Operador de posición

En mecánica cuántica , el operador de posición es el operador que corresponde a la observable de posición de una partícula .

Cuando se considera el operador de posición con un dominio suficientemente amplio (por ejemplo, el espacio de distribuciones temperadas ), sus valores propios son los posibles vectores de posición de la partícula. ^{[ 1 ]}

En una dimensión, si por el símbolo denotamos el vector propio unitario del operador de posición correspondiente al valor propio , entonces, representa el estado de la partícula en el que sabemos con certeza que la partícula misma se encuentra en la posición . $${\displaystyle |x\rangle }$$${\displaystyle x}$${\displaystyle |x\rangle }$${\displaystyle x}$

Por lo tanto, denotando el operador de posición con el símbolo podemos escribir para cada posición real . ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle ,}$$${\displaystyle x}$

Una posible realización del estado unitario con posición es la distribución delta de Dirac (función) centrada en la posición , a menudo denotada por . ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \delta _{x}}$

En mecánica cuántica, la familia ordenada (continua) de todas las distribuciones de Dirac, es decir, la familia, se denomina base de posición (unitaria), simplemente porque es una base propia (unitaria) del operador de posición en el espacio de distribuciones temperadas . $${\displaystyle \delta =(\delta _{x})_{x\in \mathbb {R} },}$$${\displaystyle X}$

Es fundamental observar que existe un único operador lineal continuo en el espacio de distribuciones temperadas en sí mismo, tal que para cada punto real . Es posible demostrar que el operador único está necesariamente definido por para cada distribución temperada , donde denota la función de coordenadas de la línea de posición – definida como la inclusión de la línea real en el plano complejo, es decir ${\displaystyle X}$$${\displaystyle X(\delta _{x})=x\delta _{x},}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle X(\psi )=\mathrm {x} \psi ,}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathrm {x} }$$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x.}$$

Consideremos la representación del estado cuántico de una partícula en un instante determinado mediante una función de onda de cuadrado integrable . Por ahora, supongamos una dimensión espacial (es decir, la partícula "confinada" a una línea recta). Si la función de onda está normalizada , entonces el módulo al cuadrado representa la densidad de probabilidad de encontrar la partícula en alguna posición de la recta real, en un instante determinado. Es decir, si entonces la probabilidad de encontrar la partícula en el rango de posiciones es ${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle |\psi |^{2}=\psi ^{*}\psi ,}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle \|\psi \|^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }|\psi |^{2}d\mathrm {x} =1,}$$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \pi _{X}(\psi )([a,b])=\int _{a}^{b}|\psi |^{2}d\mathrm {x} .}$$

Por lo tanto, el valor esperado de una medición de la posición de la partícula es donde es la función de coordenadas que es simplemente la incrustación canónica de la línea de posición en el plano complejo. ${\displaystyle X}$$${\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} |\psi |^{2}d\mathrm {x} =\int _{\mathbb {R} }\psi ^{*}(\mathrm {x} \psi )\,d\mathrm {x} =\langle \psi |X(\psi )\rangle ,}$$${\displaystyle \mathrm {x} }$$${\displaystyle \mathrm {x} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} :x\mapsto x,}$$

Estrictamente hablando, la posición observable puede definirse punto por punto como para cada función de onda y para cada punto de la recta real. En el caso de clases de equivalencia, la definición se lee directamente como sigue: Es decir, el operador de posición multiplica cualquier función de onda por la función de coordenadas . ${\displaystyle X={\hat {\mathrm {x} }}}$$${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)(x)=x\psi (x),}$$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \psi \en L^{2}}$$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi =\mathrm {x} \psi ,\quad \forall \psi \in L^{2}.}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathrm {x} }$

La generalización a tres dimensiones es sencilla.

La función de onda espacio-temporal es ahora y el valor esperado del operador de posición en el estado es donde la integral se toma sobre todo el espacio. El operador de posición es ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$${\displaystyle \psi }$$${\displaystyle \left\langle {\hat {\mathbf {r} }}\right\rangle _{\psi }=\int \mathbf {r} |\psi |^{2}d^{3}\mathbf {r} }$$$${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \psi =\mathbf {r} \psi .}$$

En la definición anterior, que se refiere al caso de una partícula confinada sobre una línea, el lector atento podrá observar que no existe una especificación clara del dominio y el codominio para el operador de posición. En la literatura, encontramos, de forma más o menos explícita, tres enfoques principales para abordar este problema.

1. El operador de posición se define en el subespacio formado por aquellas clases de equivalencia cuyo producto por la incrustación vive en el espacio . En este caso, el operador de posición revela que no es continuo (no está acotado con respecto a la topología inducida por el producto escalar canónico de ), sin autovectores, sin autovalores y, en consecuencia, con un espectro de puntos vacío .${\displaystyle D_{X}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle X:D_{X}\subset L^{2}\to L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle L^{2}}$
2. El operador de posición se define en el espacio de Schwartz (es decir, el espacio nuclear de todas las funciones complejas suaves definidas en la recta real cuyas derivadas son rápidamente decrecientes). En este caso, el operador de posición revela ser continuo (con respecto a la topología canónica de ), inyectivo, sin autovectores, sin autovalores y, por consiguiente, con espectro de puntos vacío. Es (completamente) autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que${\displaystyle {\mathcal {S}}}$$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}\subset L^{2}\to {\mathcal {S}}\subset L^{2}:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle \langle X(\psi )|\phi \rangle =\langle \psi |X(\phi )\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$
3. El operador de posición se define en el espacio dual de (es decir, el espacio nuclear de distribuciones temperadas ). Como es un subespacio de , el producto de una distribución temperada por la incrustación siempre vive en . En este caso, el operador de posición revela continuo (con respecto a la topología canónica de ), sobreyectivo, dotado de familias completas de autovectores generalizados y autovalores generalizados reales. Es autoadjunto con respecto al producto escalar de en el sentido de que su operador transpuesto es autoadjunto, es decir${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$$${\displaystyle X:{\mathcal {S}}^{\times }\to {\mathcal {S}}^{\times }:\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$${\displaystyle {\mathcal {S}}^{\times }}$${\displaystyle L^{2}}$$${\displaystyle {}^{t}X:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}:\phi \mapsto \mathrm {x} \phi ,}$$$${\displaystyle \left\langle \left.\,{}^{t}X(\phi )\right|\psi \right\rangle =\left\langle \phi |\,{}^{t}X(\psi )\right\rangle ,\quad \forall \psi ,\phi \in {\mathcal {S}}.}$$

El último caso es, en la práctica, la opción más adoptada en la literatura de mecánica cuántica, aunque nunca se subraya explícitamente. Aborda la posible ausencia de autovectores extendiendo el espacio de Hilbert a un espacio de Hilbert con restricciones : ^{[ 2 ]} proporcionando así una noción matemáticamente rigurosa de autovectores y autovalores. ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}\subset {\mathcal {S}}^{\times },}$$

Las autofunciones del operador de posición (en el espacio de distribuciones temperadas), representadas en el espacio de posición , son funciones delta de Dirac .

Prueba informal. Para demostrar que los posibles autovectores del operador de posición deben ser necesariamente distribuciones delta de Dirac, supongamos quees un autoestado del operador de posición con autovalor. Escribimos la ecuación de autovalor en coordenadas de posición, recordando quesimplemente multiplica las funciones de onda por la función, en la representación de posición. Dado que la funciónes variable mientrasque es una constante,debe ser cero en todas partes excepto en el punto. Claramente, ninguna función continua satisface tales propiedades, y no podemos simplemente definir la función de onda como un número complejo en ese punto porque sunorma sería 0 y no 1. Esto sugiere la necesidad de un "objeto funcional" concentrado en el puntoy con integral diferente de 0: cualquier múltiplo de la delta de Dirac centrado en. La solución normalizada de la ecuación es o mejor tal que De hecho, recordando que el producto de cualquier función por la distribución de Dirac centrada en un punto es el valor de la función en ese punto multiplicado por la propia distribución de Dirac, obtenemos inmediatamente Aunque tales estados de Dirac son físicamente irrealizables y, estrictamente hablando, no son funciones, la distribución de Dirac centrada enpuede pensarse como un "estado ideal" cuya posición se conoce exactamente (cualquier medición de la posición siempre devuelve el valor propio). Por lo tanto, por el principio de incertidumbre , no se sabe nada sobre el momento de tal estado. ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle {\hat {\mathrm {x} }}\psi (x)=\mathrm {x} \psi (x)=x_{0}\psi (x)}$$${\displaystyle {\sombrero {\mathrm {x} }}}$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle \mathrm {x} }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$$${\displaystyle \mathrm {x} \psi =x_{0}\psi }$$$${\displaystyle \psi (x)=\delta (x-x_{0}),}$$$${\displaystyle \psi =\delta _{x_{0}},}$$$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$$${\displaystyle \mathrm {x} \delta _{x_{0}}=\mathrm {x} (x_{0})\delta _{x_{0}}=x_{0}\delta _{x_{0}}.}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

Generalmente, en mecánica cuántica, por representación en el espacio de momentos nos referimos a la representación de estados y observables con respecto a la base unitaria canónica de momentos. $${\displaystyle \eta =\left(\left[(2\pi \hbar )^{-{\frac {1}{2}}}e^{(\iota /\hbar )(\mathrm {x} |p)}\right]\right)_{p\in \mathbb {R} }.}$$

En el espacio de momentos , el operador de posición en una dimensión está representado por el siguiente operador diferencial. $${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}=i\hbar {\frac {d}{d\mathrm {p} }}=i{\frac {d}{d\mathrm {k} }},}$$

dónde:

• la representación del operador de posición en la base de momento se define naturalmente por , para cada función de onda (distribución templada) ;${\displaystyle \left({\hat {\mathrm {x} }}\right)_{P}(\psi )_{P}=\left({\hat {\mathrm {x} }}\psi \right)_{P}}$${\displaystyle \psi }$
• ${\displaystyle \mathrm {p} }$representa la función de coordenadas en la línea de momento y la función de vector de onda se define por .${\displaystyle \mathrm {k} }$${\displaystyle \mathrm {k} =\mathrm {p} /\hbar }$

Consideremos el caso de una partícula sin espín que se mueve en una dimensión espacial. El espacio de estados para dicha partícula contiene ; el espacio de Hilbert de funciones de valor complejo , de cuadrado integrable, en la recta real . ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

El operador de posición se define como el operador autoadjunto con dominio de definición y función de coordenadas que envía cada punto a sí mismo, de tal manera que ^{[ 4 ] [ 5 ]} para cada punto definido y . $${\displaystyle Q:D_{Q}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {q} \psi ,}$$$${\displaystyle D_{Q}=\left\{\psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\mid \mathrm {q} \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )\right\},}$$${\displaystyle \mathrm {q} :\mathbb {R} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$$${\displaystyle Q(\psi )(x)=x\psi (x)=\mathrm {q} (x)\psi (x),}$$${\displaystyle \psi \in D_{Q}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

Inmediatamente a partir de la definición podemos deducir que el espectro consiste en toda la línea real y que tiene un espectro estrictamente continuo , es decir, ningún conjunto discreto de valores propios. ${\displaystyle Q}$

El caso tridimensional se define de forma análoga. Mantendremos la suposición unidimensional en la siguiente discusión.

Como con cualquier observable de la mecánica cuántica , para hablar de la medición de la posición , necesitamos calcular la resolución espectral del operador de posición, que es donde es la llamada medida espectral del operador de posición. $${\displaystyle X:D_{X}\to L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} ):\psi \mapsto \mathrm {x} \psi }$$$${\displaystyle X=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,d\mu _{X}(\lambda )=\int _{\mathbb {R} }\mathrm {x} \,\mu _{X}=\mu _{X}(\mathrm {x} ),}$$${\displaystyle \mu _{X}}$

Sea la función indicadora para un subconjunto de Borel de . Entonces la medida espectral viene dada por , es decir, como la multiplicación por la función indicadora de . ${\displaystyle \chi _{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \psi \mapsto \mu _{X}(B)(\psi )=\chi _{B}\psi ,}$$${\displaystyle B}$

Por lo tanto, si el sistema se prepara en un estado , entonces la probabilidad de que la posición medida de la partícula pertenezca a un conjunto de Borel es donde es la medida de Lebesgue en la línea real. ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle B}$$${\displaystyle \|\mu _{X}(B)(\psi )\|^{2}=\|\chi _{B}\psi \|^{2}=\int _{B}|\psi |^{2}\ \mu =\pi _{X}(\psi )(B),}$$${\displaystyle \mu }$

Después de cualquier medición destinada a detectar la partícula dentro del subconjunto B, la función de onda colapsa a o , donde es la norma del espacio de Hilbert en . $${\displaystyle {\frac {\mu _{X}(B)\psi }{\|\mu _{X}(B)\psi \|}}={\frac {\chi _{B}\psi }{\|\chi _{B}\psi \|}}}$$$${\displaystyle {\frac {(1-\chi _{B})\psi }{\|(1-\chi _{B})\psi \|}},}$$${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ,\mathbb {C} )}$

• Espacio de posición y momento
• operador de momento
• Operador de traslación (mecánica cuántica)

• de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje de espacio de Hilbert con rigged (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.