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Articulo de referencia

Matriz simpléctica

En matemáticas, una matriz simpléctica es una 2 norte × 2 norte {\displaystyle 2n\times 2n} matriz METRO {\displaystyle M} con entradas reales que satisfagan la condición M^\\te...

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En matemáticas, una matriz simpléctica es una2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}matrizMETRO{\displaystyle M}con entradas reales que satisfagan la condición

dóndeMETROT{\displaystyle M^{\text{T}}}denota la transpuesta deMETRO{\displaystyle M}yΩ{\displaystyle \Omega }es fijo2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}matriz no singular y antisimétrica . Esta definición puede extenderse a2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}matrices con entradas en otros campos , como los números complejos , los campos finitos , los números p -ádicos y los campos de funciones .

TípicamenteΩ{\displaystyle \Omega }se elige como matriz de bloquesΩ=[0Inorte−Inorte0],{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\\\end{bmatrix}},} dóndeInorte{\displaystyle I_{n}}es elnorte×norte{\displaystyle n\times n}matriz identidad . La matrizΩ{\displaystyle \Omega }tiene determinante+1{\displaystyle +1}y su inversa esΩ−1=ΩT=−Ω{\displaystyle \Omega ^{-1}=\Omega ^{\text{T}}=-\Omega }.

Propiedades

Generadores para matrices simplécticas

Cada matriz simpléctica tiene determinante+1{\displaystyle +1}y el2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}Las matrices simplécticas con entradas reales forman un subgrupo del grupo lineal general.GRAMOL(2norte;R){\displaystyle \mathrm {GL} (2n;\mathbb {R} )}bajo la multiplicación de matrices, ya que ser simpléctico es una propiedad estable bajo la multiplicación de matrices. Topológicamente , este grupo simpléctico es un grupo de Lie real no compacto conexo de dimensión real.norte(2norte+1){\displaystyle n(2n+1)}y se denotaSpag(2norte;R){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}. El grupo simpléctico se puede definir como el conjunto de transformaciones lineales que preservan la forma simpléctica de un espacio vectorial simpléctico real .

Este grupo simpléctico posee un conjunto distinguido de generadores , que pueden utilizarse para hallar todas las matrices simplécticas posibles. Esto incluye los siguientes conjuntos: D(norte)={(A00(AT)−1):A∈GL(norte;R)}norte(norte)={(InorteB0Inorte):B∈Sim(norte;R)}{\displaystyle {\begin{aligned}D(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}A&0\\0&(A^{T})^{-1}\end{pmatrix}}:A\in {\text{GL}}(n;\mathbb {R} )\right\}\\N(n)=&\left\{{\begin{pmatrix}I_{n}&B\\0&I_{n}\end{pmatrix}}:B\in {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )\right\}\end{aligned}}} dóndeSim(norte;R){\displaystyle {\text{Sym}}(n;\mathbb {R} )}es el conjunto denorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices simétricas . Entonces,Spag(2norte;R){\displaystyle \mathrm {Sp} (2n;\mathbb {R} )}se genera mediante el conjunto [ 1 ] p. 2{Ω}∪D(norte)∪norte(norte){\displaystyle \{\Omega \}\cup D(n)\cup N(n)} de matrices. En otras palabras, cualquier matriz simpléctica puede construirse multiplicando matrices enD(norte){\displaystyle D(n)}ynorte(norte){\displaystyle N(n)}juntos, junto con algo de poder deΩ{\displaystyle \Omega }.

Matriz inversa

Toda matriz simpléctica es invertible con la matriz inversa dada por METRO−1=Ω−1METROTΩ.{\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega .} Además, el producto de dos matrices simplécticas es, de nuevo, una matriz simpléctica. Esto confiere al conjunto de todas las matrices simplécticas la estructura de un grupo . Existe una estructura de variedad natural en este grupo que lo convierte en un grupo de Lie (real o complejo) denominado grupo simpléctico .

Propiedades determinantes

De la definición se deduce fácilmente que el determinante de cualquier matriz simpléctica es ±1. En realidad, resulta que el determinante siempre es +1 para cualquier cuerpo. Una forma de verlo es mediante el uso del pfaffiano y la identidad. Pf(METROTΩMETRO)=det(METRO)Pf(Ω).{\displaystyle {\mbox{Pf}}(M^{\text{T}}\Omega M)=\det(M){\mbox{Pf}}(\Omega ).} DesdeMETROTΩMETRO=Ω{\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }yPf(Ω)≠0{\displaystyle {\mbox{Pf}}(\Omega )\neq 0}tenemos esodet(METRO)=1{\displaystyle \det(M)=1}.

Cuando el campo subyacente es real o complejo, también se puede demostrar esto factorizando la desigualdad.det(METROTMETRO+I)≥1{\displaystyle \det(M^{\text{T}}M+I)\geq 1}. [ 2 ]

Forma de bloques de matrices simplécticas

Supongamos que Ω se da en la forma estándar y seaMETRO{\displaystyle M}ser un2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}matriz de bloques dada por METRO=(ABdoD){\displaystyle M={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}

dóndeA,B,do,D{\displaystyle A,B,C,D}sonnorte×norte{\displaystyle n\times n}matrices. La condición paraMETRO{\displaystyle M}Ser simpléctico es equivalente a las dos siguientes condiciones equivalentes [ 3 ].

ATdo,BTD{\displaystyle A^{\text{T}}C,B^{\text{T}}D}simétrico yATD−doTB=I{\displaystyle A^{\text{T}}DC^{\text{T}}B=I}

ABT,doDT{\displaystyle AB^{\text{T}},CD^{\text{T}}}simétrico yADT−BdoT=I{\displaystyle AD^{\text{T}}-BC^{\text{T}}=I}

La segunda condición proviene del hecho de que siMETRO{\displaystyle M}es simpléctico, entoncesMETROT{\displaystyle M^{T}}También es simpléctico. Cuandonorte=1{\displaystyle n=1}Estas condiciones se reducen a una sola condición.det(METRO)=1{\displaystyle \det(M)=1}. Por lo tanto, un2×2{\displaystyle 2\times 2}Una matriz es simpléctica si y solo si tiene determinante unitario.

Matriz inversa de una matriz de bloques

ConΩ{\displaystyle \Omega }en forma estándar, el inverso deMETRO{\displaystyle M}es dado por METRO−1=Ω−1METROTΩ=(DT−BT−doTAT).{\displaystyle M^{-1}=\Omega ^{-1}M^{\text{T}}\Omega ={\begin{pmatrix}D^{\text{T}}&-B^{\text{T}}\\-C^{\text{T}}&A^{\text{T}}\end{pmatrix}}.} El grupo tiene dimensiónnorte(2norte+1){\displaystyle n(2n+1)}Esto se puede observar al notar que(METROTΩMETRO)T=−METROTΩMETRO{\displaystyle (M^{\text{T}}\Omega M)^{\text{T}}=-M^{\text{T}}\Omega M}es antisimétrica. Dado que el espacio de matrices antisimétricas tiene dimensión(2norte2),{\textstyle {\binom {2n}{2}},}la identidadMETROTΩMETRO=Ω{\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega }impone(2norte2){\textstyle 2n \choose 2}restricciones en el(2norte)2{\displaystyle (2n)^{2}}coeficientes deMETRO{\displaystyle M}y hojasMETRO{\displaystyle M}connorte(2norte+1){\displaystyle n(2n+1)}coeficientes independientes.

transformaciones simplécticas

En la formulación abstracta del álgebra lineal , las matrices se reemplazan por transformaciones lineales de espacios vectoriales de dimensión finita . El análogo abstracto de una matriz simpléctica es una transformación simpléctica de un espacio vectorial simpléctico . En resumen, un espacio vectorial simpléctico(V,ω){\displaystyle (V,\omega )}es un2norte{\displaystyle 2n}espacio vectorial de dimensiónV{\displaystyle V}equipada con una forma bilineal antisimétrica no degeneradaω{\displaystyle \omega }llamada forma simpléctica .

Una transformación simpléctica es entonces una transformación lineal.L:V→V{\displaystyle L:V\to V}que conservaω{\displaystyle \omega }, es decir ω(Ltú,Lv)=ω(tú,v).{\displaystyle \omega (Lu,Lv)=\omega (u,v).} Establecer una base paraV{\displaystyle V},ω{\displaystyle \omega }se puede escribir como una matrizΩ{\displaystyle \Omega }yL{\displaystyle L}como una matrizMETRO{\displaystyle M}. La condición de queL{\displaystyle L}Que M sea una transformación simpléctica es precisamente la condición de que M sea una matriz simpléctica: METROTΩMETRO=Ω.{\displaystyle M^{\text{T}}\Omega M=\Omega .}

Bajo un cambio de base , representado por una matriz A , tenemos Ω↦ATΩA{\displaystyle \Omega \mapsto A^{\text{T}}\Omega A}METRO↦A−1METROA.{\displaystyle M\mapsto A^{-1}MA.} Siempre se puede traerΩ{\displaystyle \Omega }ya sea a la forma estándar dada en la introducción o a la forma diagonal por bloques descrita a continuación mediante una elección adecuada de A.

La matriz Ω

Las matrices simplécticas se definen en relación con una matriz antisimétrica fija no singular .Ω{\displaystyle \Omega }. Como se explicó en la sección anterior,Ω{\displaystyle \Omega }puede considerarse como la representación de coordenadas de una forma bilineal antisimétrica no degenerada . Es un resultado básico en álgebra lineal que cualesquiera dos matrices de este tipo difieren entre sí por un cambio de base .

La alternativa más común al estándarΩ{\displaystyle \Omega }Lo que se muestra arriba es la forma diagonal de bloques.Ω=[01−100⋱001−10].{\displaystyle \Omega ={\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}&&0\\&\ddots &\\0&&{\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}}\end{bmatrix}}.} Esta elección difiere de la anterior por una permutación de los vectores base .

A veces la notaciónJ{\displaystyle J}se utiliza en lugar deΩ{\displaystyle \Omega }para la matriz antisimétrica. Esta es una elección particularmente desafortunada, ya que conduce a confusión con la noción de una estructura compleja , que a menudo tiene la misma expresión de coordenadas queΩ{\displaystyle \Omega }pero representa una estructura muy diferente. Una estructura compleja.J{\displaystyle J}es la representación de coordenadas de una transformación lineal que se eleva al cuadrado a−Inorte{\displaystyle -I_{n}}, mientrasΩ{\displaystyle \Omega }es la representación de coordenadas de una forma bilineal antisimétrica no degenerada. Se podrían elegir fácilmente bases en las queJ{\displaystyle J}no es asimétrico oΩ{\displaystyle \Omega }no cuadra−Inorte{\displaystyle -I_{n}}.

Dada una estructura hermitiana en un espacio vectorial,J{\displaystyle J}yΩ{\displaystyle \Omega }están relacionados a través de Ωab=−gramoadoJdob{\displaystyle \Omega _{ab}=-g_{ac}{J^{c}}_{b}} dóndegramoado{\displaystyle g_{ac}}es la métrica . EsoJ{\displaystyle J}yΩ{\displaystyle \Omega }El hecho de que normalmente tengan la misma expresión de coordenadas (salvo un signo global) es simplemente una consecuencia del hecho de que la métrica g suele ser la matriz identidad.

Diagonalización y descomposición

  • Para cualquier simetría definida positiva2norte×2norte{\displaystyle 2n\times 2n}matriz simpléctica realS{\displaystyle S}, hay una unidad simplécticaU{\displaystyle U},U∈U(2norte,R)∩Sp⁡(2norte,R)=O(2norte)∩Sp⁡(2norte,R),{\displaystyle U\in \mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} ),}de tal manera queS=UTDUparaD=diagnóstico⁡(λ1,…,λnorte,λ1−1,…,λnorte−1),{\displaystyle S=U^{\text{T}}DU\quad {\text{for}}\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n},\lambda _{1}^{-1},\ldots ,\lambda _{n}^{-1}),}donde los elementos diagonales deD{\displaystyle D}son los valores propios deS{\displaystyle S}. [ 4 ] [ 5 ]
  • Cualquier matriz simpléctica real S tiene una descomposición polar de la forma: [ 4 ]S=UR,{\displaystyle S=UR,}dóndeU∈Sp⁡(2norte,R)∩U⁡(2norte,R),{\displaystyle U\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {U} (2n,\mathbb {R} ),}yR∈Sp⁡(2norte,R)∩Sim+⁡(2norte,R).{\displaystyle R\in \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sym} _{+}(2n,\mathbb {R} ).}
  • Cualquier matriz simpléctica real puede descomponerse como un producto de tres matrices:S=O(D00D−1)O′,{\displaystyle S=O{\begin{pmatrix}D&0\\0&D^{-1}\end{pmatrix}}O',}dóndeO{\displaystyle O}yO′{\displaystyle O'}son tanto simplécticos como ortogonales , yD{\displaystyle D}es definida positiva y diagonal . [ 6 ] Esta descomposición está estrechamente relacionada con la descomposición en valores singulares de una matriz y se conoce como descomposición de 'Euler' o 'Bloch-Messiah'.
  • El conjunto de matrices simplécticas ortogonales forma un subgrupo compacto (máximo) del grupo simpléctico. [ 7 ] Este conjunto es isomorfo al conjunto de matrices unitarias de dimensiónnorte{\displaystyle n},U(2norte,R)∩Sp⁡(2norte,R)=O(2norte)∩Sp⁡(2norte,R)≅U(norte,do){\displaystyle \mathrm {U} (2n,\mathbb {R} )\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )=\mathrm {O} (2n)\cap \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {R} )\cong \mathrm {U} (n,\mathbb {C} )}. Toda matriz ortogonal simpléctica puede escribirse como

    conV∈U(norte,do){\displaystyle V\in \mathrm {U} (n,\mathbb {C} )}.

    Esta ecuación implica que toda matriz ortogonal simpléctica tiene un determinante igual a +1 y, por lo tanto, que esto es cierto para todas las matrices simplécticas, ya que su descomposición polar se da en términos de matrices simplécticas.

Matrices complejas

Si en cambio M es una matriz de 2 n × 2 n con entradas complejas , la definición no es estándar en toda la literatura. Muchos autores [ 8 ] ajustan la definición anterior a

donde M * denota la transpuesta conjugada de M. En este caso, el determinante puede no ser 1, pero tendrá valor absoluto 1. En el caso de 2×2 ( n = 1), M será el producto de una matriz simpléctica real y un número complejo de valor absoluto 1.

Otros autores [ 9 ] conservan la definición ( 1 ) para matrices complejas y llaman matrices que satisfacen ( 3 ) simplécticas conjugadas .

Aplicaciones

Las transformaciones descritas por matrices simplécticas desempeñan un papel importante en la óptica cuántica y en la teoría de la información cuántica de variables continuas . Por ejemplo, las matrices simplécticas pueden utilizarse para describir transformaciones gaussianas (de Bogoliubov) de un estado cuántico de luz. [ 10 ] A su vez, la descomposición de Bloch-Messiah ( 2 ) implica que una transformación gaussiana arbitraria puede representarse como un conjunto de dos interferómetros ópticos lineales pasivos (correspondientes a las matrices ortogonales O y O' ) interrumpidos por una capa de transformaciones de compresión no lineales activas (dadas en términos de la matriz D ). [ 11 ] De hecho, se puede evitar la necesidad de dichas transformaciones de compresión activas en línea si solo se dispone de estados de vacío comprimidos de dos modos como recurso previo. [ 12 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Folland, GB (1989). Análisis armónico en el espacio de fases . Princeton University Press. pp.  173 y ss. ISBN 0-691-08527-7.
  2. ↑ Rim, Donsub (2017). "Una prueba elemental de que las matrices simplécticas tienen determinante uno". Adv. Dyn. Syst. Appl . 12 (1): 15– 20. arXiv : 1505.04240 . doi : 10.37622/ADSA/12.1.2017.15-20 . S2CID 119595767 . 
  3. ↑ de Gosson, Maurice. "Introducción a la mecánica simpléctica: Lecciones I-II-III" (PDF) .
  4. 1 2 de Gosson, Maurice A. (2011). Métodos simplécticos en análisis armónico y en física matemática - Springer . doi : 10.1007/978-3-7643-9992-4 . ISBN 978-3-7643-9991-7.
  5. ↑ Houde, Martin; McCutcheon, Will; Quesada, Nicolás (13 de marzo de 2024). "Descomposiciones matriciales en óptica cuántica: Takagi/Autonne, Bloch–Messiah/Euler, Iwasawa y Williamson". Canadian Journal of Physics . 102 (10). Sec. V, p. 5. arXiv : 2403.04596 . Bibcode : 2024CaJPh.102..497H . doi : 10.1139/cjp-2024-0070 .
  6. ↑ Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; Paris, Matteo GA (31 de marzo de 2005). "Estados gaussianos en información cuántica de variable continua". Sec. 1.3, p. 4. arXiv : quant-ph/0503237 .
  7. ↑ Serafini, Alessio (2023). Variables continuas cuánticas . doi : 10.1201/9781003250975 . ISBN 978-1-003-25097-5.
  8. ↑ Xu, HG (15 de julio de 2003). "Una descomposición matricial tipo SVD y sus aplicaciones". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 368 : 1–24 . doi : 10.1016/S0024-3795(03)00370-7 . hdl : 1808/374 .
  9. ↑ Mackey, DS; Mackey, N. (2003). Sobre el determinante de matrices simplécticas (Informe de análisis numérico 422). Manchester, Inglaterra: Centro de Matemáticas Computacionales de Manchester.
  10. ↑ Weedbrook, Christian; Pirandola, Stefano; García-Patrón, Raúl; Cerf, Nicolas J.; Ralph, Timothy C.; Shapiro, Jeffrey H.; Lloyd, Seth (2012). "Información cuántica gaussiana". Reviews of Modern Physics . 84 (2): 621– 669. arXiv : 1110.3234 . Bibcode : 2012RvMP...84..621W . doi : 10.1103/RevModPhys.84.621 . S2CID 119250535 . 
  11. ↑ Braunstein, Samuel L. (2005). "Squeezing as an irreducible resource". Physical Review A . 71 (5) 055801. arXiv : quant-ph/9904002 . Bibcode : 2005PhRvA..71e5801B . doi : 10.1103/PhysRevA.71.055801 . S2CID 16714223 . 
  12. ↑ Chakhmakhchyan, Levon; Cerf, Nicolas (2018). "Simulación de circuitos gaussianos arbitrarios con óptica lineal". Physical Review A . 98 (6) 062314. arXiv : 1803.11534 . Bibcode : 2018PhRvA..98f2314C . doi : 10.1103/PhysRevA.98.062314 . S2CID 119227039 .