Cuadrado (álgebra)

En matemáticas , un cuadrado es el resultado de multiplicar un número por sí mismo. El verbo "elevar al cuadrado" se usa para denotar esta operación. Elevar al cuadrado es lo mismo que elevar a la potencia 2 y se denota con un superíndice 2; por ejemplo, el cuadrado de 3 se puede escribir como 3² ^, que es el número 9. En algunos casos en los que no se pueden usar superíndices, como por ejemplo en lenguajes de programación o archivos de texto plano , se pueden usar las notaciones ( circunflejo ) o en lugar de . El adjetivo que corresponde a elevar al cuadrado es cuadrático . x^2x**2x²

El cuadrado de un número entero también puede llamarse cuadrado perfecto . En álgebra , la operación de elevar al cuadrado se generaliza a menudo a polinomios , otras expresiones o valores en sistemas de valores matemáticos distintos de los números. Por ejemplo, el cuadrado del polinomio lineal x + 1 es el polinomio cuadrático ( x + 1) ^² = x² ⁺ 2x + 1 .

Una de las propiedades importantes de elevar al cuadrado, tanto para números como en muchos otros sistemas matemáticos, es que (para todos los números x ), el cuadrado de x es igual al cuadrado de su inverso aditivo −x . Es decir, la función cuadrática satisface la identidad x² ⁼ (−x ) ² ^. Esto también se puede expresar diciendo que la función cuadrática es una función par .

La operación de elevar al cuadrado define una función real llamadafunción cuadrada o laFunción de elevación al cuadrado . Sudominioes toda larecta realy suimagenes el conjunto de los números reales no negativos.

La función cuadrática conserva el orden de los números positivos: los números más grandes tienen cuadrados más grandes. En otras palabras, el cuadrado es una función monótona en el intervalo [ 0, +∞) . En los números negativos, los números con mayor valor absoluto tienen cuadrados más grandes, por lo que el cuadrado es una función monótonamente decreciente en (−∞, 0 ] . Por lo tanto, cero es el mínimo (global) de la función cuadrática. El cuadrado x² de un número x es menor que x (es decir, ^x² < x ) si y solo si 0 < x < 1 , es decir, si x pertenece al intervalo abierto (0, 1) ^. Esto implica que el cuadrado de un entero nunca es menor que el número original x .

Todo número real positivo es el cuadrado de exactamente dos números, uno estrictamente positivo y otro estrictamente negativo. El cero es el cuadrado de un solo número: él mismo. Por esta razón, es posible definir la función raíz cuadrada , que asocia a un número real no negativo el número no negativo cuyo cuadrado es el número original.

No se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo dentro del sistema de números reales , ya que los cuadrados de todos los números reales son no negativos . La ausencia de raíces cuadradas reales para los números negativos permite extender el sistema de números reales a los números complejos , postulando la unidad imaginaria i , que es una de las raíces cuadradas de −1 . 

La propiedad "todo número real no negativo es un cuadrado" se ha generalizado a la noción de un cuerpo real cerrado , que es un cuerpo ordenado tal que todo elemento no negativo es un cuadrado y todo polinomio de grado impar tiene una raíz. Los cuerpos reales cerrados no se pueden distinguir del cuerpo de los números reales por sus propiedades algebraicas: toda propiedad de los números reales que se puede expresar en lógica de primer orden (es decir, mediante una fórmula en la que las variables cuantificadas por ∀ o ∃ representan elementos, no conjuntos) es verdadera para todo cuerpo real cerrado, y viceversa, toda propiedad de la lógica de primer orden que es verdadera para un cuerpo real cerrado específico también lo es para los números reales.

La función cuadrática tiene varios usos importantes en geometría.

El nombre de la función cuadrática demuestra su importancia en la definición del área : proviene del hecho de que el área de un cuadrado con lados de longitud l es igual a l² . El área depende cuadráticamente del tamaño: el área de una figura n veces mayor es n² ^{veces mayor. Esto se cumple tanto} para áreas en tres dimensiones como en el plano: por ejemplo, el área de la superficie de una esfera es proporcional al cuadrado de su radio, un hecho que se manifiesta físicamente mediante la ley del inverso del cuadrado, que describe cómo varía la intensidad de fuerzas físicas como la gravedad con la distancia.   

La función cuadrática se relaciona con la distancia a través del teorema de Pitágoras y su generalización, la ley del paralelogramo . La distancia euclidiana no es una función suave : la gráfica tridimensional de la distancia desde un punto fijo forma un cono , con un punto no suave en el vértice del cono. Sin embargo, el cuadrado de la distancia (denotado ^d² o r² ) ^, cuya gráfica es un paraboloide , es una función suave y analítica .

El producto escalar de un vector euclidiano consigo mismo es igual al cuadrado de su longitud: v ⋅ v = v² ^. Esto se generaliza aún más a formas cuadráticas en espacios lineales mediante el producto interno . El tensor de inercia en mecánica es un ejemplo de una forma cuadrática. Demuestra una relación cuadrática del momento de inercia con el tamaño ( longitud ).

Existen infinitas ternas pitagóricas , conjuntos de tres enteros positivos tales que la suma de los cuadrados de los dos primeros es igual al cuadrado del tercero. Cada una de estas ternas proporciona los lados enteros de un triángulo rectángulo.

La función cuadrática se define en cualquier cuerpo o anillo . Un elemento que es la imagen de esta función se llama cuadrado , y las imágenes inversas de un cuadrado se llaman raíces cuadradas .

La noción de cuadrado es particularmente importante en los cuerpos finitos Z / p Z formados por los números módulo un número primo impar p . Un elemento no nulo de este cuerpo se llama residuo cuadrático si es un cuadrado en Z / p Z , y en caso contrario, se llama no residuo cuadrático. El cero, aunque sea un cuadrado, no se considera un residuo cuadrático. Todo cuerpo finito de este tipo tiene exactamente ( p − 1)/2 residuos cuadráticos y exactamente ( p − 1)/2 no residuos cuadráticos. Los residuos cuadráticos forman un grupo bajo la multiplicación. Las propiedades de los residuos cuadráticos se utilizan ampliamente en la teoría de números .

En términos más generales, en los anillos, la función cuadrática puede tener propiedades diferentes que a veces se utilizan para clasificar los anillos.

El cero puede ser el cuadrado de algunos elementos distintos de cero. Un anillo conmutativo tal que el cuadrado de un elemento distinto de cero nunca es cero se llama anillo reducido . De manera más general, en un anillo conmutativo, un ideal radical es un ideal I tal que ${\displaystyle x^{2}\in I}$implica${\displaystyle x\in I}$. Ambas nociones son importantes en geometría algebraica , debido al Nullstellensatz de Hilbert .

Un elemento de un anillo que es igual a su propio cuadrado se llama idempotente . En cualquier anillo, 0 y 1 son idempotentes.No existen otros idempotentes en cuerpos y, en general, en ^dominios de integridad . Sin embargo, el anillo de los enteros módulo n tiene 2k idempotentes, donde k es el número de factores primos distintos de n . Un anillo conmutativo en el que cada elemento es igual a su cuadrado (cada elemento es idempotente) se denomina anillo booleano ; un ejemplo de la informática es el anillo cuyos elementos son números binarios , con la operación AND bit a bit como multiplicación y la operación XOR bit a bit como suma.  

En un anillo totalmente ordenado , x ² ≥ 0 para cualquier x . Además, x ² = 0 si y solo si x = 0 .

En un álgebra superconmutativa donde 2 es invertible, el cuadrado de cualquier elemento impar es igual a cero.

Si A es un semigrupo conmutativo , entonces se tiene

${\displaystyle \forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.}$

En el lenguaje de las formas cuadráticas , esta igualdad indica que la función cuadrática es una "forma que permite la composición". De hecho, la función cuadrática es la base sobre la cual se construyen otras formas cuadráticas que también permiten la composición. El procedimiento fue introducido por L. E. Dickson para generar octoniones a partir de cuaterniones mediante la duplicación. El método de duplicación fue formalizado por A. A. Albert , quien partió del campo de los números reales.${\displaystyle \mathbb {R} }$y la función cuadrada, duplicándola para obtener el cuerpo ^de números complejos con forma cuadrática x² + y² , y luego duplicándola nuevamente para obtener cuaterniones. El procedimiento de duplicación se denomina construcción de Cayley-Dickson y se ha generalizado para formar álgebras de dimensión 2n ^{sobre un} cuerpo F con involución.

La función cuadrada z² es la "norma" del álgebra de composición ^.${\displaystyle \mathbb {C} }$donde la función identidad forma una involución trivial para comenzar las construcciones de Cayley-Dickson que conducen a álgebras de composición bicomplejas, bicuaterniones y bioctoniones.

En los números complejos , la función cuadrada${\displaystyle z\to z^{2}}$es una cobertura doble en el sentido de que cada número complejo distinto de cero tiene exactamente dos raíces cuadradas.

El cuadrado del valor absoluto de un número complejo se llama su cuadrado absoluto , módulo al cuadrado o magnitud al cuadrado . ^{[ 1 ]} Es el producto del número complejo por su conjugado complejo , y es igual a la suma de los cuadrados de las partes real e imaginaria del número complejo.

El cuadrado absoluto de un número complejo siempre es un número real no negativo, es decir, cero si y solo si el número complejo es cero. Es más fácil de calcular que el valor absoluto (no requiere raíz cuadrada) y es una función continua . Debido a estas dos propiedades, el cuadrado absoluto suele preferirse al valor absoluto para cálculos explícitos y cuando se utilizan métodos de análisis matemático (por ejemplo, optimización o integración ).

Para vectores complejos , el producto escalar se puede definir involucrando la transpuesta conjugada , lo que lleva a la norma al cuadrado .

Los cuadrados son omnipresentes en el álgebra, más generalmente, en casi todas las ramas de las matemáticas, y también en la física, donde muchas unidades se definen utilizando cuadrados e inversos de cuadrados: véase más abajo .

El método de mínimos cuadrados es el método estándar utilizado con sistemas sobredeterminados .

La elevación al cuadrado se utiliza en estadística y teoría de la probabilidad para determinar la desviación estándar de un conjunto de valores o de una variable aleatoria . La desviación de cada valor x _i con respecto a la media  ${\displaystyle {\overline {x}}}$del conjunto se define como la diferencia${\displaystyle x_{i}-{\overline {x}}}$Estas desviaciones se elevan al cuadrado y luego se calcula la media del nuevo conjunto de números (todos positivos). Esta media es la varianza y su raíz cuadrada es la desviación estándar.

• Cubo (álgebra)
• distancia euclidiana
• Exponenciación por elevación al cuadrado
• El decimoséptimo problema de Hilbert , para la representación de polinomios positivos como suma de cuadrados de funciones racionales.
• Tensor métrico
• Anillo de polinomios
• SOS polinomial , la representación de un polinomio no negativo como la suma de cuadrados de polinomios.
• Ecuación cuadrática
• Polinomio libre de cuadrados
• Sumas de cuadrados (página de desambiguación con varios enlaces relevantes)

• Marshall, Murray. Polinomios positivos y sumas de cuadrados. Mathematical Surveys and Monographs, 146. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. xii+187 pp. ISBN 978-0-8218-4402-1, ISBN 0-8218-4402-4
• Rajwade, AR (1993). Cuadrados . Serie de notas de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres. Vol.  171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022 .