Relación ternaria

En matemáticas , una relación ternaria o relación triádica es una relación finita en la que el número de lugares en la relación es tres. Las relaciones ternarias también pueden denominarse 3-ádicas , 3-arias , tridimensionales o de 3 lugares .

Así como una relación binaria se define formalmente como un conjunto de pares , es decir, un subconjunto del producto cartesiano A × B de algunos conjuntos A y B , una relación ternaria es un conjunto de triples , que forman un subconjunto del producto cartesiano A × B × C de tres conjuntos A , B y C.

Un ejemplo de una relación ternaria en geometría elemental se puede dar en ternas de puntos, donde una terna está en la relación si los tres puntos son colineales . Otro ejemplo geométrico se puede obtener considerando ternas que consisten en dos puntos y una línea, donde una terna está en la relación ternaria si los dos puntos determinan (son incidentes con) la línea.

Una función f  : A × B → C en dos variables, que asigna dos valores de los conjuntos A y B , respectivamente, a un valor en C, asocia a cada par ( a , b ) en A × B un elemento f ( a ,  b ) en  C . Por lo tanto, su gráfico consiste en pares de la forma (( a , b ), f ( a , b )) . Dichos pares en los que el primer elemento es en sí mismo un par se identifican a menudo con ternas. Esto hace que el gráfico de f sea una relación ternaria entre A , B y C , que consiste en todas las ternas ( a , b , f ( a , b )) , que satisfacen a en A , b en B y f ( a , b ) en C .

Dado cualquier conjunto A cuyos elementos están dispuestos en un círculo, se puede definir una relación ternaria R sobre A , es decir, un subconjunto de A ³ = A × A × A , estipulando que R ( a , b , c ) se cumple si y solo si los elementos a , b y c son diferentes por pares y cuando se va de a a c en el sentido de las agujas del reloj se pasa por b . Por ejemplo, si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 } representa las horas en la esfera de un reloj , entonces se cumple R (8, 12, 4) y no se cumple R (12, 8, 4) .

La congruencia ordinaria de las aritméticas

${\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}$

que se cumple para tres enteros a , b y m si y solo si m divide a a − b , formalmente puede considerarse como una relación ternaria. Sin embargo, por lo general, se considera como una familia de relaciones binarias entre a y b , indexadas por el módulo m . Para cada m fijo , de hecho, esta relación binaria tiene algunas propiedades naturales, como ser una relación de equivalencia ; mientras que la relación ternaria combinada en general no se estudia como una relación.

Una relación de tipificación Γ ⊢ e : σ indica que e es un término de tipo σ en el contexto Γ, y por lo tanto es una relación ternaria entre contextos, términos y tipos.

Dadas relaciones homogéneas A , B , y C en un conjunto, una relación ternaria ( A , B , C ) puede definirse utilizando la composición de relaciones AB y la inclusión AB ⊆ C . Dentro del cálculo de relaciones cada relación A tiene una relación inversa A ^T y una relación complementaria A . Utilizando estas involuciones , Augustus De Morgan y Ernst Schröder demostraron que ( A , B , C ) es equivalente a ( C , B ^T , A ) y también equivalente a ( A ^T , C , B ) . Las equivalencias mutuas de estas formas, construidas a partir de la relación ternaria ( A , B , C ), se denominan reglas de Schröder . ^[1]