Diferencia de dos cuadrados

La demostración de la identidad de factorización es sencilla. Comenzando por el lado derecho , aplicamos la ley distributiva para obtener $${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$ Según la ley conmutativa , los dos términos centrales se cancelan: $${\displaystyle ba-ab=0}$$ saliendo ^{[ 1 ]}$${\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2}.}$$ La identidad resultante es una de las más utilizadas en matemáticas. Entre sus múltiples aplicaciones, proporciona una demostración sencilla de la desigualdad AM-GM en dos variables.

La demostración es válida no solo para números, sino para elementos de cualquier anillo conmutativo . Recíprocamente, si esta identidad se cumple en un anillo R para todos los pares de elementos a y b , entonces R es conmutativo. Para comprobarlo, aplique la propiedad distributiva al lado derecho de la ecuación y obtenga $${\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2}.}$$ Para que esto sea igual a${\displaystyle \textstyle a^{2}-b^{2}}$⁠ , debemos tener $${\displaystyle ba-ab=0}$$ para todos los pares a , b , por lo que R es conmutativo.

La diferencia de dos cuadrados también se puede ilustrar geométricamente como la diferencia de las áreas de dos cuadrados en un plano . En el diagrama, la parte sombreada representa la diferencia entre las áreas de los dos cuadrados, es decir${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$El área de la parte sombreada se puede obtener sumando las áreas de los dos rectángulos;${\displaystyle a(ab)+b(ab)}$, que puede ser factorizado a${\displaystyle (a+b)(ab)}$. Por lo tanto,${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$.

Otra demostración geométrica procede de la siguiente manera. Partimos de la figura que se muestra en el primer diagrama a continuación, un cuadrado grande con un cuadrado más pequeño extraído de él. El lado del cuadrado completo es a, y el lado del cuadrado pequeño extraído es b; por lo tanto, el área de la región sombreada es${\displaystyle a^{2}-b^{2}}$Se realiza un corte, dividiendo la región en dos piezas rectangulares, como se muestra en el segundo diagrama. La pieza más grande, en la parte superior, tiene un ancho a y una altura ab. La pieza más pequeña, en la parte inferior, tiene un ancho ab y una altura b. Ahora la pieza más pequeña se puede separar, girar y colocar a la derecha de la pieza más grande. En esta nueva disposición, que se muestra en el último diagrama a continuación, las dos piezas juntas forman un rectángulo, cuyo ancho es${\displaystyle a+b}$y cuya altura es${\displaystyle ab}$El área de este rectángulo es${\displaystyle (a+b)(ab)}$. Dado que este rectángulo proviene de reorganizar la figura original, debe tener la misma área que la figura original. Por lo tanto,${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(ab)}$. ^{[ 2 ]}

La fórmula para la diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para factorizar polinomios que contienen el cuadrado de una primera cantidad menos el cuadrado de una segunda cantidad. Por ejemplo, el polinomio${\displaystyle x^{4}-1}$se puede factorizar de la siguiente manera:

$${\displaystyle x^{4}-1=(x^{2}+1)(x^{2}-1)=(x^{2}+1)(x+1)(x-1).}$$

Como segundo ejemplo, los dos primeros términos de${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy}$puede ser factorizado como${\displaystyle (x+y)(xy)}$, entonces tenemos: $${\displaystyle x^{2}-y^{2}+xy=(x+y)(xy)+xy=(xy)(x+y+1).}$$ Además, esta fórmula también se puede utilizar para simplificar expresiones: $${\displaystyle (a+b)^{2}-(ab)^{2}=(a+b+ab)(a+b-a+b)=(2a)(2b)=4ab.}$$

La diferencia de dos cuadrados se puede utilizar para hallar los factores lineales de la suma de dos cuadrados, utilizando coeficientes de números complejos .

Por ejemplo, las raíces complejas de${\displaystyle z^{2}+4}$se puede encontrar introduciendo un factor de${\displaystyle -i^{2}=1}$y utilizando la diferencia de dos cuadrados:

$${\displaystyle {\begin{aligned}z^{2}+4&=z^{2}-4i^{2}\\&=z^{2}-(2i)^{2}\\&=(z+2i)(z-2i).\\\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, los factores lineales son${\displaystyle (z+2i)}$y${\displaystyle (z-2i)}$.

Dado que los dos factores hallados mediante este método son conjugados complejos , podemos utilizarlo a la inversa como método para multiplicar un número complejo y obtener un número real. Esto se utiliza para obtener denominadores reales en fracciones complejas. ^{[ 3 ]}

La diferencia de dos cuadrados también puede utilizarse, a la inversa, en la racionalización de denominadores irracionales . ^{[ 4 ]} Este es un método para eliminar radicales de expresiones (o al menos moverlos), aplicable a la división por algunas combinaciones que involucran raíces cuadradas .

Por ejemplo, el denominador de${\displaystyle {\frac {5}{4+{\sqrt {3}}}}}$puede racionalizarse de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}&={\dfrac {5}{4+{\sqrt {3}}}}\times {\dfrac {4-{\sqrt {3}}}{4-{\sqrt {3}}}}\\[10mu]&={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{4^{2}-{\sqrt {3}}^{2}}}={\dfrac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{16-3}}={\frac {5{\bigl (}4-{\sqrt {3}}{\bigr )}}{13}}.\end{aligned}}}$$

Aquí, el denominador irracional${\displaystyle 4+{\sqrt {3}}}$se ha racionalizado para${\displaystyle 13}$.

La diferencia de dos cuadrados también puede usarse como un atajo aritmético. Si dos números tienen un promedio fácilmente elevable al cuadrado, su producto puede reescribirse como la diferencia de dos cuadrados. Por ejemplo: $${\displaystyle 27\times 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=891.}$$

La diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es la suma de las dos bases n y n + 1. Esto se puede ver de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+1)^{2}-n^{2}&=((n+1)+n)((n+1)-n)\\[5mu]&=2n+1.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos consecutivos es un número impar. De manera similar, la diferencia de dos cuadrados perfectos cualesquiera se calcula de la siguiente manera:

$${\displaystyle {\begin{aligned}(n+k)^{2}-n^{2}&=((n+k)+n)((n+k)-n)\\[5mu]&=k(2n+k).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la diferencia de dos cuadrados perfectos pares es un múltiplo de 4 y la diferencia de dos cuadrados perfectos impares es un múltiplo de 8 .

Como consecuencia de la diferencia de cuadrados consecutivos, la ley de Galileo para los números impares establece que la distancia que recorre un objeto que cae sin resistencia bajo gravedad uniforme en intervalos de tiempo iguales sucesivos es directamente proporcional a los números impares. Es decir, si un cuerpo que cae desde el reposo recorre una cierta distancia durante un intervalo de tiempo arbitrario, recorrerá 3 , 5 , 7 , etc., veces esa distancia en los intervalos de tiempo subsiguientes de la misma duración.

A partir de la ecuación para la aceleración lineal uniforme, la distancia recorrida $${\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}$$ para velocidad inicial${\displaystyle u=0,}$aceleración constante${\displaystyle a}$(aceleración debida a la gravedad sin resistencia del aire) y tiempo transcurrido${\displaystyle t,}$De ello se deduce que la distancia${\displaystyle s}$es proporcional a${\displaystyle t^{2}}$(en símbolos,${\displaystyle s\propto t^{2}}$), por lo tanto, la distancia desde el punto de partida son cuadrados consecutivos para valores enteros del tiempo transcurrido. ^{[ 5 ]}

Varios algoritmos en teoría de números y criptografía utilizan diferencias de cuadrados para encontrar factores de enteros y detectar números compuestos. Un ejemplo sencillo es el método de factorización de Fermat , que considera la secuencia de números.${\displaystyle x_{i}:=a_{i}^{2}-N}$, para${\displaystyle a_{i}:=\left\lceil {\sqrt {N}}\right\rceil +i}$. Si uno de los${\displaystyle x_{i}}$es igual a un cuadrado perfecto${\displaystyle b^{2}}$, entonces${\displaystyle N=a_{i}^{2}-b^{2}=(a_{i}+b)(a_{i}-b)}$es una factorización (potencialmente no trivial) de${\displaystyle N}$.

Este truco se puede generalizar de la siguiente manera. Si${\displaystyle a^{2}\equiv b^{2}}$mod${\displaystyle N}$y${\displaystyle a\not \equiv \pm b}$mod${\displaystyle N}$, entonces${\displaystyle N}$es compuesto con factores no triviales${\displaystyle \gcd(ab,N)}$y${\displaystyle \gcd(a+b,N)}$Esto constituye la base de varios algoritmos de factorización (como el cribado cuadrático ) y puede combinarse con la prueba de primalidad de Fermat para obtener la prueba de primalidad de Miller-Rabin, más robusta .

Si a y b son dos elementos de un anillo conmutativo, entonces ^{[ 6 ]}

$${\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b){\biggl (}\sum _{k=0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}{\biggr )}.}$$

El segundo factor se parece a la expansión binomial de${\displaystyle (a+b)^{n-1}}$, excepto que no incluye los coeficientes binomiales .${\displaystyle {\tbinom {n-1}{k}}}$.​