λ  : K × {*} → K se define por λ( k , *) = k (Barr 1979). Como tal, es un modelo de la lógica lineal de Jean-Yves Girard (Girard 1987).

La categoría enriquecida más general Chu ( V , k ) apareció originalmente en un apéndice de Barr (1979). El concepto de espacio de Chu se originó con Michael Barr y los detalles fueron desarrollados por su estudiante Po-Hsiang Chu, cuya tesis de maestría formó el apéndice. Los espacios de Chu ordinarios surgen como el caso V = Set , es decir, cuando la categoría monoidal V se especializa a la categoría cartesiana cerrada Set de conjuntos y sus funciones, pero no fueron estudiados por derecho propio hasta más de una década después de la aparición de la noción enriquecida más general. Una variante de los espacios de Chu, llamada espacios dialécticos , debida a de Paiva (1989) reemplaza la condición de mapa (1) con la condición de mapa (2): 

1. s ( f ( a ), y ) = r ( a , g ( y )).
2. s ( f ( a ), y ) ≤ r ( a , g ( y )).

La categoría Top de espacios topológicos y sus funciones continuas se incrusta en Chu ( Set ,  2) en el sentido de que existe un functor completo y fiel F  : Top → Chu ( Set ,  2) que proporciona para cada espacio topológico ( X , T ) su representación F (( X , T )) = ( X , ∈, T ) como se indicó anteriormente. Esta representación es además una realización en el sentido de Pultr y Trnková (1980), a saber, que el espacio Chu que representa tiene el mismo conjunto de puntos que el espacio topológico representado y se transforma de la misma manera a través de las mismas funciones.

Los espacios de Chu son notables por la amplia variedad de estructuras familiares que realizan. Lafont y Streicher (1991) señalan que los espacios de Chu sobre 2 realizan tanto espacios topológicos como espacios coherentes (introducidos por J.-Y. Girard (1987) para modelar la lógica lineal), mientras que los espacios de Chu sobre K realizan cualquier categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo cuya cardinalidad es como máximo la de K. Esto fue extendido por Vaughan Pratt (1995) a la realización de estructuras relacionales k -arias por espacios de Chu sobre 2 ^k . Por ejemplo, la categoría Grp de grupos y sus homomorfismos se realiza por Chu ( Set , 8 ) ya que la multiplicación de grupos puede organizarse como una relación ternaria . Chu ( Set , 2) realiza una amplia gama de estructuras "lógicas" como semirretículos, retículos distributivos, retículos completos y completamente distributivos, álgebras booleanas, álgebras booleanas atómicas completas, etc. Puede encontrar más información sobre este y otros aspectos de los espacios de Chu, incluida su aplicación al modelado del comportamiento concurrente, en Espacios de Chu .  

• Guía de artículos sobre los Espacios Chu , página web .