Espacio vectorial simpléctico

En matemáticas , un espacio vectorial simpléctico es un espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ (por ejemplo, los números reales) $\mathbb {R}$ ) equipado con una forma bilineal simpléctica .

Una forma bilineal simpléctica es una aplicación $\omega :V\times V\to F$ eso es

Bilineal: Lineal en cada argumento por separado;
Alterno: $\omega (v,v)=0$ se aplica a todos $v\in V$ ; y
No degenerado: $\omega (v,u)=0$ a pesar de $v\in V$ implica que $u=0$ .

Si el campo subyacente tiene característica distinta de 2, la alternancia es equivalente a la antisimetría . Si la característica es 2, la antisimetría está implícita en la alternancia, pero no implica la alternancia. En este caso, toda forma simpléctica es una forma simétrica , pero no a la inversa.

Trabajando de forma fija , $\omega$ puede representarse mediante una matriz . Las condiciones anteriores son equivalentes a que esta matriz sea antisimétrica , no singular y hueca (todas las entradas diagonales son cero). Esto no debe confundirse con una matriz simpléctica , que representa una transformación simpléctica del espacio. Si $V$ Si es de dimensión finita , entonces su dimensión debe ser necesariamente par, ya que toda matriz hueca antisimétrica de tamaño impar tiene determinante cero. Nótese que la condición de que la matriz sea hueca es redundante a menos que la característica del cuerpo sea 2. Una forma simpléctica se comporta de manera muy diferente a una forma simétrica como el producto escalar en espacios vectoriales euclidianos.

Espacio simpléctico estándar

El espacio simpléctico estándar es $\mathbb {R} ^{2n}$ con la forma simpléctica dada por una matriz antisimétrica no singular . Típicamente $\omega$ se elige como matriz de bloques

$\omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}$

dónde $I_{n}$ es el $n\times n$ matriz identidad . En términos de vectores base $(x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n})$ :

${\begin{aligned}\omega (x_{i},y_{j})=-\omega (y_{j},x_{i})&=\delta _{ij},\\\omega (x_{i},x_{j})=\omega (y_{i},y_{j})&=0.\end{aligned}}$

Una versión modificada del proceso de Gram-Schmidt muestra que cualquier espacio vectorial simpléctico de dimensión finita tiene una base tal que $\omega$ adopta esta forma, a menudo llamada base de Darboux o base simpléctica .

Esquema del proceso:

Comencemos con una base arbitraria. $v_{1},...,v_{n}$ y representamos el dual de cada vector base mediante la base dual : $\omega (v_{i},\cdot )=\sum _{j}\omega (v_{i},v_{j})v_{j}^{*}$ Esto nos da un $n\times n$ matriz con entradas ${\ Displaystyle \ omega (v_ {i}, v_ {j})}$ . Resuelva para su espacio nulo. Ahora para cualquier $(\lambda _{1},...,\lambda _{n})$ en el espacio nulo, tenemos $\sum _{i}\omega (v_{i},\cdot )=0$ , por lo que el espacio nulo nos da el subespacio degenerado $V_{0}$ .

Ahora elige arbitrariamente un complemento $W$ de tal manera que $V=V_{0}\oplus W$ y dejar $w_{1},...,w_{m}$ ser una base de $W$ . Desde $\omega (w_{1},\cdot )\neq 0$ , y $\omega (w_{1},w_{1})=0$ , WLOG $\omega (w_{1},w_{2})\neq 0$ Ahora escala. $w_{2}$ de modo que $\omega (w_{1},w_{2})=1$ . Luego define $w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}$ para cada uno de $w=w_{3},w_{4},...,w_{m}$ Iterar.

Notice that this method applies for symplectic vector space over any field, not just the field of real numbers.

Case of real or complex field:

When the space is over the field of real numbers, then we can modify the modified Gram-Schmidt process as follows: Start the same way. Let $w_{1},...,w_{m}$ be an orthonormal basis (with respect to the usual inner product on $\mathbb {R} ^{n}$ ) of $W$ . Since $\omega (w_{1},\cdot )\neq 0$ , and $\omega (w_{1},w_{1})=0$ , WLOG $\omega (w_{1},w_{2})\neq 0$ . Now multiply $w_{2}$ by a sign, so that $\omega (w_{1},w_{2})\geq 0$ . Then define $w'=w-\omega (w,w_{2})w_{1}+\omega (w,w_{1})w_{2}$ for each of $w=w_{3},w_{4},...,w_{m}$ , then scale each $w'$ so that it has norm one. Iterate.

Similarly, for the field of complex numbers, we may choose a unitary basis. This proves the spectral theory of antisymmetric matrices.

Lagrangian form

There is another way to interpret this standard symplectic form. Since the model space $\mathbb {R} ^{2n}$ used above carries much canonical structure which might easily lead to misinterpretation, we will use "anonymous" vector spaces instead. Let V be a real vector space of dimension n and V^∗ its dual space. Now consider the direct sumW = V ⊕ V^∗ of these spaces equipped with the following form:

\omega (x\oplus \eta ,y\oplus \xi )=\xi (x)-\eta (y).

Now choose any basis(v₁, ..., v_n) of V and consider its dual basis

\left(v_{1}^{*},\ldots ,v_{n}^{*}\right).

We can interpret the basis vectors as lying in W if we write x_i = (v_i, 0) and y_i = (0, v_i^∗). Taken together, these form a complete basis of W,

(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}).

The form ω defined here can be shown to have the same properties as in the beginning of this section. On the other hand, every symplectic structure is isomorphic to one of the form V ⊕ V^∗. The subspace V is not unique, and a choice of subspace V is called a polarization. The subspaces that give such an isomorphism are called Lagrangian subspaces or simply Lagrangians.

Explicitly, given a Lagrangian subspace as defined below, then a choice of basis (x₁, ..., x_n) defines a dual basis for a complement, by ω(x_i, y_j) = δ_ij.

Analogy with complex structures

Así como toda estructura simpléctica es isomorfa a una de la forma V ⊕ V ^∗ , toda estructura compleja en un espacio vectorial es isomorfa a una de la forma V ⊕ V . Usando estas estructuras, el fibrado tangente de una n -variedad, considerada como una 2 n- variedad, tiene una estructura casi compleja , y el fibrado cotangente de una n- variedad, considerada como una 2 n -variedad, tiene una estructura simpléctica: T _∗ ( T ^∗M ) _p = T _p ( M ) ⊕ ( T _p ( M )) ^∗ .

El análogo complejo de un subespacio lagrangiano es un subespacio real , un subespacio cuya complejización es todo el espacio: W = V ⊕ J V . Como se puede ver en la forma simpléctica estándar anterior, toda forma simpléctica en R ^{2 n} es isomorfa a la parte imaginaria del producto interno complejo (hermítico) estándar en C ⁿ (con la convención de que el primer argumento sea antilineal).

Formato volumétrico

Sea ω una forma bilineal alternada en un espacio vectorial real n -dimensional V , ω ∈ Λ ² ( V ) . Entonces ω es no degenerada si y solo si n es par y ω ^{n /2} = ω ∧ ... ∧ ω es una forma de volumen . Una forma de volumen en un espacio vectorial n -dimensional V es un múltiplo no nulo de la n- forma e ₁^∗ ∧ ... ∧ e _n^∗ donde e ₁ , e ₂ , ..., e _n es una base de V .

Para la base estándar definida en la sección anterior, tenemos

\omega ^{\frac {n}{2}}=(-1)^{\frac {n(n-1)}{8}}x_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge y_{n}^{*}.

Al reordenar, se puede escribir

\omega ^{\frac {n}{2}}=x_{1}^{*}\wedge y_{1}^{*}\wedge \dotsb \wedge x_{n}^{*}\wedge y_{n}^{*}.

Los autores definen de diversas maneras ω ^{n /2} o (−1) ^{n(n-1) /8}ω ^{n /2} como la forma de volumen estándar . También puede aparecer ocasionalmente un factor de n !, dependiendo de si la definición del producto alternado contiene un factor de n ! o no. La forma de volumen define una orientación en el espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) .

Mapa simpléctico

Supongamos que ( V , ω ) y ( W , ρ ) son espacios vectoriales simplécticos. Entonces, una aplicación lineal f : V → W se denomina aplicación simpléctica si su imagen inversa conserva la forma simpléctica, es decir, f ^∗ ρ = ω , donde la forma inversa se define por ( f ^∗ ρ )( u , v ) = ρ ( f ( u ), f ( v )) . Las aplicaciones simplécticas conservan el volumen y la orientación.

Grupo simpléctico

Si V = W , entonces una aplicación simpléctica se llama transformación simpléctica lineal de V. En particular, en este caso se tiene que ω ( f ( u ), f ( v )) = ω ( u , v ) , y por lo tanto la transformación lineal f conserva la forma simpléctica. El conjunto de todas las transformaciones simplécticas forma un grupo y en particular un grupo de Lie , llamado grupo simpléctico y denotado por Sp( V ) o a veces Sp( V , ω ) . En forma matricial, las transformaciones simplécticas vienen dadas por matrices simplécticas .

Subespacios

Sea W un subespacio lineal de V. Definimos el complemento simpléctico de W como el subespacio

W^{\perp }=\{v\in V\mid \omega (v,w)=0{\mbox{ para todo }}w\in W\}.

El complemento simpléctico satisface:

{\begin{aligned}\left(W^{\perp }\right)^{\perp }&=W\\\dim W+\dim W^{\perp }&=\dim V.\end{aligned}}

Sin embargo, a diferencia de los complementos ortogonales , W ^⊥ ∩ W no tiene por qué ser 0. Distinguimos cuatro casos:

W es simpléctico si W ^⊥ ∩ W = {0 }. Esto es cierto si y solo si ω se restringe a una forma no degenerada en W. Un subespacio simpléctico con la forma restringida es un espacio vectorial simpléctico por derecho propio.
W es isotrópico si W ⊆ W ^⊥ . Esto es cierto si y solo si ω se restringe a 0 en W . Cualquier subespacio unidimensional es isotrópico.
W es coisotrópico si W ^⊥ ⊆ W . W es coisotrópico si y solo si ω desciende a una forma no degenerada en el espacio cociente W / W ^⊥ . Equivalentemente, W es coisotrópico si y solo si W ^⊥ es isotrópico. Cualquier subespacio de codimensión -uno es coisotrópico.
W es lagrangiano si W = W ^⊥ . Un subespacio es lagrangiano si y solo si es isótropo y coisótropo. En un espacio vectorial de dimensión finita, un subespacio lagrangiano es un subespacio isótropo cuya dimensión es la mitad de la de V . Todo subespacio isótropo puede extenderse a un subespacio lagrangiano.

Haciendo referencia al espacio vectorial canónico R ^{2 n} anterior,

El subespacio generado por { x ₁ , y ₁ } es simpléctico.
El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ } es isotrópico.
El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y ₁ } es coisotrópico.
El subespacio generado por { x ₁ , x ₂ , ..., x _n } es lagrangiano.

La operación de complemento intercambia subespacios isotrópicos y coisotrópicos de dimensiones complementarias. En particular, cualquier línea se complementa con un hiperplano que la contiene, y luego se complementa de nuevo.

Todos los vectores no nulos son iguales, en el sentido de que cualesquiera dos vectores no nulos están relacionados por una transformación simpléctica lineal de V. Es decir, el único invariante simpléctico de un vector es que sea distinto de cero. De manera similar, dados los vectores $u,v,u',v'$ , si $\omega (u\wedge v)=\omega (u'\wedge v')$ , entonces existe una transformación simpléctica que mapea $(u,v)$ a $(u',v')$ . Es decir, el único invariante simpléctico de un par ordenado de vectores es su área simpléctica. ^{[ 1 ]}

Grupo Heisenberg

Se puede definir un grupo de Heisenberg para cualquier espacio vectorial simpléctico, y esta es la forma típica en que surgen los grupos de Heisenberg .

Un espacio vectorial puede considerarse como un grupo de Lie conmutativo (con adición), o equivalentemente como un álgebra de Lie conmutativa , es decir, con corchete de Lie trivial. El grupo de Heisenberg es una extensión central de dicho grupo/álgebra de Lie conmutativo: la forma simpléctica define la conmutación, de forma análoga a las relaciones de conmutación canónicas (RCC), y una base de Darboux corresponde a coordenadas canónicas ; en términos físicos, a operadores de momento y operadores de posición .

En efecto, según el teorema de Stone-von Neumann , toda representación que satisface la CCR (toda representación del grupo de Heisenberg) es de esta forma, o más propiamente unitariamente conjugada a la estándar.

Además, el álgebra de grupo de (el dual de) un espacio vectorial es el álgebra simétrica , y el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (del dual) es el álgebra de Weyl : se puede pensar en la extensión central como correspondiente a la cuantización o deformación .

Formalmente, el álgebra simétrica de un espacio vectorial V sobre un cuerpo F es el álgebra de grupo del dual, Sym( V ) := F [ V ^∗ ] , y el álgebra de Weyl es el álgebra de grupo del grupo de Heisenberg (dual) W ( V ) = F [ H ( V ^∗ )] . Dado que pasar a álgebras de grupo es un functor contravariante , el mapa de extensión central H ( V ) → V se convierte en una inclusión Sym( V ) → W ( V ) .

Véase también

Una variedad simpléctica es una variedad diferenciable con una forma simpléctica que varía suavemente en cada espacio tangente y que además satisface una condición de integrabilidad local .
Índice de Maslov
Un fibrado simpléctico es un fibrado vectorial dotado de una forma simpléctica que varía suavemente en cada fibra.
Una representación simpléctica es una representación de grupo en la que cada elemento del grupo actúa como una transformación simpléctica.

Referencias

↑ Eslami Rad, Anahita (2024), "Álgebra lineal simpléctica" , en Eslami Rad, Anahita (ed.), Geometría simpléctica y de contacto: una introducción concisa , Cham: Springer Nature Switzerland, pp. 1–38 , doi : 10.1007/978-3-031-56225-9_1 , ISBN 978-3-031-56225-9

Claude Godbillon (1969) "Géométrie différentielle et mécanique analytique", Hermann
Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). «Sistemas hamiltonianos y lagrangianos». Fundamentos de mecánica (2.ª ed.). Londres: Benjamin-Cummings. pp. 161–252 . ISBN 0-8053-0102-X.PDF
Paulette Libermann y Charles-Michel Marle (1987) "Geometría simpléctica y mecánica analítica", D. Reidel
Jean-Marie Souriau (1997) "Estructura de los sistemas dinámicos, una visión simpléctica de la física", Springer

[1] Eslami Rad, Anahita (2024), "Álgebra lineal simpléctica" , en Eslami Rad, Anahita (ed.), Geometría simpléctica y de contacto: una introducción concisa , Cham: Springer Nature Switzerland, pp. 1–38 , doi : 10.1007/978-3-031-56225-9_1 , ISBN 978-3-031-56225-9

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