Representación simpléctica

En el campo matemático de la teoría de la representación , una representación simpléctica es una representación de un grupo o un álgebra de Lie en un espacio vectorial simpléctico ( V , ω ) que preserva la forma simpléctica ω . Aquí ω es una forma bilineal antisimétrica no degenerada.

${\displaystyle \omega \colon V\times V\to \mathbb {F} }$

donde F es el cuerpo de escalares. Una representación de un grupo G preserva ω si

${\displaystyle \omega (g\cdot v,g\cdot w)=\omega (v,w)}$

para todo g en G y v , w en V , mientras que una representación de un álgebra de Lie g preserva ω si

${\displaystyle \omega (\xi \cdot v,w)+\omega (v,\xi \cdot w)=0}$

para todo ξ en g y v , w en V. Por lo tanto, una representación de G o g es equivalentemente un homomorfismo de grupo o álgebra de Lie de G o g al grupo simpléctico Sp( V , ω ) o su álgebra de Lie sp ( V , ω ).

Si G es un grupo compacto (por ejemplo, un grupo finito ) y F es el cuerpo de los números complejos, entonces, al introducir una estructura unitaria compatible (que existe mediante un argumento de promediación), se puede demostrar que cualquier representación simpléctica compleja es una representación cuaterniónica . Las representaciones cuaterniónicas de grupos finitos o compactos se denominan a menudo representaciones simplécticas y pueden identificarse mediante el indicador de Frobenius-Schur .

• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol.  129. Nueva York: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  .