*-categoría autónoma

En matemáticas , una categoría *-autónoma (léase "estrella-autónoma") es una categoría monoidal cerrada simétrica equipada con un objeto dualizador.${\displaystyle \bot }$. El concepto también se conoce como categoría de Grothendieck - Verdier en vista de su relación con la noción de dualidad de Verdier .

Dejar${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ser una categoría cerrada monoidal simétrica${\displaystyle \langle {\mathcal {C}},\otimes,I,\Rightarrow \rangle }$. Para cualquier par de objetos, en particular A y${\displaystyle \bot }$, existe un morfismo

${\displaystyle \partial _{A,\bot }:A\to (A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot }$

definida como la imagen por la biyección que define el cierre monoidal

${\displaystyle \mathrm {Hom} ((A\Rightarrow \bot )\otimes A,\bot )\cong \mathrm {Hom} (A,(A\Rightarrow \bot )\Rightarrow \bot )}$

del mapa de evaluación:

${\displaystyle \mathrm {eval} _{A,A\Rightarrow \bot }\circ \gamma _{A\Rightarrow \bot ,A}:(A\Rightarrow \bot )\otimes A\to \bot }$

dónde${\displaystyle \gamma }$es la simetría del producto tensorial. Un objeto${\displaystyle \bot }$de la categoría${\displaystyle {\mathcal {C}}}$se denomina dualización cuando el morfismo asociado${\displaystyle \partial _{A,\bot }}$es un isomorfismo para cada objeto A de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

De forma equivalente, una categoría *-autónoma es una categoría monoidal simétrica.${\displaystyle {\mathcal {C}}}$junto con un functor${\displaystyle (-)^{*}:{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }\to {\mathcal {C}}}$de tal manera que para cada objeto A existe un isomorfismo natural${\displaystyle A\cong {A^{**}}}$y para cada tres objetos A , B y C existe una biyección natural.

${\displaystyle \mathrm {Hom} (A\otimes B,C^{*})\cong \mathrm {Hom} (A,(B\otimes C)^{*})}$.

El objeto dualizador de${\displaystyle {\mathcal {C}}}$entonces se define por${\displaystyle \bot =I^{*}}$La equivalencia de las dos definiciones se demuestra identificando ${\displaystyle A^{*}=A\Rightarrow \bot }$.

Las categorías cerradas compactas son *-autónomas, con la unidad monoide como objeto dualizante. Recíprocamente, si la unidad de una categoría *-autónoma es un objeto dualizante, entonces existe una familia canónica de mapas.

${\displaystyle A^{*}\otimes B^{*}\to (B\otimes A)^{*}}$.

Todos estos son isomorfismos si y solo si la categoría *-autónoma es compacta y cerrada.

Un ejemplo conocido es la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita sobre cualquier cuerpo k, que se convierte en monoidal mediante el producto tensorial usual de espacios vectoriales. El objeto dualizador es k , el espacio vectorial unidimensional, y la dualización corresponde a la transposición . Si bien la categoría de todos los espacios vectoriales sobre k no es *-autónoma, se pueden hacer *-autónomas extensiones adecuadas a categorías de espacios vectoriales topológicos .

Por otro lado, la categoría de espacios vectoriales topológicos contiene una subcategoría completa extremadamente amplia, la categoría Ste de espacios estereotípicos , que es una categoría *-autónoma con el objeto dualizador${\displaystyle {\mathbb {C} }}$y el producto tensorial${\displaystyle \circledast }$.

Diversos modelos de lógica lineal forman categorías *-autónomas, la primera de las cuales fue la categoría de espacios de coherencia de Jean-Yves Girard .

La categoría de semirretículos completos con morfismos que preservan todas las uniones pero no necesariamente se encuentran es *-autónoma con dualizador la cadena de dos elementos. Un ejemplo degenerado (todos los conjuntos hom de cardinalidad como máximo uno) viene dado por cualquier álgebra booleana (como un conjunto parcialmente ordenado ) convertida en monoidal usando la conjunción para el producto tensorial y tomando 0 como objeto dualizador.

El formalismo de la dualidad de Verdier proporciona más ejemplos de categorías *-autónomas. Por ejemplo, Boyarchenko y Drinfeld (2013) mencionan que la categoría derivada acotada de haces l-ádicos construibles sobre una variedad algebraica posee esta propiedad. Otros ejemplos incluyen categorías derivadas de haces construibles sobre diversos tipos de espacios topológicos.

Un ejemplo de una categoría autodual que no es *-autónoma son los órdenes lineales finitos y las funciones continuas, que tienen * pero no son autónomas: su objeto dualizador es la cadena de dos elementos pero no hay producto tensorial.

La categoría de conjuntos y sus inyecciones parciales es autodual porque el recíproco de estas últimas es también una inyección parcial.

El concepto de categoría *-autónoma fue introducido por Michael Barr en 1979 en una monografía con ese título. Barr definió la noción para la situación más general de las V -categorías, categorías enriquecidas en una categoría monoidal o autónoma simétrica V. La definición anterior especializa la definición de Barr al caso V = Conjunto de categorías ordinarias, aquellas cuyos homoobjetos forman conjuntos (de morfismos). La monografía de Barr incluye un apéndice de su estudiante Po-Hsiang Chu que desarrolla los detalles de una construcción debida a Barr que muestra la existencia de V -categorías *-autónomas no triviales para todas las categorías monoidales simétricas V con retrocesos , cuyos objetos se conocieron una década después como espacios de Chu .

En una categoría monoide bicerrada${\displaystyle {\mathcal {C}}}$Aunque no necesariamente simétrica, aún es posible definir un objeto dualizante y luego definir una categoría *-autónoma como una categoría monoidal bicerrada con un objeto dualizante. Son definiciones equivalentes, como en el caso simétrico.

• Categoría autónoma

• Barr, Michael (1979). *-Categorías autónomas . Lecture Notes in Mathematics. Vol.  752. Springer. doi : 10.1007/BFb0064579 . ISBN 978-3-540-09563-7.
• Barr, Michael (1995). "Categorías *-autónomas no simétricas". Theoretical Computer Science . 139 : 115–130 . doi : 10.1016/0304-3975(94)00089-2 . S2CID 14721961 . 
• Barr, Michael (1999). "*-categorías autónomas: una vez más alrededor de la pista" (PDF) . Theory and Applications of Categories . 6 : 5–24 . CiteSeerX 10.1.1.39.881 . 
• Boyarchenko, Mitya; Drinfeld, Vladimir (2013). "Un formalismo de dualidad en el espíritu de Grothendieck y Verdier". Quantum Topology . 4 (4): 447– 489. arXiv : 1108.6020 . doi : 10.4171/QT/ 45 . MR 3134025. S2CID 55605535 .  
• categoría autónoma estelar en el Laboratorio n