Congruencia

En teoría de números , un congruo (plural congruas ) es la diferencia entre cuadrados sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados. El problema del congruo consiste en encontrar cuadrados en progresión aritmética y sus congruas asociadas. Puede formalizarse como una ecuación diofántica .

Fibonacci resolvió el problema de los congrumos hallando una fórmula parametrizada para generar todos los congrumos, junto con sus progresiones aritméticas asociadas. Según esta fórmula, cada congrumo es cuatro veces el área de un triángulo pitagórico , un triángulo rectángulo cuyos lados son enteros . Los congrumos también están estrechamente relacionados con los números congruentes , que son las áreas de triángulos rectángulos cuyos lados son números racionales . Todo congrumo es un número congruente, y todo número congruente es un congrumo multiplicado por el cuadrado de un número racional.

Fibonacci afirmó, sin pruebas , que es imposible que un congruum sea un número cuadrado. Esto fue demostrado posteriormente por Pierre de Fermat en el teorema del triángulo rectángulo de Fermat .

Un congruo se define como cualquier número que puede formar la diferencia entre números cuadrados sucesivos en una progresión aritmética de tres cuadrados. Es decir, si${\displaystyle x^{2}}$,${\displaystyle y^{2}}$, y${\displaystyle z^{2}}$(para números enteros)${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$) son tres números cuadrados que están igualmente espaciados entre sí, entonces el espaciado entre ellos,${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}}$, se denomina congruum. ^{[ 1 ]}

El problema del congruum es el problema de encontrar cuadrados en progresión aritmética y sus congruas asociadas. ^{[ 1 ]} Se puede formalizar como una ecuación diofántica : encontrar enteros${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, y${\displaystyle z}$de tal manera que ${\displaystyle y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}.}$ Cuando se satisface esta ecuación, ambos lados de la ecuación son iguales al congruo. ^{[ 2 ]}

Por ejemplo, el número 96 es un congruo porque es la diferencia entre cuadrados adyacentes en la secuencia 4, 100 y 196 (los cuadrados de 2, 10 y 14 respectivamente).

Las primeras congruas son:

El problema del congruum fue estudiado y resuelto originalmente por matemáticos islámicos del siglo X, principalmente Abū Ja'far al-Khāzin . ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En 1225, el problema del congruum formó parte de un torneo matemático organizado por Federico II, emperador del Sacro Imperio Romano Germánico , y fue resuelto correctamente en ese momento por Fibonacci , quien registró su trabajo sobre este problema en su Libro de los cuadrados , ^{[ 5 ]} sin dar crédito a al-Khāzin.

Fibonacci ya sabía que es imposible que un congruente sea un cuadrado, pero no dio una prueba satisfactoria de este hecho. ^{[ 6 ]} Geométricamente , esto significa que no es posible que el par de catetos de un triángulo pitagórico sea el cateto y la hipotenusa de otro triángulo pitagórico. Pierre de Fermat finalmente dio una demostración , y el resultado ahora se conoce como el teorema del triángulo rectángulo de Fermat . Fermat también conjeturó , y Leonhard Euler demostró, que no existe una sucesión de cuatro cuadrados en progresión aritmética. ^{[ 2 ] [ 7 ]}

El problema del congruum se puede resolver eligiendo dos enteros positivos distintos.${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$(con${\displaystyle m>n}$); luego el número${\displaystyle 4mn(m^{2}-n^{2})}$es un congruo. El cuadrado central de la progresión aritmética de cuadrados asociada es${\displaystyle (m^{2}+n^{2})^{2}}$y los otros dos cuadrados se pueden encontrar sumando o restando el congruum. Además, multiplicar un congruum por un número cuadrado produce otro congruum, cuya progresión de cuadrados se multiplica por el mismo factor. Todas las soluciones surgen de una de estas dos maneras. ^{[ 1 ]} Por ejemplo, el congruum 96 se puede construir mediante estas fórmulas con${\displaystyle m=3}$y${\displaystyle n=1}$, mientras que el congruum 216 se obtiene multiplicando el congruum menor 24 por el número cuadrado 9.

Una formulación equivalente de esta solución, dada por Bernard Frénicle de Bessy , es la de los tres cuadrados en progresión aritmética.${\displaystyle x^{2}}$,${\displaystyle y^{2}}$, y${\displaystyle z^{2}}$, el número del medio${\displaystyle y}$es la hipotenusa de un triángulo pitagórico y los otros dos números${\displaystyle x}$y${\displaystyle z}$son la diferencia y la suma, respectivamente, de los dos catetos del triángulo. ^{[ 8 ]} El congruo en sí es cuatro veces el área del mismo triángulo pitagórico. El ejemplo de una progresión aritmética con congruo 96 se puede obtener de esta manera a partir de un triángulo rectángulo con longitudes de cateto e hipotenusa 6, 8 y  10.

Un número congruente se define como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Dado que todo congruente se puede obtener (usando la solución parametrizada) como el área de un triángulo pitagórico, se deduce que todo congruente es congruente. Todo número congruente es un congruente multiplicado por el cuadrado de un número racional. ^{[ 9 ]} Sin embargo, comprobar si un número es un congruente es mucho más fácil que comprobar si un número es congruente. Para el problema del congruente, la solución parametrizada reduce este problema de comprobación a verificar un conjunto finito de valores de parámetros, ya que los dos parámetros${\displaystyle m}$y${\displaystyle n}$ambos deben dividir el número dado. En cambio, para el problema de los números congruentes, se conoce un procedimiento de prueba finito solo de forma conjetural, a través del teorema de Tunnell , bajo el supuesto de que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es verdadera. ^{[ 10 ]}

• Teorema del triángulo rectángulo de Fermat
• Triángulo automediano , un triángulo cuyos cuadrados en los tres lados forman una progresión aritmética.
• Espiral de Teodoro , formada por triángulos rectángulos cuyos lados (no enteros), al elevarse al cuadrado, forman una progresión aritmética infinita.

• Weisstein, Eric W. , "Problema de congruo" , MathWorld