Espacio algebraico

En matemáticas , los espacios algebraicos forman una generalización de los esquemas de la geometría algebraica , introducidos por Michael Artin ^[1] para su uso en la teoría de la deformación . Intuitivamente, los esquemas se dan pegando esquemas afines utilizando la topología de Zariski , mientras que los espacios algebraicos se dan pegando esquemas afines utilizando la topología étale más fina . Alternativamente, se puede pensar en los esquemas como localmente isomorfos a los esquemas afines en la topología de Zariski, mientras que los espacios algebraicos son localmente isomorfos a los esquemas afines en la topología étale.

La categoría resultante de espacios algebraicos extiende la categoría de esquemas y permite realizar varias construcciones naturales que se utilizan en la construcción de espacios de módulos pero que no siempre son posibles en la categoría más pequeña de esquemas, como tomar el cociente de una acción libre por un grupo finito (cf. el teorema de Keel-Mori ).

Existen dos formas comunes de definir los espacios algebraicos: pueden definirse como cocientes de esquemas por relaciones de equivalencia de étale o como haces en un sitio de étale grande que son localmente isomorfos a los esquemas. Estas dos definiciones son esencialmente equivalentes.

Un espacio algebraico X comprende un esquema U y un subesquema cerrado R ⊆ U × U que satisface las dos condiciones siguientes:

1. R es una relación de equivalencia como subconjunto de U × U

2. Las proyecciones p _i : R → U sobre cada factor son mapas étales .

Algunos autores, como Knutson, añaden una condición extra: un espacio algebraico tiene que estar cuasi-separado , lo que significa que la función diagonal es cuasi-compacta.

Siempre se puede suponer que R y U son esquemas afines . Esto significa que la teoría de espacios algebraicos no depende de la teoría completa de esquemas y, de hecho, puede utilizarse como un reemplazo (más general) de esa teoría.

Si R es la relación de equivalencia trivial sobre cada componente conexo de U (es decir, para todos los x , y que pertenecen al mismo componente conexo de U , tenemos xRy si y solo si x = y ), entonces el espacio algebraico será un esquema en el sentido habitual. Dado que un espacio algebraico general X no satisface este requisito, permite que un único componente conexo de U cubra X con muchas "capas". El conjunto de puntos subyacente al espacio algebraico X está dado entonces por | U | / | R | como un conjunto de clases de equivalencia .

Sea Y un espacio algebraico definido por una relación de equivalencia S ⊂ V × V . El conjunto Hom( Y , X ) de morfismos de espacios algebraicos se define entonces por la condición de que realice la secuencia descendente

${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)}$

exacta (esta definición está motivada por un teorema de descenso de Grothendieck para aplicaciones étales sobreyectivas de esquemas afines). Con estas definiciones, los espacios algebraicos forman una categoría .

Sea U un esquema afín sobre un cuerpo k definido por un sistema de polinomios g ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ), sea

${\displaystyle k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\ }$

denotamos el anillo de funciones algebraicas en x sobre k , y sea X = { R ⊂ U × U } un espacio algebraico.

Los tallos apropiados Õ _{X , x} sobre X se definen entonces como los anillos locales de funciones algebraicas definidas por Õ _{U , u} , donde u ∈ U es un punto que se encuentra sobre x y Õ _{U , u} es el anillo local correspondiente a u del anillo.

k { x ₁ , ...,  x _n } / ( g )

de funciones algebraicas en U .

Se dice que un punto en un espacio algebraico es suave si Õ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } para algunas indeterminaciones z ₁ , ..., z _d . La dimensión de X en x se define entonces simplemente como d .

Se dice que un morfismo f : Y → X de espacios algebraicos es étale en y ∈ Y (donde x = f ( y )) si la función inducida en tallos

Õ _{X , x} → Õ _{Y , y}

es un isomorfismo.

La estructura del haz O _X en el espacio algebraico X se define asociando el anillo de funciones O ( V ) en V (definido por aplicaciones étales de V a la línea afín A ¹ en el sentido que se acaba de definir) a cualquier espacio algebraico V que sea étal sobre X .

Un espacio algebraico se puede definir como un haz de conjuntos ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{Conjuntos}}}$

de tal manera que

1. Hay un morfismo étale sobreyectivo${\displaystyle h_{X}\to {\mathfrak {X}}}$
2. El morfismo diagonal es representable.${\displaystyle \Delta _{{X}}/S}:{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$

La segunda condición es equivalente a la propiedad de que, dados cualesquiera esquemas y morfismos , su producto de fibras de haces ${\estilo de visualización Y,Z}$${\displaystyle h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle h_{Y}\times _ {\mathfrak {X}}h_{Z}}$

es representable mediante un esquema sobre . Nótese que algunos autores, como Knutson, añaden una condición adicional: un espacio algebraico tiene que estar cuasi separado , lo que significa que la función diagonal es cuasi compacta. ${\estilo de visualización S}$

Los espacios algebraicos son similares a los esquemas, y gran parte de la teoría de esquemas se extiende a los espacios algebraicos. Por ejemplo, la mayoría de las propiedades de los morfismos de esquemas también se aplican a los espacios algebraicos; se puede definir la cohomología de haces cuasicoherentes, que tiene las propiedades de finitud habituales para los morfismos propios, y así sucesivamente.

• Los espacios algebraicos propios sobre un cuerpo de dimensión uno (curvas) son esquemas.
• Los espacios algebraicos propios no singulares de dimensión dos sobre un cuerpo (superficies suaves) son esquemas.
• Los objetos de grupo cuasi-separados en la categoría de espacios algebraicos sobre un cuerpo son esquemas, aunque hay objetos de grupo no cuasi-separados que no son esquemas.
• Los objetos del grupo conmutativo en la categoría de espacios algebraicos sobre un esquema arbitrario que son propios, de presentación localmente finita, planos y cohomológicamente planos en dimensión 0 son esquemas.
• No toda superficie algebraica singular es un esquema.
• El ejemplo de Hironaka se puede utilizar para dar un espacio algebraico propio tridimensional no singular que no sea un esquema, dado por el cociente de un esquema por un grupo de orden 2 que actúe libremente. Esto ilustra una diferencia entre esquemas y espacios algebraicos: el cociente de un espacio algebraico por un grupo discreto que actúe libremente es un espacio algebraico, pero el cociente de un esquema por un grupo discreto que actúe libremente no necesita ser un esquema (incluso si el grupo es finito).
• Todo espacio algebraico cuasi-separado contiene un subesquema afín abierto denso, y el complemento de dicho subesquema siempre tiene codimensión ≥ 1. Por lo tanto, los espacios algebraicos son en cierto sentido "cercanos" a los esquemas afines.
• El cociente de los números complejos por un retículo es un espacio algebraico, pero no es una curva elíptica, aunque el espacio analítico correspondiente sea una curva elíptica (o más precisamente es la imagen de una curva elíptica bajo el funtor de espacios algebraicos complejos a espacios analíticos). De hecho, este cociente del espacio algebraico no es un esquema, no está completo y ni siquiera está cuasi separado. Esto muestra que, aunque el cociente de un espacio algebraico por un grupo discreto infinito es un espacio algebraico, puede tener propiedades extrañas y podría no ser el espacio algebraico que uno estaba "esperando". Se dan ejemplos similares con el cociente de la línea afín compleja por los números enteros, o el cociente de la línea afín compleja menos el origen por las potencias de algún número: nuevamente, el espacio analítico correspondiente es una variedad, pero el espacio algebraico no lo es.

Los espacios algebraicos sobre números complejos están estrechamente relacionados con los espacios analíticos y las variedades de Moishezon .

En términos generales, la diferencia entre espacios algebraicos complejos y espacios analíticos es que los espacios algebraicos complejos se forman pegando piezas afines entre sí utilizando la topología étale, mientras que los espacios analíticos se forman pegando con la topología clásica. En particular, existe un funtor de espacios algebraicos complejos de tipo finito a espacios analíticos. Las variedades de Hopf dan ejemplos de superficies analíticas que no provienen de un espacio algebraico propio (aunque se pueden construir espacios algebraicos no propios y no separados cuyo espacio analítico sea la superficie de Hopf). También es posible que diferentes espacios algebraicos correspondan al mismo espacio analítico: por ejemplo, una curva elíptica y el cociente de C por la red correspondiente no son isomorfos como espacios algebraicos, pero los espacios analíticos correspondientes sí lo son.

Artin demostró que los espacios algebraicos propios sobre los números complejos son más o menos los mismos que los espacios de Moishezon.

Una generalización de gran alcance de los espacios algebraicos la dan las pilas algebraicas . En la categoría de pilas podemos formar incluso más cocientes mediante acciones grupales que en la categoría de espacios algebraicos (el cociente resultante se llama pila de cocientes ).

• Artin, Michael (1969), "El teorema de la función implícita en la geometría algebraica", en Abhyankar, Shreeram Shankar (ed.), Geometría algebraica: artículos presentados en el Bombay Colloquium, 1968, del Tata Institute of Fundamental Research Studies in mathematics, vol. 4, Oxford University Press , págs. 13–34, MR  0262237
• Artin, Michael (1971), Espacios algebraicos, Yale Mathematical Monographs, vol. 3, Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, Sr.  0407012
• Knutson, Donald (1971), Espacios algebraicos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 203, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0059750, ISBN 978-3-540-05496-2, Sr.  0302647

• Danilov, VI (2001) [1994], "Espacio algebraico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Proyecto de espacio algebraico en pilas