matriz hamiltoniana

En matemáticas , una matriz hamiltoniana es una matriz A de 2n x 2n tal que JA es simétrica , donde J es la matriz antisimétrica .$${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0_{n}&I_{n}\\-I_{n}&0_{n}\end{bmatrix}}}$$ y I _n es la matriz identidad n- ×- n . En otras palabras, A es hamiltoniano si y solo si ( JA ) ^T = JA donde ( ) ^T denota la transpuesta . ^{[ 1 ]} La colección de todas las matrices hamiltonianas forma un álgebra de Lie (el álgebra de Lie simpléctica ); su grupo de Lie asociado es el grupo simpléctico , cuyos elementos son las matrices simplécticas .

Supongamos que la matriz A de 2 n por 2 n se escribe como la matriz de bloques

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}$

donde a , b , c y d son matrices de n × n . Entonces, la condición de que A sea hamiltoniano es equivalente a exigir que las matrices b y c sean simétricas y que a + d ^T = 0. [ ^{1 ] [ 2 ] Otra} condición equivalente es que A sea de la forma A = JS con S simétrica. ^{[ 2 ] : 34}

De la definición se deduce fácilmente que la transpuesta de una matriz hamiltoniana es hamiltoniana. Además, la suma (y cualquier combinación lineal ) de dos matrices hamiltonianas también es hamiltoniana, al igual que su conmutador . De ello se deduce que el espacio de todas las matrices hamiltonianas es un álgebra de Lie , denotada sp(2 n ) . La dimensión de sp(2 n ) es 2 n ² + n . El grupo de Lie correspondiente es el grupo simpléctico Sp(2 n ) . Este grupo consta de las matrices simplécticas , aquellas matrices A que satisfacen A ^T JA = J . Por lo tanto, la exponencial matricial de una matriz hamiltoniana es simpléctica. Sin embargo, el logaritmo de una matriz simpléctica no es necesariamente hamiltoniano porque la aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo no es sobreyectiva. ^{[ 2 ] : 34–36 [ 3 ]}

El polinomio característico de una matriz hamiltoniana real es par . Por lo tanto, si una matriz hamiltoniana tiene λ como valor propio , entonces −λ , λ ^* y −λ ^* también son valores propios. ^{[ 2 ] : 45} De ello se deduce que la traza de una matriz hamiltoniana es cero.

El cuadrado de una matriz hamiltoniana es antihamiltoniana (una matriz A es antihamiltoniana si ( JA ) ^T = − JA ). Recíprocamente, toda matriz antihamiltoniana surge como el cuadrado de una matriz hamiltoniana. ^{[ 4 ]}

En cuanto a las matrices simplécticas, la definición de matrices hamiltonianas puede extenderse a matrices complejas de dos maneras. Una posibilidad es decir que una matriz A es hamiltoniana si ( JA ) ^T = JA , como se indicó anteriormente. ^{[ 1 ] [ 4 ]} Otra posibilidad es usar la condición ( JA ) ^* = JA donde el superíndice asterisco ( (⋅) ^* ) denota la transpuesta conjugada . ^{[ 5 ]}

Sea V un espacio vectorial, dotado de una forma simpléctica Ω . Una aplicación lineal${\displaystyle A:\;V\mapsto V}$se denomina operador hamiltoniano con respecto a Ω si la forma ${\displaystyle x,y\mapsto \Omega (A(x),y)}$es simétrico. Equivalentemente, debe satisfacer

${\displaystyle \Omega (A(x),y)=-\Omega (x,A(y))}$

Elija una base e ₁ , …, e _{2 n} en V , tal que Ω se escriba como${\textstyle \sum _{i}e_{i}\wedge e_{n+i}}$Un operador lineal es hamiltoniano con respecto a Ω si y solo si su matriz en esta base es hamiltoniana. ^{[ 4 ]}