función de onda

Todas estas ecuaciones de onda son de vital importancia. La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Pauli son, en muchas circunstancias, excelentes aproximaciones de las variantes relativistas. Son considerablemente más fáciles de resolver en problemas prácticos que sus contrapartes relativistas.

La ecuación de Klein-Gordon y la ecuación de Dirac , si bien son relativistas, no representan una reconciliación completa entre la mecánica cuántica y la relatividad especial. La rama de la mecánica cuántica donde estas ecuaciones se estudian de la misma manera que la ecuación de Schrödinger, a menudo llamada mecánica cuántica relativista , aunque muy exitosa, tiene sus limitaciones (véase, por ejemplo, el desplazamiento de Lamb ) y problemas conceptuales (véase, por ejemplo, el mar de Dirac ).

La relatividad hace inevitable que el número de partículas en un sistema no sea constante. Para una reconciliación completa, se necesita la teoría cuántica de campos . ^{[ 23 ]} En esta teoría, las ecuaciones de onda y las funciones de onda tienen su lugar, pero bajo una forma algo diferente. Los principales objetos de interés no son las funciones de onda, sino los operadores, los llamados operadores de campo (o simplemente campos donde se entiende "operador") en el espacio de Hilbert de estados (que se describirá en la siguiente sección). Resulta que las ecuaciones de onda relativistas originales y sus soluciones aún son necesarias para construir el espacio de Hilbert. Además, los operadores de campos libres , es decir, cuando se supone que no existen interacciones, resultan satisfacer (formalmente) la misma ecuación que los campos (funciones de onda) en muchos casos.

Así, la ecuación de Klein-Gordon (espín 0 ) y la ecuación de Dirac (espín 1/2 ) en esta forma permanecen en la teoría. Los análogos de espín superior incluyen la ecuación de Proca (espín 1 ), la ecuación de Rarita-Schwinger (espín 3/2 ) y, más generalmente, las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Para campos libres sin masa , dos ejemplos son la ecuación de Maxwell de campo libre (espín 1 ) y la ecuación de Einstein de campo libre (espín 2 ) para los operadores de campo. ^{[ 24 ]} Todas ellas son esencialmente una consecuencia directa del requisito de invariancia de Lorentz . Sus soluciones deben transformarse bajo la transformación de Lorentz de una manera prescrita, es decir, bajo una representación particular del grupo de Lorentz y eso junto con algunas otras demandas razonables, por ejemplo, la propiedad de descomposición de clúster , ^{[ 25 ]} con implicaciones para la causalidad es suficiente para fijar las ecuaciones.

Esto se aplica a las ecuaciones de campo libre; las interacciones no están incluidas. Si se dispone de una densidad lagrangiana (que incluya interacciones), el formalismo lagrangiano dará como resultado una ecuación de movimiento a nivel clásico. Esta ecuación puede ser muy compleja y no susceptible de solución. Cualquier solución se referiría a un número fijo de partículas y no daría cuenta del término "interacción" tal como se utiliza en estas teorías, que implica la creación y aniquilación de partículas y no potenciales externos como en la teoría cuántica ordinaria "de primera cuantización".

En la teoría de cuerdas , la situación sigue siendo análoga. Por ejemplo, una función de onda en el espacio de momentos tiene el papel de coeficiente de expansión de Fourier en un estado general de una partícula (cuerda) con un momento que no está definido con precisión. ^{[ 26 ]}

Las partículas clásicas, como las balas, los cohetes y los planetas, están localizadas espacialmente, y las ondas en el sentido clásico, como el sonido y las olas del océano, se propagan por grandes regiones espaciales. Sin embargo, la dualidad onda-partícula cuántica es una característica única de las partículas cuánticas. Por ejemplo, los átomos, localizados espacialmente, son estables debido a la existencia de ondas asociadas a los electrones del átomo. No existe consenso sobre la naturaleza de las ondas asociadas a las partículas cuánticas, pero sí sobre cómo calcular las expresiones matemáticas correspondientes a estas ondas. ^{[ 27 ]}

En mecánica cuántica no relativista, existe una onda asociada a una partícula cuántica de espín 0. Para obtener la expresión matemática correspondiente a esta onda de Schrödinger, se debe resolver la ecuación de onda de Schrödinger. Sin embargo, en mecánica cuántica relativista, se debe resolver una ecuación de onda relativista . Alternativamente, se podría resolver un par de ecuaciones de onda relativistas, pero similares a la de Schrödinger, para obtener las expresiones matemáticas de las dos ondas similares a la de Schrödinger asociadas a una partícula cuántica relativista de espín 0. ^{[ 27 ]}

No existe una onda asociada a una partícula clásica, pero sí una onda de Schrödinger asociada a una partícula cuántica no relativista de espín 0. Además, existen dos ondas de Schrödinger asociadas a una partícula cuántica relativista de espín 0. Las partículas cuánticas clásicas y no relativistas libres poseen energías cinéticas positivas. Sin embargo, una partícula cuántica relativista podría asociarse a una onda de tipo Schrödinger "ordinaria" en la que la partícula tiene energía cinética positiva, o bien a una onda de Schrödinger "extraordinaria" en la que la partícula tiene energía cinética negativa. ^{[ 27 ]}

La existencia de ondas de Schrödinger asociadas a una partícula determina las características cuánticas de dicha partícula. Si por alguna razón las ondas de Schrödinger desaparecen, la partícula pierde su naturaleza cuántica y se transforma en una partícula clásica. Se han propuesto varios ejemplos trascendentales de tales transiciones cuánticas a clásicas para explicar por qué los objetos macroscópicos que nos rodean parecen ser clásicos y estar compuestos únicamente de materia. Algunos ejemplos de las fronteras cuántico-clásicas son los siguientes: ^{[ 27 ]}

• La atracción electrostática entre el núcleo y los electrones en átomos pesados ​​puede colapsar la onda de Schrödinger ordinaria asociada a un electrón relativista. Esto explica por qué no existen átomos neutros con número atómico Z > 137.
• La gravedad puede colapsar la onda de Schrödinger ordinaria asociada a una partícula cuántica relativista con masa. Esto explica por qué los objetos macroscópicos son clásicos.
• La repulsión electrostática podría colapsar la extraordinaria onda de Schrödinger asociada a una antipartícula, pero esto no ocurre con las partículas cuánticas relativistas. Esto explica por qué no existe una tabla periódica para los antiátomos y por qué no existe vida compuesta de antimateria.

El estado de dicha partícula se describe completamente mediante su función de onda,$${\displaystyle \Psi (x,t)\,,}$$donde x es la posición y t es el tiempo. Esta es una función de valor complejo de dos variables reales x y t .

Para una partícula sin espín en una dimensión, si la función de onda se interpreta como una amplitud de probabilidad ; el módulo al cuadrado de la función de onda, el número real positivo $${\displaystyle \left|\Psi (x,t)\right|^{2}=\Psi ^{*}(x,t)\Psi (x,t)=\rho (x),}$$ se interpreta como la densidad de probabilidad para una medición de la posición de la partícula en un tiempo dado t . El asterisco indica el conjugado complejo . Si se mide la posición de la partícula , su ubicación no se puede determinar a partir de la función de onda, sino que se describe mediante una distribución de probabilidad .

La partícula también tiene una función de onda en el espacio de momentos : $${\displaystyle \Phi (p,t)}$$ donde p es el momento en una dimensión, que puede ser cualquier valor de −∞ a +∞ , y t es el tiempo.

De forma análoga al caso de la posición, el producto interno de dos funciones de onda Φ ₁ ( p , t ) y Φ ₂ ( p , t ) se puede definir como: $${\displaystyle (\Phi _{1},\Phi _{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\,\Phi _{1}^{*}(p,t)\Phi _{2}(p,t)dp\,.}$$

Una solución particular a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es $${\displaystyle \Psi _{p}(x)=e^{ipx/\hbar },}$$ una onda plana , que puede usarse en la descripción de una partícula con momento exactamente p , ya que es una autofunción del operador de momento . Estas funciones no son normalizables a la unidad (no son integrables al cuadrado), por lo que en realidad no son elementos del espacio de Hilbert físico. El conjunto $${\displaystyle \{\Psi _{p}(x,t),-\infty \leq p\leq \infty \}}$$ forma lo que se denomina la base de momento . Esta "base" no es una base en el sentido matemático habitual. Para empezar, dado que las funciones no son normalizables, se normalizan en su lugar a una función delta , ^{[ nb 4 ].}$${\displaystyle (\Psi _{p},\Psi _{p'})=\delta (p-p').}$$

Por otro lado, aunque son linealmente independientes, son demasiados (forman un conjunto incontable) para constituir una base para un espacio de Hilbert físico. Aun así, pueden utilizarse para expresar todas las funciones en él mediante transformadas de Fourier, como se describe a continuación.

Las representaciones x y p son $${\displaystyle {\begin{aligned}|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |x\rangle \langle x|\Psi \rangle dx=\int \Psi (x)|x\rangle dx,\\|\Psi \rangle =I|\Psi \rangle &=\int |p\rangle \langle p|\Psi \rangle dp=\int \Phi (p)|p\rangle dp.\end{aligned}}}$$

Ahora tome la proyección del estado Ψ sobre las funciones propias del momento utilizando la última expresión en las dos ecuaciones, $${\displaystyle \int \Psi (x)\langle p|x\rangle dx=\int \Phi (p')\langle p|p'\rangle dp'=\int \Phi (p')\delta (p-p')dp'=\Phi (p).}$$

Luego, utilizando la expresión conocida para los autoestados de momento adecuadamente normalizados en las soluciones de representación de posición de la ecuación de Schrödinger libre$${\displaystyle \langle x|p\rangle =p(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{{\frac {i}{\hbar }}px}\Rightarrow \langle p|x\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}e^{-{\frac {i}{\hbar }}px},}$$ uno obtiene $${\displaystyle \Phi (p)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Psi (x)e^{-{\frac {i}{\hbar }}px}dx\,.}$$

Asimismo, utilizando las funciones propias de posición, $${\displaystyle \Psi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int \Phi (p)e^{{\frac {i}{\hbar }}px}dp\,.}$$

Se ha comprobado que las funciones de onda en el espacio de posiciones y en el espacio de momentos son transformadas de Fourier una de la otra. ^{[ 31 ]} Son dos representaciones del mismo estado; contienen la misma información, y cualquiera de ellas es suficiente para calcular cualquier propiedad de la partícula.

En la práctica, la función de onda en el espacio de posiciones se usa con mucha más frecuencia que la función de onda en el espacio de momentos. El potencial que aparece en la ecuación correspondiente (Schrödinger, Dirac, etc.) determina en qué base es más sencilla la descripción. Para el oscilador armónico , x y p aparecen simétricamente, por lo que no importa qué descripción se utilice. Se obtiene la misma ecuación (salvo constantes). A partir de esto, con un poco de reflexión, se deduce que las soluciones de la ecuación de onda del oscilador armónico son autofunciones de la transformada de Fourier en L² . ^{[ nb 5 ]}

Aunque los espacios de Hilbert se refieren originalmente a espacios con producto interno completo de dimensión infinita, por definición también incluyen espacios con producto interno completo de dimensión finita. ^{[ 32 ]} En física, a menudo se les denomina espacios de Hilbert de dimensión finita . ^{[ 33 ]} Para cada espacio de Hilbert de dimensión finita existen kets de base ortonormales que abarcan todo el espacio de Hilbert.

Si el conjunto N -dimensional${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$Si es ortonormal, entonces el operador de proyección para el espacio generado por estos estados viene dado por:

$${\displaystyle P=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$$donde la proyección es equivalente al operador identidad ya que${\textstyle \{|\phi _{i}\rangle \}}$Esta relación abarca todo el espacio de Hilbert, dejando inalterados todos los vectores que lo componen. Esto también se conoce como la relación de completitud de un espacio de Hilbert de dimensión finita.

La función de onda viene dada, en cambio, por:

$${\displaystyle |\psi \rangle =I|\psi \rangle =\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle }$$dónde${\textstyle \{\langle \phi _{i}|\psi \rangle \}}$, es un conjunto de números complejos que se pueden utilizar para construir una función de onda utilizando la fórmula anterior.

La función de onda en el espacio de posiciones de una sola partícula sin espín en tres dimensiones espaciales es similar al caso de una dimensión espacial descrito anteriormente:$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$$donde r es el vector de posición en el espacio tridimensional y t es el tiempo. Como siempre, Ψ( r , t ) es una función de valores complejos de variables reales. Como un solo vector en notación de Dirac$${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,t)\,|\mathbf {r} \rangle }$$

Todas las observaciones anteriores sobre productos internos, funciones de onda en el espacio de momentos, transformadas de Fourier, etc., se extienden a dimensiones superiores.

Para una partícula con espín , ignorando los grados de libertad de posición, la función de onda es una función solo del espín (el tiempo es un parámetro); $${\displaystyle \xi (s_{z},t)}$$ donde s _z es el número cuántico de proyección de espín a lo largo del eje z . (El eje z es una elección arbitraria; se pueden usar otros ejes si la función de onda se transforma adecuadamente, véase más adelante). El parámetro s _z , a diferencia de r y t , es una variable discreta . Por ejemplo, para una partícula de espín 1/2 , s _z solo puede ser +1/2 o −1/2 , y ningún otro valor. (En general, para espín s , s _z puede ser s , s − 1, ..., −s + 1, −s ). Al insertar cada número cuántico se obtiene una función de valor complejo del espacio y el tiempo; hay 2 s + 1 de ellas. Estas se pueden organizar en un vector columna.

$${\displaystyle \xi ={\begin{bmatrix}\xi (s,t)\\\xi (s-1,t)\\\vdots \\\xi (-(s-1),t)\\\xi (-s,t)\\\end{bmatrix}}=\xi (s,t){\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (s-1,t){\begin{bmatrix}0\\1\\\vdots \\0\\0\\\end{bmatrix}}+\cdots +\xi (-(s-1),t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\\0\\\end{bmatrix}}+\xi (-s,t){\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\0\\1\\\end{bmatrix}}}$$

En la notación bra-ket , estos se organizan fácilmente en los componentes de un vector: $${\displaystyle |\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}=-s}^{s}\xi (s_{z},t)\,|s_{z}\rangle }$$

El vector completo ξ es una solución de la ecuación de Schrödinger (con un hamiltoniano adecuado), que se descompone en un sistema acoplado de 2s + 1 ecuaciones diferenciales ordinarias con soluciones ξ ( s , t ), ξ ( s − 1, t ), ..., ξ (−s , t ) . Algunos autores utilizan el término "función de espín" en lugar de "función de onda". Esto contrasta con las soluciones a las funciones de onda en el espacio de posiciones, donde las coordenadas de posición son grados de libertad continuos, ya que en ese caso la ecuación de Schrödinger sí adopta la forma de una ecuación de onda.

De forma más general, para una partícula en 3D con cualquier espín, la función de onda se puede escribir en el "espacio posición-espín" como: $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)}$$ y estos también se pueden organizar en un vector columna. $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\Psi (\mathbf {r} ,s,t)\\\Psi (\mathbf {r} ,s-1,t)\\\vdots \\\Psi (\mathbf {r} ,-(s-1),t)\\\Psi (\mathbf {r} ,-s,t)\\\end{bmatrix}}}$$ en la que la dependencia del espín se coloca en la indexación de las entradas, y la función de onda es una función vectorial compleja que depende únicamente del espacio y el tiempo.

Todos los valores de la función de onda, no solo para variables discretas sino también continuas, se agrupan en un único vector. $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)\,|\mathbf {r} ,s_{z}\rangle }$$

Para una sola partícula, el producto tensorial ⊗ de su vector de estado de posición | ψ ⟩ y su vector de estado de espín | ξ ⟩ da como resultado el vector de estado compuesto de posición-espín. $${\displaystyle |\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle =\sum _{s_{z}}\int d^{3}\!\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)\,|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$ con las identificaciones $${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =|\psi (t)\rangle \!\otimes \!|\xi (t)\rangle }$$$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,s_{z},t)=\psi (\mathbf {r} ,t)\,\xi (s_{z},t)}$$$${\displaystyle |\mathbf {r} ,s_{z}\rangle =|\mathbf {r} \rangle \!\otimes \!|s_{z}\rangle }$$

La factorización de productos tensoriales de los autoestados de energía siempre es posible si los momentos angulares orbital y de espín de la partícula son separables en el operador hamiltoniano subyacente a la dinámica del sistema (en otras palabras, el hamiltoniano puede dividirse en la suma de términos orbitales y de espín ^{[ 35 ]} ). La dependencia temporal puede colocarse en cualquiera de los factores, y la evolución temporal de cada uno puede estudiarse por separado. Bajo tales hamiltonianos, cualquier estado de producto tensorial evoluciona en otro estado de producto tensorial, lo que esencialmente significa que cualquier estado no entrelazado permanece no entrelazado bajo la evolución temporal. Se dice que esto sucede cuando no hay interacción física entre los estados de los productos tensoriales. En el caso de hamiltonianos no separables, se dice que los autoestados de energía son alguna combinación lineal de tales estados, que no necesariamente son factorizables; ejemplos incluyen una partícula en un campo magnético y el acoplamiento espín-órbita .

La discusión anterior no se limita al espín como variable discreta; también se puede utilizar el momento angular total J. ^{[ 36 ]} Otros grados de libertad discretos, como el isospín , se pueden expresar de manera similar al caso del espín anterior.

Si hay muchas partículas, en general solo hay una función de onda, no una función de onda separada para cada partícula. El hecho de que una función de onda describa muchas partículas es lo que hace posible el entrelazamiento cuántico y la paradoja EPR . La función de onda en el espacio de posiciones para N partículas se escribe: ^{[ 20 ]}$${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},t)}$$ donde r _i es la posición de la i -ésima partícula en el espacio tridimensional y t es el tiempo. En conjunto, se trata de una función de valores complejos de 3N + 1 variables reales.

En mecánica cuántica existe una distinción fundamental entre partículas idénticas y partículas distinguibles . Por ejemplo, dos electrones cualesquiera son idénticos y fundamentalmente indistinguibles entre sí; las leyes de la física hacen imposible "imprimir un número de identificación" en un electrón determinado para rastrearlo. ^{[ 31 ]} Esto se traduce en un requisito sobre la función de onda para un sistema de partículas idénticas: $${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots \right)}$$ donde el signo + aparece si todas las partículas son bosones y el signo − si todas son fermiones . En otras palabras, la función de onda es totalmente simétrica en las posiciones de los bosones o totalmente antisimétrica en las posiciones de los fermiones. ^{[ 37 ]} El intercambio físico de partículas corresponde a un intercambio matemático de argumentos en la función de onda. La característica de antisimetría de las funciones de onda fermiónicas conduce al principio de exclusión de Pauli . Generalmente, los requisitos de simetría bosónica y fermiónica son una manifestación de la estadística de partículas y están presentes en otros formalismos de estados cuánticos.

Para N partículas distinguibles (no hay dos idénticas , es decir, no hay dos que tengan el mismo conjunto de números cuánticos), no es necesario que la función de onda sea simétrica o antisimétrica.

Para un conjunto de partículas, algunas idénticas con coordenadas r ₁ , r ₂ , ... y otras distinguibles x ₁ , x ₂ , ... (no idénticas entre sí, ni idénticas a las partículas idénticas mencionadas anteriormente), la función de onda es simétrica o antisimétrica solo en las coordenadas de partículas idénticas r _{i :}$${\displaystyle \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)=\pm \Psi \left(\ldots \mathbf {r} _{b},\ldots ,\mathbf {r} _{a},\ldots ,\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots \right)}$$

Nuevamente, no hay ningún requisito de simetría para las coordenadas de partículas distinguibles x _i .

La función de onda para N partículas, cada una con espín, es la función de valor complejo. $${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1},s_{z\,2}\cdots s_{z\,N},t)}$$

Acumulando todos estos componentes en un solo vector,

$${\displaystyle |\Psi \rangle =\overbrace {\sum _{s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}}} ^{\text{discrete labels}}\overbrace {\int _{R_{N}}d^{3}\mathbf {r} _{N}\cdots \int _{R_{1}}d^{3}\mathbf {r} _{1}} ^{\text{continuous labels}}\;\underbrace {{\Psi }(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N})} _{\begin{array}{c}{\text{wave function (component of }}\\{\text{ state vector along basis state)}}\end{array}}\;\underbrace {|\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},s_{z\,1},\ldots ,s_{z\,N}\rangle } _{\text{basis state (basis ket)}}\,.}$$

Para partículas idénticas, los requisitos de simetría se aplican tanto a los argumentos de posición como de espín de la función de onda, de modo que esta tenga la simetría global correcta.

Las fórmulas para los productos internos son integrales sobre todas las coordenadas o momentos y sumas sobre todos los números cuánticos de espín. Para el caso general de N partículas con espín en 3-d, $${\displaystyle (\Psi _{1},\Psi _{2})=\sum _{s_{z\,N}}\cdots \sum _{s_{z\,2}}\sum _{s_{z\,1}}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{1}\int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{2}\cdots \int \limits _{\mathrm {all\,space} }d^{3}\mathbf {r} _{N}\Psi _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)\Psi _{2}\left(\mathbf {r} _{1}\cdots \mathbf {r} _{N},s_{z\,1}\cdots s_{z\,N},t\right)}$$ Esto es en total N integrales de volumen tridimensionales y N sumas sobre los espines. Los elementos de volumen diferenciales d ³ r _i también se escriben " dV _i " o " dx _i dy _i dz _i ".

Las transformadas de Fourier multidimensionales de las funciones de onda del espacio de posición o de posición-espín producen funciones de onda del espacio de momento o de momento-espín.

One of the most prominent features of wave mechanics is the possibility for a particle to reach a location with a prohibitive (in classical mechanics) force potential. A common model is the "potential barrier", the one-dimensional case has the potential $${\displaystyle V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{cases}}}$$ and the steady-state solutions to the wave equation have the form (for some constants k, κ) $${\displaystyle \Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x<-a,\\B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l} }e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} }e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{cases}}}$$

Note that these wave functions are not normalized; see scattering theory for discussion.

The standard interpretation of this is as a stream of particles being fired at the step from the left (the direction of negative x): setting A_r = 1 corresponds to firing particles singly; the terms containing A_r and C_r signify motion to the right, while A_l and C_l – to the left. Under this beam interpretation, put C_l = 0 since no particles are coming from the right. By applying the continuity of wave functions and their derivatives at the boundaries, it is hence possible to determine the constants above.

En un cristalito semiconductor cuyo radio es menor que el radio de Bohr de su excitón , los excitones se comprimen, lo que da lugar al confinamiento cuántico . Los niveles de energía pueden modelarse entonces utilizando el modelo de partícula en una caja, en el que la energía de los diferentes estados depende de la longitud de la caja.

Las funciones de onda para el oscilador armónico cuántico se pueden expresar en términos de polinomios de Hermite H _n , que son: $${\displaystyle \Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}{\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)}}$$ donde n = 0, 1, 2, ... .

Las funciones de onda de un electrón en un átomo de hidrógeno se expresan en términos de armónicos esféricos y polinomios de Laguerre generalizados (estos se definen de manera diferente por distintos autores; véase el artículo principal sobre ellos y el átomo de hidrógeno).

Es conveniente utilizar coordenadas esféricas, y la función de onda se puede separar en funciones de cada coordenada, ^{[ 40 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )}$$ donde R son funciones radiales y Y ^m _ℓ ( θ , φ ) son armónicos esféricos de grado ℓ y orden m . Este es el único átomo para el cual la ecuación de Schrödinger se ha resuelto exactamente. Los átomos multielectrónicos requieren métodos aproximados. La familia de soluciones es: ^{[ 41 ]}$${\displaystyle \Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right)\cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )}$$ where a₀ = 4πε₀ħ²/m_ee² is the Bohr radius, L^{2ℓ + 1}_{n − ℓ − 1} are the generalized Laguerre polynomials of degree n − ℓ − 1, n = 1, 2, ... is the principal quantum number, ℓ = 0, 1, ..., n − 1 the azimuthal quantum number, m = −ℓ, −ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓ the magnetic quantum number. Hydrogen-like atoms have very similar solutions.

This solution does not take into account the spin of the electron.

In the figure of the hydrogen orbitals, the 19 sub-images are images of wave functions in position space (their norm squared). The wave functions represent the abstract state characterized by the triple of quantum numbers (n, ℓ, m), in the lower right of each image. These are the principal quantum number, the orbital angular momentum quantum number, and the magnetic quantum number. Together with one spin-projection quantum number of the electron, this is a complete set of observables.

The figure can serve to illustrate some further properties of the function spaces of wave functions.

• In this case, the wave functions are square integrable. One can initially take the function space as the space of square integrable functions, usually denoted L².
• The displayed functions are solutions to the Schrödinger equation. Obviously, not every function in L² satisfies the Schrödinger equation for the hydrogen atom. The function space is thus a subspace of L².
• The displayed functions form part of a basis for the function space. To each triple (n, ℓ, m), there corresponds a basis wave function. If spin is taken into account, there are two basis functions for each triple. The function space thus has a countable basis.
• The basis functions are mutually orthonormal.

Una función de onda es un elemento de un espacio de funciones caracterizado en parte por las siguientes descripciones concretas y abstractas.

• La ecuación de Schrödinger es lineal. Esto significa que sus soluciones, las funciones de onda, pueden sumarse y multiplicarse por escalares para formar una nueva solución. El conjunto de soluciones de la ecuación de Schrödinger constituye un espacio vectorial.
• El principio de superposición de la mecánica cuántica. Si Ψ y Φ son dos estados en el espacio abstracto de estados de un sistema cuántico, y a y b son dos números complejos cualesquiera, entonces a Ψ + b Φ también es un estado válido. (Que el vector nulo se considere un estado válido ("no hay sistema presente") es una cuestión de definición. El vector nulo no describe en ningún caso el estado de vacío en la teoría cuántica de campos). El conjunto de estados permitidos es un espacio vectorial.

Esta similitud, por supuesto, no es casual. También hay diferencias entre los espacios que conviene tener en cuenta.

Los estados básicos se caracterizan por un conjunto de números cuánticos. Este conjunto corresponde a los autovalores de un conjunto maximal de observables conmutativos . Los observables físicos se representan mediante operadores lineales, también llamados observables, en el espacio vectorial. La maximalidad implica que no se pueden añadir al conjunto más observables algebraicamente independientes que conmuten con los ya presentes. La elección de dicho conjunto se denomina elección de representación .

• Es un postulado de la mecánica cuántica que una magnitud físicamente observable de un sistema, como la posición, el momento o el espín, se representa mediante un operador hermitiano lineal en el espacio de estados. Los posibles resultados de la medición de la magnitud son los autovalores del operador. ^{[ 18 ]} En un nivel más profundo, la mayoría de las observables, quizás todas, surgen como generadores de simetrías . ^{[ 18 ] [ 42 ] [ nb 6 ]}
• La interpretación física es que dicho conjunto representa lo que, en teoría, puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. La relación de incertidumbre de Heisenberg prohíbe las mediciones exactas simultáneas de dos observables que no conmutan.
• _{El conjunto no es único. Para un sistema de} una partícula, por ejemplo, puede ser la proyección de posición y espín en _el eje z , ( x , Sz ) , o la proyección de momento y espín en el eje y , ( p , Sy ) . En este caso, el operador correspondiente a la posición (un operador de multiplicación en la representación de posición) y el operador correspondiente al momento (un operador diferencial en la representación de posición) no conmutan.
• Una vez elegida una representación, aún existe cierta arbitrariedad. Queda por elegir un sistema de coordenadas. Esto puede corresponder, por ejemplo, a la elección de los ejes x , y y z , o a la elección de coordenadas curvilíneas , como las coordenadas esféricas utilizadas para las funciones de onda atómicas del hidrógeno. Esta elección final también fija una base en el espacio de Hilbert abstracto. Los estados básicos se etiquetan mediante los números cuánticos correspondientes al conjunto máximo de observables conmutativos y un sistema de coordenadas apropiado. ^{[ nb 7 ]}

Los estados abstractos son "abstractos" solo en el sentido de que no se proporciona una elección arbitraria necesaria para una descripción explícita particular de ellos. Esto es equivalente a decir que no se ha proporcionado ninguna elección de conjunto máximo de observables conmutativos. Esto es análogo a un espacio vectorial sin una base especificada. Por consiguiente, las funciones de onda correspondientes a un estado no son únicas. Esta falta de unicidad refleja la falta de unicidad en la elección de un conjunto máximo de observables conmutativos. Para una partícula de espín en una dimensión, a un estado particular le corresponden dos funciones de onda, Ψ( x , S _z ) y Ψ( p , S _y ) , que describen el mismo estado.

• Para cada elección de conjuntos máximos de observables que conmutan para el espacio de estados abstracto, existe una representación correspondiente que está asociada a un espacio de funciones de onda.
• Entre todos estos diferentes espacios de funciones y el espacio de estados abstracto, existen correspondencias biunívocas (aquí sin tener en cuenta la normalización ni los factores de fase no observables), cuyo denominador común es un estado abstracto particular. La relación entre las funciones de onda del espacio de momento y de posición, por ejemplo, que describen el mismo estado, es la transformada de Fourier .

Cada elección de representación debe considerarse como la especificación de un espacio funcional único en el que residen las funciones de onda correspondientes a dicha representación. Es conveniente mantener esta distinción, incluso si se pudiera argumentar que dos de estos espacios funcionales son matemáticamente iguales, por ejemplo, el conjunto de funciones de cuadrado integrable. En ese caso, se pueden considerar los espacios funcionales como dos copias distintas de dicho conjunto.

Existe una estructura algebraica adicional en los espacios vectoriales de las funciones de onda y en el espacio de estados abstracto.

• Físicamente, se interpreta que las diferentes funciones de onda se superponen en cierta medida. Un sistema en un estado Ψ que no _se superpone con un estado Φ no puede encontrarse en el estado Φ al ser medido. Pero si Φ₁ , Φ₂ _, … se superponen con Ψ en cierta medida, existe la posibilidad de que la medición de un sistema descrito por Ψ se encuentre en los estados Φ₁ , Φ₂ _, … . También se observan reglas de selección . Estas se formulan generalmente en términos de la conservación de ciertos números cuánticos. Esto significa que ciertos procesos admisibles desde algunas perspectivas (por ejemplo _, la conservación de la energía y el momento) no ocurren porque las funciones de onda totales inicial y final no se superponen.
• Matemáticamente, resulta que las soluciones de la ecuación de Schrödinger para potenciales particulares son ortogonales de alguna manera, lo que generalmente se describe mediante una integral.$${\displaystyle \int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},}$$donde m y n son (conjuntos de) índices (números cuánticos) que identifican diferentes soluciones, la función estrictamente positiva w se denomina función de ponderación y δmn es la delta de Kronecker _. La integración se realiza sobre todo el espacio relevante.

Esto motiva la introducción de un producto interno en el espacio vectorial de estados cuánticos abstractos, compatible con las observaciones matemáticas anteriores al pasar a una representación. Se denota (Ψ, Φ) , o en la notación Bra-ket ⟨ Ψ | Φ ⟩ . Produce un número complejo. Con el producto interno, el espacio de funciones es un espacio de producto interno . La aparición explícita del producto interno (generalmente una integral o una suma de integrales) depende de la elección de la representación, pero el número complejo (Ψ, Φ) no. Gran parte de la interpretación física de la mecánica cuántica proviene de la regla de Born . Esta establece que la probabilidad p de encontrar al medir el estado Φ dado que el sistema está en el estado Ψ es $${\displaystyle p=|(\Phi ,\Psi )|^{2},}$$ donde Φ y Ψ se consideran normalizados. Consideremos un experimento de dispersión . En la teoría cuántica de campos, si Φ _out describe un estado en el "futuro lejano" (un "estado out") después de que cesan las interacciones entre las partículas dispersoras, y Ψ _in un "estado in" en el "pasado lejano", entonces las cantidades (Φ _out , Ψ _in ) , con Φ _out y Ψ _in variando sobre un conjunto completo de estados in y out respectivamente, se denominan matriz S o matriz de dispersión . Conocerla equivale, efectivamente, a haber resuelto la teoría en cuestión, al menos en lo que respecta a las predicciones. A partir de la matriz S se pueden calcular cantidades medibles como las tasas de desintegración y las secciones transversales de dispersión . ^{[ 43 ]}

Las observaciones anteriores resumen la esencia de los espacios de funciones de los cuales las funciones de onda son elementos. Sin embargo, la descripción aún no está completa. Existe un requisito técnico adicional para el espacio de funciones, el de completitud , que permite tomar límites de secuencias en el espacio de funciones y tener la seguridad de que, si el límite existe, es un elemento del espacio de funciones. Un espacio con producto interno completo se denomina espacio de Hilbert . La propiedad de completitud es crucial en tratamientos avanzados y aplicaciones de la mecánica cuántica. Por ejemplo, la existencia de operadores de proyección o proyecciones ortogonales depende de la completitud del espacio. ^{[ 44 ]} Estos operadores de proyección, a su vez, son esenciales para el enunciado y la demostración de muchos teoremas útiles, por ejemplo, el teorema espectral . No es muy importante en la mecánica cuántica introductoria, y los detalles técnicos y los enlaces pueden encontrarse en notas a pie de página como la que sigue. ^{[ nb 8 ]} El espacio L ² es un espacio de Hilbert, con producto interno presentado más adelante. El espacio de funciones del ejemplo de la figura es un subespacio de L ² . Un subespacio de un espacio de Hilbert es un espacio de Hilbert si es cerrado.

En resumen, el conjunto de todas las posibles funciones de onda normalizables para un sistema con una elección particular de base, junto con el vector nulo, constituyen un espacio de Hilbert.

No todas las funciones de interés son elementos de algún espacio de Hilbert, por ejemplo ^L² . El ejemplo más evidente es el conjunto de funciones e²πi ^{p · x / h} . Estas son soluciones de onda plana de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre que no son normalizables, por lo tanto, no pertenecen a ^L² . Sin embargo ^, son fundamentales para la descripción. Se pueden usar para expresar funciones normalizables mediante paquetes de ondas . Son, en cierto sentido, una base (pero no una base de espacio de Hilbert, ni una ^base de Hamel ) en la que se pueden expresar las funciones de onda de interés. También existe el recurso de "normalización a una función delta" que se emplea con frecuencia por conveniencia notacional (véase más adelante). Las funciones delta tampoco son integrables al cuadrado.

La descripción anterior del espacio de funciones que contiene las funciones de onda tiene principalmente una motivación matemática. Los espacios de funciones son, debido a su completitud, muy grandes en cierto sentido. No todas las funciones son descripciones realistas de ningún sistema físico. Por ejemplo, en el espacio de funciones L² se puede encontrar la función que toma el valor 0 para todos los números racionales y -i para los irracionales en el intervalo [0, 1] . Esta función es ^de cuadrado integrable, ^{[ nb 9 ]} pero difícilmente puede representar un estado físico.

Si bien el espacio de soluciones en su conjunto es un espacio de Hilbert, existen muchos otros espacios de Hilbert que suelen aparecer como ingredientes.

• Funciones de valor complejo integrables al cuadrado en el intervalo [ 0, 2 π ] . El conjunto { e ^int /2 π , n ∈ Z } es una base de espacio de Hilbert, es decir, un conjunto ortonormal maximal.
• La transformada de Fourier transforma las funciones del espacio anterior en elementos de l ² ( Z ) , el espacio de funciones sumables al cuadrado Z → C . Este último espacio es un espacio de Hilbert y la transformada de Fourier es un isomorfismo de espacios de Hilbert. ^{[ nb 10 ]} Su base es { e _i , i ∈ Z } con e _i ( j ) = δ _ij , i , j ∈ Z .
• El ejemplo más básico de polinomios generadores se encuentra en el espacio de funciones de cuadrado integrable en el intervalo [ –1, 1 ] para el cual los polinomios de Legendre son una base de espacio de Hilbert (conjunto ortonormal completo).
• Las funciones de cuadrado integrable en la esfera unitaria S² constituyen un espacio de Hilbert. En este caso ^, las funciones base son los armónicos esféricos . Los polinomios de Legendre son componentes de los armónicos esféricos. La mayoría de los problemas con simetría rotacional tendrán la misma solución (conocida) respecto a dicha simetría, por lo que el problema original se reduce a un problema de menor dimensionalidad.
• Los polinomios de Laguerre asociados aparecen en el problema de la función de onda hidrogenómica después de factorizar los armónicos esféricos. Estos abarcan el espacio de Hilbert de funciones de cuadrado integrable en el intervalo semiinfinito [ 0, ∞) .

En términos más generales, se puede considerar un tratamiento unificado de todas las soluciones polinómicas de segundo orden de las ecuaciones de Sturm-Liouville en el contexto del espacio de Hilbert. Estas incluyen los polinomios de Legendre y Laguerre, así como los polinomios de Chebyshev , Jacobi y Hermite . Todos ellos aparecen en problemas físicos, los últimos en el oscilador armónico , y lo que de otro modo sería un laberinto desconcertante de propiedades de funciones especiales se convierte en un conjunto organizado de hechos. Para más información, véase Byron y Fuller (1992 , capítulo 5) .

También existen espacios de Hilbert de dimensión finita. El espacio C ⁿ es un espacio de Hilbert de dimensión n . El producto interno es el producto interno estándar en estos espacios. En él reside la "parte de espín" de la función de onda de una partícula individual.

• En la descripción no relativista de un electrón se tiene n = 2 y la función de onda total es una solución de la ecuación de Pauli .
• En el tratamiento relativista correspondiente, n = 4 y la función de onda resuelve la ecuación de Dirac .

Con más partículas, la situación se complica. Es necesario emplear productos tensoriales y utilizar la teoría de representación de los grupos de simetría involucrados (el grupo de rotación y el grupo de Lorentz, respectivamente) para extraer del producto tensorial los espacios en los que residen las funciones de onda de espín (total). (Surgen problemas adicionales en el caso relativista, a menos que las partículas sean libres. ^{[ 45 ]} Véase la ecuación de Bethe-Salpeter ). Observaciones similares se aplican al concepto de isospín , para el cual el grupo de simetría es SU(2) . Los modelos de las fuerzas nucleares de los años sesenta (aún útiles hoy en día, véase fuerza nuclear ) utilizaron el grupo de simetría SU(3) . En este caso, también, la parte de las funciones de onda correspondiente a las simetrías internas reside en algún C ⁿ o subespacios de productos tensoriales de dichos espacios.

• En la teoría cuántica de campos, el espacio de Hilbert subyacente es el espacio de Fock . Este se construye a partir de estados libres de una sola partícula, es decir, funciones de onda cuando se elige una representación, y puede albergar cualquier número finito de partículas, no necesariamente constante en el tiempo. La dinámica interesante (o más bien tratable ) no reside en las funciones de onda, sino en los operadores de campo que actúan sobre el espacio de Fock. Por lo tanto, la representación de Heisenberg es la opción más común (estados constantes, operadores variables en el tiempo).

Debido a la naturaleza de dimensión infinita del sistema, las herramientas matemáticas apropiadas son objeto de estudio en el análisis funcional .

No todos los libros de texto introductorios siguen el camino largo e introducen toda la maquinaria del espacio de Hilbert, pero se centran en la ecuación de Schrödinger no relativista en representación de posición para ciertos potenciales estándar. A veces se formulan explícitamente las siguientes restricciones sobre la función de onda para que los cálculos y la interpretación física tengan sentido: ^{[ 46 ] [ 47 ]}

• La función de onda debe ser de cuadrado integrable . Esto se basa en la interpretación de Copenhague de la función de onda como una amplitud de probabilidad.
• Debe ser continua y diferenciable en todas partes . Esto se justifica por la aparición de la ecuación de Schrödinger para la mayoría de los potenciales físicamente razonables.

Es posible relajar estas condiciones un poco para fines especiales. ^{[ nb 11 ]} Si no se cumplen estos requisitos, no es posible interpretar la función de onda como una amplitud de probabilidad. ^{[ 48 ]} Nótese que pueden surgir excepciones a la regla de continuidad de las derivadas en puntos de discontinuidad infinita del campo potencial. Por ejemplo, en una partícula en una caja donde la derivada de la función de onda puede ser discontinua en el límite de la caja donde se sabe que el potencial tiene una discontinuidad infinita.

Esto no altera la estructura del espacio de Hilbert que habitan estas funciones de onda particulares, pero el subespacio de las funciones de cuadrado integrable ^L² , que es un espacio de Hilbert, que satisface el segundo requisito no es cerrado en L² , por lo tanto ^, no es un espacio de Hilbert en sí mismo. ^{[ nb 12 ]} Las funciones que no cumplen los requisitos siguen siendo necesarias por razones tanto técnicas como prácticas. ^{[ nb 13 ] [ nb 14 ]}