Anillo pedido

En álgebra abstracta , un anillo ordenado es un anillo R (generalmente conmutativo ) con un orden total ≤ tal que para todo a , b y c en R : ^{[ 1 ]}

• Si a ≤ b, entonces a + c ≤ b + c .
• Si 0 ≤ a y 0 ≤ b, entonces 0 ≤ ab .

Los anillos ordenados son familiares en aritmética . Algunos ejemplos son los números enteros , los racionales y los reales . ^{[ 2 ]} (De hecho, los racionales y los reales forman cuerpos ordenados ). Los números complejos , en cambio, no forman un anillo o cuerpo ordenado, porque no existe una relación de orden inherente entre los elementos 1 e i .

De forma análoga a los números reales, decimos que un elemento c de un anillo ordenado R es positivo si 0 < c , y negativo si c < 0. Se considera que 0 no es ni positivo ni negativo.

El conjunto de elementos positivos de un anillo ordenado R se suele denotar por R ₊ . Una notación alternativa, preferida en algunas disciplinas, consiste en usar R ₊ para el conjunto de elementos no negativos y R ₊₊ para el conjunto de elementos positivos.

Si${\displaystyle a}$es un elemento de un anillo ordenado R , entonces el valor absoluto de${\displaystyle a}$, denotado${\displaystyle |a|}$, se define de la siguiente manera:

${\displaystyle |a|:={\begin{cases}a,&{\mbox{si }}0\leq a,\\-a,&{\mbox{en otro caso}},\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle -a}$es el inverso aditivo de${\displaystyle a}$y 0 es el elemento neutro aditivo .

Un anillo discreto ordenado es un anillo ordenado en el que no hay ningún elemento entre 0 y 1. Los números enteros forman un anillo discreto ordenado, pero los números racionales no.

Para todos los a , b y c en R :

• Si a ≤ b y 0 ≤ c , entonces ac ≤ bc . ^{[ 3 ]} Esta propiedad se utiliza a veces para definir anillos ordenados en lugar de la segunda propiedad de la definición anterior.
• | ab | = | a | | b |. ^{[ 4 ]}
• Un anillo ordenado que no es trivial es infinito. ^{[ 5 ]}
• Exactamente una de las siguientes afirmaciones es verdadera: a es positivo, − a es positivo o a = 0. ^{[ 6 ]} Esta propiedad se deriva del hecho de que los anillos ordenados son grupos abelianos , linealmente ordenados con respecto a la suma.
• En un anillo ordenado, ningún elemento negativo es un cuadrado: ^{[ 7 ]} En primer lugar, 0 es no negativo. Ahora bien, si a ≠ 0 y a = b ² entonces b ≠ 0 y a = (− b ) ² ; como b o − b es positivo, a debe ser no negativo.

• Campo ordenado : objeto algebraico con una estructura ordenada. 
• Grupo ordenado : grupo con un orden parcial compatible. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redirección. 
• Espacio vectorial topológico ordenado
• Espacio vectorial ordenado – Espacio vectorial con un orden parcial 
• Anillo parcialmente pedido – Anillo con un pedido parcial compatible 
• Espacio parcialmente ordenado – Espacio topológico parcialmente ordenado 
• Espacio de Riesz : espacio vectorial parcialmente ordenado, organizado como una red , también llamado red vectorial. 
• Semianillos pedidos

La siguiente lista incluye referencias a teoremas verificados formalmente por el proyecto IsarMathLib .