Categoría rígida

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una categoría rígida es una categoría monoidal donde cada objeto es rígido, es decir, tiene un dual X ^* (el Hom interno [ X , 1 ]) y un morfismo 1 → X ⊗ X ^* que satisface condiciones naturales. La categoría se denomina rígida derecha o rígida izquierda según tenga duales derechos o izquierdos. Fueron definidas por primera vez (siguiendo a Alexander Grothendieck ) por Neantro Saavedra Rivano en su tesis sobre categorías tannakianas . ^{[ 1 ]}

Definición

Existen al menos dos definiciones equivalentes de rigidez.

Un objeto X de una categoría monoidal se denomina rígido por la izquierda si existe un objeto Y y morfismos y tales que ambas composiciones $\eta _{X}:\mathbf {1} \to X\otimes Y$ $\epsilon _{X}:Y\otimes X\to \mathbf {1}$

$X~{\xrightarrow {\eta _{X}\otimes \mathrm {id} _{X}}}~(X\otimes Y)\otimes X~{\xrightarrow {\alpha _{X,Y,X}^{-1}}}~X\otimes (Y\otimes X)~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{X}\otimes \epsilon {X}}}~X$

$Y~{\xrightarrow {\mathrm {id} _{Y}\otimes \eta _{X}}}~Y\otimes (X\otimes Y)~{\xrightarrow {~\alpha _{X,Y,X}~}}~(Y\otimes X)\otimes Y~{\xrightarrow {\epsilon _{X}\otimes \mathrm {id} {Y}}}~Y$

son identidades. Un objeto rígido derecho se define de manera similar.

Un inverso es un objeto X ⁻¹ tal que tanto X ⊗ X ⁻¹ como X ⁻¹⊗ X son isomorfos a 1 , el objeto identidad de la categoría monoidal. Si un objeto X tiene un inverso izquierdo (respectivamente derecho) X ⁻¹ con respecto al producto tensorial, entonces es rígido izquierdo (respectivamente derecho) y X ^* = X ⁻¹ .

La operación de tomar duales da como resultado un functor contravariante en una categoría rígida.

Usos

Una aplicación importante de la rigidez se encuentra en la definición de la traza de un endomorfismo de un objeto rígido. La traza se puede definir para cualquier categoría pivotal , es decir, una categoría rígida tal que ( ) ^** , el functor de tomar el dual repetido dos veces, es isomorfo al functor identidad. Entonces, para cualquier objeto rígido derecho X y cualquier otro objeto Y , podemos definir el isomorfismo

$\phi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (X,Y)\\f&\longmapsto &(\epsilon _{X}\otimes id_{Y})\circ (id_{X}\otimes f)\end{array}}\right.$

y su isomorfismo recíproco

$\psi _{X,Y}:\left\{{\begin{array}{rcl}\mathrm {Hom} (X,Y)&\longrightarrow &\mathrm {Hom} (\mathbf {1} ,X^{*}\otimes Y)\\g&\longmapsto &(id_{X^{*}}\otimes g)\circ \eta _{X}\end{array}}\right.$ .

Entonces, para cualquier endomorfismo , la traza de f se define como la composición: $f:X\to X$

$\mathop {\mathrm {tr} } f:\mathbf {1} {\xrightarrow {\psi _{X,X}(f)}}X^{*}\otimes X{\xrightarrow {\gamma _{X,X}}}X\otimes X^{*}{\xrightarrow {\epsilon _{X}}}\mathbf {1} ,$

Podemos continuar y definir la dimensión de un objeto rígido como:

$\dim X:=\mathop {\mathrm {tr} } \ \mathrm {id} _{X}$ .

La rigidez también es importante debido a su relación con los Hom internos. Si X es un objeto rígido por la izquierda, entonces todo Hom interno de la forma [ X , Z ] existe y es isomorfo a Z ⊗ Y. En particular, en una categoría rígida, todos los Hom internos existen.

Terminología alternativa

Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo (o derecho) también se denomina a veces categoría autónoma izquierda (o derecha). Una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y derecho también se denomina a veces categoría autónoma. Una categoría autónoma que además es simétrica se denomina categoría cerrada compacta .

Una categoría autónoma es una categoría monoidal donde existen objetos duales . ^{[ 2 ]} Una categoría autónoma izquierda (resp. derecha ) es una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo (resp. derecho) . Una categoría autónoma es una categoría monoidal donde cada objeto tiene un dual izquierdo y un dual derecho . ^[³^] Categoría rígida es sinónimo de categoría autónoma. En una categoría monoidal simétrica , la existencia de duales izquierdos es equivalente a la existencia de duales derechos; las categorías de este tipo se denominan categorías cerradas compactas (simétricas) . En las gramáticas categoriales , las categorías que son rígidas tanto a la izquierda como a la derecha se denominan a menudo pregrupos y se emplean en el cálculo de Lambek , una extensión no simétrica de la lógica lineal .

Los conceptos de categoría *-autónoma y categoría autónoma están directamente relacionados; específicamente, toda categoría autónoma es *-autónoma. Una categoría *-autónoma puede describirse como una categoría linealmente distributiva con negaciones (izquierda y derecha); dichas categorías poseen dos productos monoidales vinculados mediante una especie de ley distributiva. En el caso de que los dos productos monoidales coincidan y las distributividades se deriven del isomorfismo asociativo de la estructura monoidal única, se obtienen categorías autónomas.

Aplicaciones

La categoría de motivos puros se forma rigidizando la categoría de motivos puros efectivos.

Notas

↑ Rivano, N. Saavedra (1972). Categorías Tannakiennes . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 265. Saltador. doi : 10.1007/BFb0059108 . ISBN 978-3-540-37477-0.
↑ Algunos autores utilizan este término para una categoría monoidal cerrada simétrica , o para una categoría monoidal bicerrada cuando no se asume simetría.
↑ Fuchs y Schwigert 2003 , pág. 34 Definición 3.5

Referencias

Davydov, AA (1998). "Categorías monoidales y functores". Journal of Mathematical Sciences . 88 (4): 458– 472. doi : 10.1007/BF02365309 .
Categoría monoidal rígida en el Laboratorio n

Aún así, David N. (2001). Teoría del nudo funcional . Científico Mundial . ISBN 981-02-4443-6.
Fuchs, J.; Schwigert, C. (2003). "Teoría de categorías para condiciones de contorno conformes" . En Lepowsky, J.; Berman, S.; Huang, YZ.; Billig, Y. (eds.). Álgebras de operadores de vértice en matemáticas y física . Fields Institute Communications. Vol. 39. pp. 25–70 . arXiv : math/0106050 . CiteSeerX 10.1.1.234.7634 . doi : 10.1090/fic/039/03 . ISBN 978-0-8218-2856-4. S2CID 15175857 .

[1] Rivano, N. Saavedra (1972). Categorías Tannakiennes . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol. 265. Saltador. doi : 10.1007/BFb0059108 . ISBN 978-3-540-37477-0.

[2] Algunos autores utilizan este término para una categoría monoidal cerrada simétrica , o para una categoría monoidal bicerrada cuando no se asume simetría.

[3] Fuchs y Schwigert 2003 , pág. 34 Definición 3.5

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