Amplitud de probabilidad

En mecánica cuántica , una amplitud de probabilidad es un número complejo que se utiliza para describir el comportamiento de los sistemas. El módulo al cuadrado de esta magnitud en un punto del espacio representa la densidad de probabilidad en ese punto.

Las amplitudes de probabilidad establecen una relación entre el estado cuántico de un sistema y los resultados de sus observaciones, un vínculo propuesto por primera vez por Max Born en 1926. La interpretación de los valores de una función de onda como amplitud de probabilidad es un pilar de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. De hecho, las propiedades del espacio de funciones de onda se utilizaban para realizar predicciones físicas (como que las emisiones de los átomos se producen a determinadas energías discretas) antes de que se ofreciera cualquier interpretación física de una función en particular. Born recibió la mitad del Premio Nobel de Física de 1954 por este descubrimiento, y la probabilidad calculada de esta manera se conoce a veces como la "probabilidad de Born".

Estos conceptos probabilísticos, concretamente la densidad de probabilidad y las mediciones cuánticas , fueron objeto de un intenso debate en su momento entre los físicos que trabajaron en la teoría original, como Schrödinger y Einstein . Son la raíz de las misteriosas consecuencias y las dificultades filosóficas en la interpretación de la mecánica cuántica , temas que siguen siendo objeto de debate incluso hoy en día.

Descripción general física

Dejando de lado algunas complejidades técnicas, el problema de la medición cuántica radica en el comportamiento de un estado cuántico, para el cual el valor de la magnitud observable $Q$ que se va a medir es incierto . Se considera que dicho estado es una superposición coherente de los autoestados de la magnitud observable , estados en los que el valor de la magnitud observable está definido de forma única para diferentes valores posibles de la misma.

Cuando se realiza una medición de $Q , el sistema (según la$ interpretación de Copenhague ) salta a uno de los autoestados , devolviendo el autovalor correspondiente a dicho autoestado. El sistema siempre puede describirse mediante una combinación lineal o superposición de estos autoestados con "pesos" desiguales . Intuitivamente, es evidente que los autoestados con "pesos" más elevados tienen mayor probabilidad de producirse. De hecho, el sistema salta a uno de los autoestados mencionados anteriormente viene dado por una ley probabilística: la probabilidad de que el sistema salte a dicho estado es proporcional al cuadrado del valor absoluto del peso numérico correspondiente. Estos pesos numéricos se denominan amplitudes de probabilidad, y esta relación, utilizada para calcular probabilidades a partir de estados cuánticos puros dados (como las funciones de onda), se conoce como la regla de Born .

Evidentemente, la suma de las probabilidades, que es igual a la suma de los cuadrados absolutos de las amplitudes de probabilidad, debe ser igual a 1. Este es el requisito de normalización .

Si se sabe que el sistema está en algún autoestado de $Q$ (por ejemplo, después de una observación del autovalor correspondiente de $Q$ ), la probabilidad de observar ese autovalor se vuelve igual a 1 (seguro) para todas las mediciones subsiguientes de $Q$ (siempre que no actúen otras fuerzas importantes entre las mediciones). En otras palabras, las amplitudes de probabilidad son cero para todos los demás autoestados y permanecen cero para las mediciones futuras. Si el conjunto de autoestados a los que el sistema puede saltar al medir $Q$ es el mismo que el conjunto de autoestados para medir $R$ , entonces las mediciones subsiguientes de $Q$ o $R$ siempre producen los mismos valores con una probabilidad de 1, sin importar el orden en que se apliquen. Las amplitudes de probabilidad no se ven afectadas por ninguna de las mediciones, y se dice que los observables conmutan .

Por el contrario, si los autoestados de $Q$ y $R$ son diferentes, entonces la medición de $R$ produce un salto a un estado que no es un autoestado de $Q.$ Por lo tanto, si se sabe que el sistema está en algún autoestado de $Q$ (todas las amplitudes de probabilidad son cero excepto una), entonces cuando se observa $R$ las amplitudes de probabilidad cambian. Una segunda observación posterior de $Q$ ya no produce con certeza el autovalor correspondiente al estado inicial. En otras palabras, las amplitudes de probabilidad para la segunda medición de $Q$ dependen de si se realiza antes o después de una medición de $R$ , y las dos observables no conmutan .

Formulación matemática

En una configuración formal, el estado de un sistema físico aislado en mecánica cuántica se representa en un tiempo fijo. $t$ , mediante un vector de estado $| Ψ ⟩$ perteneciente a un espacio de Hilbert complejo separable . Usando la notación bra-ket, la relación entre el vector de estado y la " base de posición " $\{|x\rangle \}$ del espacio de Hilbert se puede escribir como ^{[ 1 ]}

\psi (x)=\langle x|\Psi \rangle

.

Su relación con un observable puede dilucidarse generalizando el estado cuántico. $\psi$ a una función medible y su dominio de definición a un espacio de medida $σ$ -finito dado $(X,{\mathcal {A}},\mu )$ Esto permite un refinamiento del teorema de descomposición de Lebesgue , descomponiendo μ en tres partes mutuamente singulares .

\mu =\mu _{\mathrm {ac} }+\mu _{\mathrm {sc} }+\mu _{\mathrm {pp} }

donde μ _ac es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, μ _sc es singular con respecto a la medida de Lebesgue y sin átomos, y μ _pp es una medida de punto puro. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

amplitudes continuas

Una representación habitual de la amplitud de probabilidad es la de una función de onda. $\psi$ perteneciente al espacio $L 2$ de ( clases de equivalencia de) funciones de cuadrado integrable , es decir, $\psi$ pertenece a $L 2 (X)$ si y solo si

\|\psi \|^{2}=\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx<\infty

.

Si la norma es igual a $1$ y $|\psi (x)|^{2}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ de tal manera que

\int _{X}|\psi (x)|^{2}\,dx\equiv \int _{X}\,d\mu _{ac}(x)=1

,

entonces $|\psi (x)|^{2}$ es la función de densidad de probabilidad para una medición de la posición de la partícula en un tiempo dado, definida como la derivada de Radon-Nikodym con respecto a la medida de Lebesgue (por ejemplo, en el conjunto $R$ de todos los números reales ). Como la probabilidad es una cantidad adimensional, $|$ $ψ$ $($ $x$ $)$ $|$ $2$ debe tener la dimensión inversa de la variable de integración $x$ . Por ejemplo, la amplitud anterior tiene dimensión [L ^−1/2 ], donde L representa la longitud .

Mientras que un espacio de Hilbert es separable si y solo si admite una base ortonormal numerable , el rango de una variable aleatoria continua $x$ es un conjunto no numerable (es decir, la probabilidad de que el sistema esté "en posición $x$ "siempre será cero ). Por lo tanto, los autoestados de un observable no necesariamente tienen que ser funciones medibles que pertenezcan a $L 2 (X)$ (véase la condición de normalización a continuación). Un ejemplo típico es el operador de posición. ${\sombrero {\mathrm {x} }}$ definido como

\langle x|{\hat {\mathrm {x} }}|\Psi \rangle ={\hat {\mathrm {x} }}\langle x|\Psi \rangle =x_{0}\psi (x),\quad x\in \mathbb {R} ,

cuyas autofunciones son funciones delta de Dirac

\psi (x)=\delta (x-x_{0})

que claramente no pertenecen a $L 2 (X)$ . Sin embargo, al reemplazar el espacio de estados por un espacio de Hilbert adecuado , se conserva la noción rigurosa de autoestados del teorema espectral , así como la descomposición espectral . ^{[ 4 ]}

Amplitudes discretas

Dejar $\mu _{pp}$ ser atómico (es decir el conjunto) $A\subset X$ en ${\mathcal {A}}$ es un átomo ); especificando la medida de cualquier variable discreta $x \in A$ igual a $1.$ Las amplitudes están compuestas por el vector de estado $| Ψ ⟩$ indexado por $A$ ; sus componentes se denotan por $ψ (x)$ para uniformidad con el caso anterior. Si la norma $ℓ 2$ de $| Ψ ⟩$ es igual a 1, entonces $| ψ (x) | 2$ es una función de masa de probabilidad .

Un espacio de configuración conveniente $X$ es tal que cada punto $x$ produce algún valor único de la observable $Q.$ Para $X$ discreto, esto significa que todos los elementos de la base estándar son autovectores de $Q.$ Entonces $\psi (x)$ es la amplitud de probabilidad para el autoestado $| x ⟩$ . Si corresponde a un autovalor no degenerado de $Q$ , entonces $|\psi (x)|^{2}$ da la probabilidad del valor correspondiente de $Q$ para el estado inicial $| Ψ ⟩$ .

$| ψ (x) | = 1$ si y solo si $| x ⟩$ es el mismo estado cuántico que $| Ψ ⟩$ . $ψ (x) = 0$ si y solo si $| x ⟩$ y $| Ψ ⟩$ son ortogonales . En caso contrario, el módulo de $ψ (x)$ está entre 0 y 1.

Una amplitud de probabilidad discreta puede considerarse como una frecuencia fundamental en el dominio de la frecuencia de probabilidad ( armónicos esféricos ) para simplificar los cálculos de transformación de la teoría M. Las variables dinámicas discretas se utilizan en problemas como el de una partícula en una caja reflectante idealizada y el de un oscilador armónico cuántico .

Ejemplos

Un ejemplo del caso discreto es un sistema cuántico que puede estar en dos estados posibles , por ejemplo, la polarización de un fotón . Cuando se mide la polarización, podría ser el estado horizontal. $|H\rangle$ o el estado vertical $|V\rangle$ Hasta que se mida su polarización, el fotón puede estar en una superposición de ambos estados, por lo que su estado $|\psi \rangle$ podría escribirse como

|\psi \rangle =\alpha |H\rangle +\beta |V\rangle

,

con $\alpha$ y $\beta$ las amplitudes de probabilidad para los estados $|H\rangle$ y $|V\rangle$ respectivamente. Cuando se mide la polarización del fotón, el estado resultante es horizontal o vertical. Pero en un experimento aleatorio, la probabilidad de estar polarizado horizontalmente es $|\alpha |^{2}$ y la probabilidad de estar polarizado verticalmente es $|\beta |^{2}$ .

Por lo tanto, un fotón en un estado ${\textstyle |\psi \rangle ={\sqrt {\frac {1}{3}}}|H\rangle -i{\sqrt {\frac {2}{3}}}|V\rangle }$ tendría una probabilidad de ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$ salir polarizado horizontalmente y una probabilidad de ${\textstyle {\frac {2}{3}}}$ Cuando se realiza un conjunto de mediciones , se observa que la señal está polarizada verticalmente . Sin embargo, el orden de estos resultados es completamente aleatorio.

Otro ejemplo es el espín cuántico. Si un aparato de medición de espín apunta a lo largo del eje z y, por lo tanto, es capaz de medir la componente z del espín ( ${\textstyle \sigma _{z}}$ ), para la medición del espín "hacia arriba" y "hacia abajo" debe cumplirse lo siguiente:

\sigma _ {z}|u\rangle =(+1)|u\rangle

\sigma _{z}|d\rangle =(-1)|d\rangle

Si se supone que el sistema está preparado, de modo que +1 se registra en ${\textstyle \sigma _{x}}$ y luego se gira el aparato para medir ${\textstyle \sigma _{z}}$ Se cumple lo siguiente:

{\begin{aligned}\langle r|u\rangle &=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle u|+{\frac {1}{\sqrt {2}}}\langle d|\right)\cdot |u\rangle \\&=\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right)\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}

La amplitud de probabilidad de medir el giro ascendente viene dada por ${\estilo de texto \langle r|u\rangle }$ , ya que el sistema tenía el estado inicial ${\textstyle |r\rangle }$ . La probabilidad de medir ${\textstyle |u\rangle }$ es dado por

P(|u\rangle )=\langle r|u\rangle \langle u|r\rangle =\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}

Lo cual coincide con el experimento.

Normalización

En el ejemplo anterior, la medición debe dar $| H ⟩$ o $| V ⟩$ , por lo que la probabilidad total de medir $| H ⟩$ o $| V ⟩$ debe ser 1. Esto lleva a una restricción de que $α 2 + β 2 = 1$ ; más generalmente, la suma de los módulos al cuadrado de las amplitudes de probabilidad de todos los estados posibles es igual a uno . Si entendemos "todos los estados posibles" como una base ortonormal , lo cual tiene sentido en el caso discreto, entonces esta condición es la misma que la condición de norma 1 explicada anteriormente .

Siempre se puede dividir cualquier elemento no nulo de un espacio de Hilbert por su norma y obtener un vector de estado normalizado . Sin embargo $,$ no todas las funciones de onda pertenecen al espacio de Hilbert $L² (X)$ . Las funciones de onda que cumplen esta restricción se denominan normalizables .

La ecuación de Schrödinger , que describe los estados de las partículas cuánticas, tiene soluciones que describen un sistema y determinan con precisión cómo cambia el estado con el tiempo . Supongamos que una función de onda $ψ (x, t)$ describe la partícula (posición $x en un instante$ $t$ dado ). Una función de onda es de cuadrado integrable si

\int |\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =a^{2}<\infty .

Después de la normalización, la función de onda sigue representando el mismo estado y, por lo tanto, es igual por definición a ^{[ 5 ]}^{[ 6 ].}

\psi (\mathbf {x} ,t):={\frac {\psi (\mathbf {x} ,t)}{a}}.

Según la interpretación estándar de Copenhague , la función de onda normalizada proporciona amplitudes de probabilidad para la posición de la partícula. Por lo tanto, $ρ (x) = | ψ (x, t) | 2$ es una función de densidad de probabilidad y la probabilidad de que la partícula se encuentre en el volumen $V$ en un tiempo fijo $t$ viene dada por

P_{\mathbf {x} \in V}(t)=\int _ {V}|\psi (\mathbf {x} ,t)|^{2}\,\mathrm {d\mathbf {x} } =\int _ {V}\rho (\mathbf {x} )\,\mathrm {d\mathbf {x} } .

La función de densidad de probabilidad no varía con el tiempo, ya que la evolución de la función de onda está determinada por la ecuación de Schrödinger y, por lo tanto, es completamente determinista. ^{[ 7 ]} Esto es clave para comprender la importancia de esta interpretación: para una partícula dada con masa constante, $ψ$ inicial $($ $x$ $,$ $t$ $0$ $)$ y potencial , la ecuación de Schrödinger determina completamente las funciones de onda subsiguientes. Lo anterior proporciona entonces las probabilidades de las ubicaciones de la partícula en todos los instantes subsiguientes.

En el contexto del experimento de la doble rendija

Las amplitudes de probabilidad tienen una importancia especial porque, en mecánica cuántica, actúan como el equivalente de las probabilidades convencionales, con muchas leyes análogas, como se describió anteriormente. Por ejemplo, en el clásico experimento de la doble rendija , se disparan electrones aleatoriamente hacia dos rendijas, y se cuestiona la distribución de probabilidad de detectar electrones en todas las partes de una gran pantalla colocada detrás de las rendijas. Una respuesta intuitiva es que $P (a través de cualquiera de las rendijas) = P (a través de la primera rendija) + P (a través de la segunda rendija)$ , donde $P (evento)$ es la probabilidad de ese evento. Esto es obvio si se supone que un electrón pasa por cualquiera de las rendijas. Cuando no se instala ningún aparato de medición que determine por qué rendija viajan los electrones, la distribución de probabilidad observada en la pantalla refleja el patrón de interferencia común en las ondas de luz. Si se supone que la ley anterior es cierta, entonces este patrón no se puede explicar. No se puede decir que las partículas pasen por ninguna de las rendijas y la explicación simple no funciona. Sin embargo, la explicación correcta se basa en la asociación de amplitudes de probabilidad a cada evento. Las amplitudes complejas que representan el paso del electrón por cada rendija ( $ψ primera$ y $ψ segunda$ ) siguen la ley de la forma esperada: $ψ total = ψ primera + ψ segunda$ . Este es el principio de superposición cuántica . La probabilidad, que es el módulo al cuadrado de la amplitud de probabilidad, sigue entonces el patrón de interferencia bajo el requisito de que las amplitudes sean complejas: $P=\left|\psi _{\text{primero}}+\psi _{\text{segundo}}\right|^{2}=\left|\psi _{\text{primero}}\right|^{2}+\left|\psi _{\text{segundo}}\right|^{2}+2\left|\psi _{\text{primero}}\right|\left|\psi _{\text{segundo}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2}).$ Aquí, $\varphi _{1}$ y $\varphi _{2}$ son los argumentos de $ψ primero$ y $ψ segundo$ respectivamente. Una formulación puramente real tiene muy pocas dimensiones para describir el estado del sistema cuando se tiene en cuenta la superposición. Es decir, sin los argumentos de las amplitudes, no podemos describir la interferencia dependiente de la fase. El término crucial ${\textstyle 2\left|\psi _{\text{first}}\right|\left|\psi _{\text{second}}\right|\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$ Se denomina "término de interferencia", y este faltaría si hubiéramos añadido las probabilidades.

Sin embargo, se puede optar por diseñar un experimento en el que el experimentador observe por qué rendija pasa cada electrón. Entonces, debido al colapso de la función de onda , el patrón de interferencia no se observa en la pantalla.

Se puede ir más allá diseñando un experimento en el que el experimentador elimine esta "información sobre qué camino" mediante un "borrador cuántico" . Entonces, según la interpretación de Copenhague , el caso A se aplica de nuevo y se restablece el patrón de interferencia. ^{[ 8 ]}

Conservación de probabilidades y la ecuación de continuidad

Intuitivamente, dado que una función de onda normalizada permanece normalizada mientras evoluciona según la ecuación de onda, existirá una relación entre el cambio en la densidad de probabilidad de la posición de la partícula y el cambio en la amplitud en esas posiciones.

Defina la corriente de probabilidad (o flujo) $j$ como

\mathbf {j} ={\hbar \over m}{1 \over {2i}}\left(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*}\right)={\hbar \over m}\operatorname {Im} \left(\psi ^{*}\nabla \psi \right),

medido en unidades de (probabilidad)/(área × tiempo).

Entonces la corriente satisface la ecuación

\nabla \cdot \mathbf {j} +{\partial \over \partial t}|\psi |^{2}=0.

La densidad de probabilidad es $\rho =|\psi |^{2}$ Esta ecuación es precisamente la ecuación de continuidad , que aparece en muchas situaciones de física donde necesitamos describir la conservación local de cantidades. El mejor ejemplo se encuentra en la electrodinámica clásica, donde $j$ corresponde a la densidad de corriente correspondiente a la carga eléctrica, y la densidad es la densidad de carga. La ecuación de continuidad correspondiente describe la conservación local de cargas .

Sistemas compuestos

Para dos sistemas cuánticos con espacios $L 2 (X 1)$ y $L 2 (X 2)$ y estados dados $| Ψ 1 ⟩$ y $| Ψ 2 ⟩$ respectivamente, su estado combinado $| Ψ 1 ⟩ \otimes | Ψ 2 ⟩$ puede expresarse como $ψ 1 (x 1) ψ 2 (x 2)$ una función en $X 1 \times X 2$ , que da el producto de las medidas de probabilidad respectivas . En otras palabras, las amplitudes de un estado compuesto no entrelazado son productos de amplitudes originales, y los observables respectivos en los sistemas 1 y 2 se comportan en estos estados como variables aleatorias independientes . Esto refuerza la interpretación probabilística explicada anteriormente .

Amplitudes en operadores

El concepto de amplitudes también se utiliza en el contexto de la teoría de la dispersión , especialmente en forma de matrices S. Mientras que los módulos de los componentes vectoriales al cuadrado, para un vector dado, proporcionan una distribución de probabilidad fija, los módulos de los elementos de la matriz al cuadrado se interpretan como probabilidades de transición, al igual que en un proceso aleatorio. Del mismo modo que un vector unitario de dimensión finita especifica una distribución de probabilidad finita, una matriz unitaria de dimensión finita especifica probabilidades de transición entre un número finito de estados.

$La interpretación "transicional "$ también puede aplicarse a $L2 en espacios no discretos.$

Véase también

Notas

↑ El conjunto generador de un espacio de Hilbert no es suficiente para definir coordenadas, ya que las funciones de onda forman rayos en un espacio de Hilbert proyectivo (en lugar de un espacio de Hilbert ordinario). Véase: Marco proyectivo
↑ Simon 2005 , pág. 43.
↑ Teschl 2014 , págs. 114-119.
↑ de la Madrid Modino 2001 , pág. 97.
↑ Bäuerle y de Kerf 1990 , pág. 330.
↑ Véase también el teorema de Wigner.
↑ Zwiebach 2022 , pág. 170.
↑ Un experimento reciente de 2013 ofrece información sobre la interpretación física correcta de tales fenómenos. La información se puede obtener, pero entonces el electrón aparentemente pasó por todos los caminos posibles simultáneamente. (Ciertas interpretaciones realistas de la función de onda, similares a conjuntos , pueden presuponer tal coexistencia en todos los puntos de un orbital). Cf. Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "Momentum Transfer to a Free Floating Double Slit: Realization of a Thought Experiment from the Einstein-Bohr Debates" (PDF) . Physical Review Letters . 111 (10) 103201. Bibcode : 2013PhRvL.111j3201S . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.103201 . PMID 25166663 . S2CID 2725093 . Archivado del original (PDF) el 7 de marzo de 2019.

Referencias

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de la Madrid Modino, R. (2001). Mecánica cuántica en lenguaje de espacio de Hilbert con rigged (tesis doctoral). Universidad de Valladolid.
Feynman, RP; Leighton, RB; Sands, M. (1989). «Amplitudes de probabilidad» . Las conferencias de Feynman sobre física . Vol. 3. Redwood City: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51005-7.
Gudder, Stanley P. (1988). Probabilidad cuántica . San Diego: Prensa académica. ISBN 0-12-305340-4.
Simon, Barry (2005). Polinomios ortogonales en el círculo unitario. Parte 1. Teoría clásica . Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Americana. Vol. 54. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana . ISBN 978-0-8218-3446-6MR 2105088 .
Teschl, G. (2014). Métodos matemáticos en mecánica cuántica . Providence (RI): American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1704-8.
Zwiebach, Barton (2022). Dominar la mecánica cuántica . Cambridge, Masa: MIT Press. ISBN 978-0-262-04613-8.

[1] El conjunto generador de un espacio de Hilbert no es suficiente para definir coordenadas, ya que las funciones de onda forman rayos en un espacio de Hilbert proyectivo (en lugar de un espacio de Hilbert ordinario). Véase: Marco proyectivo

[FOOTNOTESimon200543-2] Simon 2005 , pág. 43.

[FOOTNOTETeschl2014114-119-3] Teschl 2014 , págs. 114-119.

[FOOTNOTEde_la_Madrid_Modino200197-4] Madrid Modino 2001 , pág. 97.

[FOOTNOTEBäuerlede_Kerf1990330-5] Bäuerle y de Kerf 1990 , pág. 330.

[6] Véase también el teorema de Wigner.

[FOOTNOTEZwiebach2022170-7] Zwiebach 2022 , pág. 170.

[8] Un experimento reciente de 2013 ofrece información sobre la interpretación física correcta de tales fenómenos. La información se puede obtener, pero entonces el electrón aparentemente pasó por todos los caminos posibles simultáneamente. (Ciertas interpretaciones realistas de la función de onda, similares a conjuntos , pueden presuponer tal coexistencia en todos los puntos de un orbital). Cf. Schmidt, L. Ph. H.; et al. (2013). "Momentum Transfer to a Free Floating Double Slit: Realization of a Thought Experiment from the Einstein-Bohr Debates" (PDF) . Physical Review Letters . 111 (10) 103201. Bibcode : 2013PhRvL.111j3201S . doi : 10.1103/PhysRevLett.111.103201 . PMID 25166663 . S2CID 2725093 . Archivado del original (PDF) el 7 de marzo de 2019.

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