Cuantización canónica

En física , la cuantización canónica es un procedimiento para cuantizar una teoría clásica , intentando preservar la estructura formal, como las simetrías , de la teoría clásica en la mayor medida posible.

Históricamente, este no fue exactamente el camino que siguió Werner Heisenberg para obtener la mecánica cuántica , pero Paul Dirac lo introdujo en su tesis doctoral de 1926, el "método de analogía clásica" para la cuantización, ^{[ 1 ]} y lo detalló en su texto clásico Principios de mecánica cuántica . ^{[ 2 ]} La palabra canónico surge del enfoque hamiltoniano de la mecánica clásica, en el que la dinámica de un sistema se genera mediante corchetes de Poisson canónicos , una estructura que solo se conserva parcialmente en la cuantización canónica.

Este método fue utilizado posteriormente por Paul Dirac en el contexto de la teoría cuántica de campos , en la construcción de la electrodinámica cuántica . En el ámbito de la teoría de campos, también se le denomina segunda cuantización de campos, en contraposición a la primera cuantización semiclasica de partículas individuales.

Historia

Cuando se desarrolló por primera vez, la física cuántica solo se ocupaba de la cuantización del movimiento de las partículas, dejando el campo electromagnético como clásico , de ahí el nombre de mecánica cuántica . ^{[ 3 ]}

Más tarde, el campo electromagnético también se cuantizó, e incluso las partículas mismas pasaron a representarse mediante campos cuantizados, lo que dio lugar al desarrollo de la electrodinámica cuántica (QED) y la teoría cuántica de campos en general. ^{[ 4 ]} Así, por convención, la forma original de la mecánica cuántica de partículas se denomina primera cuantización , mientras que la teoría cuántica de campos se formula en el lenguaje de la segunda cuantización .

Primera cuantización

Sistemas de partículas individuales

La siguiente exposición se basa en el tratado de Dirac sobre mecánica cuántica. ^{[ 2 ]} En la mecánica clásica de una partícula, existen variables dinámicas llamadas coordenadas ( $x$ ) y momentos ( $p$ ). Estas especifican el estado de un sistema clásico. La estructura canónica (también conocida como estructura simpléctica ) de la mecánica clásica consiste en corchetes de Poisson que encierran estas variables, como ${x, p} = 1$ . Todas las transformaciones de variables que preservan estos corchetes están permitidas como transformaciones canónicas en la mecánica clásica. El movimiento mismo es una de estas transformaciones canónicas.

Por el contrario, en mecánica cuántica , todas las características significativas de una partícula están contenidas en un estado $|\psi \rangle$ , llamado estado cuántico . Los observables se representan mediante operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert de dichos estados cuánticos .

El valor propio de un operador que actúa sobre uno de sus estados propios representa el valor de una medición en la partícula así representada. Por ejemplo, la energía se lee mediante el operador hamiltoniano . ${\hat {H}}$ actuando en un estado $|\psi _{n}\rangle$ , produciendo ${\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ donde $E n$ es la energía característica asociada a esta $|\psi _{n}\rangle$ autoestado .

Cualquier estado podría representarse como una combinación lineal de autoestados de energía; por ejemplo, $|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}|\psi _{n}\rangle ,$ donde $a y n$ son coeficientes constantes.

Al igual que en la mecánica clásica, todos los operadores dinámicos pueden representarse mediante funciones de los operadores de posición y momento. ${\hat {X}}$ y ${\hat {P}}$ , respectivamente. La conexión entre esta representación y la representación de función de onda más habitual viene dada por el autoestado del operador de posición. ${\hat {X}}$ representando una partícula en la posición $x$ , que se denota por un elemento $|x\rangle$ en el espacio de Hilbert, y que satisface ${\hat {X}}|x\rangle =x|x\rangle$ . Entonces, $\psi (x)=\langle x|\psi \rangle$ .

Asimismo, los autoestados $|p\rangle$ del operador de momento ${\hat {P}}$ Especificar la representación del momento : $\psi (p)=\langle p|\psi \rangle$ .

La relación central entre estos operadores es un análogo cuántico del corchete de Poisson anterior de la mecánica clásica, la relación de conmutación canónica , $[{\hat {X}},{\hat {P}}]={\hat {X}}{\hat {P}}-{\hat {P}}{\hat {X}}=i\hbar .$

Esta relación codifica (y conduce formalmente a) el principio de incertidumbre , en la forma $Δ x Δ p \geq ħ /2$ . Esta estructura algebraica puede considerarse, por lo tanto, como el análogo cuántico de la estructura canónica de la mecánica clásica.

sistemas de muchas partículas

Al considerar sistemas de muchas partículas, es decir, sistemas que contienen N partículas idénticas (partículas caracterizadas por los mismos números cuánticos como masa , carga y espín ), es necesario extender la función de estado de una sola partícula. $\psi (\mathbf {r} )$ a la función de estado de N partículas $\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\dots ,\mathbf {r} _{N})$ Una diferencia fundamental entre la mecánica clásica y la cuántica radica en el concepto de indistinguibilidad de partículas idénticas. Por lo tanto, en física cuántica solo son posibles dos tipos de partículas: los llamados bosones y fermiones , que obedecen las siguientes reglas para cada tipo de partícula:

para bosones: $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=+\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$
para fermiones: $\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{N})=-\psi (\mathbf {r} _{1},\dots ,\mathbf {r} _{k},\dots ,\mathbf {r} _{j},\dots ,\mathbf {r} _{N}),$

donde hemos intercambiado dos coordenadas $(\mathbf {r} _{j},\mathbf {r} _{k})$ de la función de estado . La función de onda usual se obtiene utilizando el determinante de Slater y la teoría de partículas idénticas . Utilizando esta base, es posible resolver diversos problemas de muchas partículas.

Problemas y limitaciones

Corchetes clásicos y cuánticos

El libro de Dirac ^{[ 2 ]} detalla su popular regla de sustituir los corchetes de Poisson por conmutadores :

$\{A,B\}\longmapsto {\tfrac {1}{i\hbar }}[{\hat {A}},{\hat {B}}]~.$

Esta propuesta podría interpretarse como una indicación de que deberíamos buscar un "mapa de cuantización". $Q$ mapeo de una función $f$ en el espacio de fase clásico a un operador $Q_{f}$ en el espacio de Hilbert cuántico tal que $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ Ahora se sabe que no existe ningún mapa de cuantización razonable que satisfaga exactamente la identidad anterior para todas las funciones. $f$ y $g$ .

Teorema de Groenewold

Una versión concreta de la afirmación de imposibilidad anterior es el teorema de Groenewold (en honor al físico teórico holandés Hilbrand J. Groenewold ), que describimos para un sistema con un grado de libertad por simplicidad. Aceptemos las siguientes "reglas básicas" para el mapa. $Q$ . Primero, $Q$ debe enviar la función constante 1 al operador identidad. Segundo, $Q$ debería tomar $x$ y $p$ a los operadores de posición y momento habituales $X$ y $P$ . Tercero, $Q$ debería tomar un polinomio en $x$ y $p$ a un "polinomio" en $X$ y $P$ , es decir, una combinación lineal finita de productos de $X$ y $P$ , que pueden tomarse en cualquier orden deseado. En su forma más simple, el teorema de Groenewold dice que no hay ningún mapa que satisfaga las reglas básicas anteriores y también la condición de corchete. $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ para todos los polinomios $f$ y $g$ .

En realidad, la inexistencia de tal aplicación ocurre ya cuando llegamos a polinomios de grado cuatro. Nótese que el corchete de Poisson de dos polinomios de grado cuatro tiene grado seis, por lo que no tiene mucho sentido exigir que una aplicación en polinomios de grado cuatro respete la condición del corchete. Sin embargo, podemos exigir que la condición del corchete se cumpla cuando $f$ y $g$ tienen grado tres. El teorema de Groenewold ^{[ 5 ]} se puede enunciar de la siguiente manera:

Teorema : No existe un mapa de cuantización. $Q$ (siguiendo las reglas básicas anteriores) sobre polinomios de grado menor o igual a cuatro que satisfacen $Q_{\{f,g\}}={\frac {1}{i\hbar }}[Q_{f},Q_{g}]$ cuando sea $f$ y $g$ tener grado menor o igual a tres. (Tenga en cuenta que en este caso, $\{f,g\}$ tiene un grado menor o igual a cuatro.)

La demostración se puede esbozar de la siguiente manera. ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]} Supongamos que primero intentamos encontrar una aplicación de cuantización en polinomios de grado menor o igual a tres que satisfaga la condición de corchete siempre que $f$ tiene grado menor o igual a dos y $g$ tiene grado menor o igual a dos. Entonces hay precisamente un mapa de este tipo, y es la cuantización de Weyl . El resultado de imposibilidad ahora se obtiene escribiendo el mismo polinomio de grado cuatro como un corchete de Poisson de polinomios de grado tres de dos maneras diferentes . Específicamente, tenemos $x^{2}p^{2}={\frac {1}{9}}\{x^{3},p^{3}\}={\frac {1}{3}}\{x^{2}p,xp^{2}\}$ Por otro lado, ya hemos visto que si va a haber una aplicación de cuantización en polinomios de grado tres, debe ser la cuantización de Weyl; es decir, ya hemos determinado la única cuantización posible de todos los polinomios cúbicos anteriores.

El argumento se termina calculando por fuerza bruta que ${\frac {1}{9}}[Q(x^{3}),Q(p^{3})]$ no coincide con ${\frac {1}{3}}[Q(x^{2}p),Q(xp^{2})].$ Por lo tanto, tenemos dos requisitos incompatibles para el valor de $Q(x^{2}p^{2})$ .

Axiomas para la cuantización

Si $Q$ representa el mapa de cuantización que actúa sobre las funciones $f$ en el espacio de fase clásico, entonces las siguientes propiedades se consideran generalmente deseables: ^{[ 8 ]}

$Q_{x}\psi =x\psi$ y $Q_{p}\psi =-i\hbar \partial _{x}\psi ~~$ (operadores elementales de posición/momento)
$f\longmapsto Q_{f}~~$ es un mapa lineal
$[Q_{f},Q_{g}]=i\hbar Q_{\{f,g\}}~~$ (Corchete de Poisson)
$Q_{g\circ f}=g(Q_{f})~~$ (Regla de von Neumann).

Sin embargo, estas cuatro propiedades no solo son mutuamente inconsistentes, ¡ sino que cualquier combinación de tres de ellas también lo es! ^{[ 9 ]} Resulta que los únicos pares de estas propiedades que conducen a soluciones autoconsistentes y no triviales son 2 y 3, y posiblemente 1 y 3 o 1 y 4. Aceptar las propiedades 1 y 2, junto con una condición más débil de que 3 sea verdadera solo asintóticamente en el límite $ħ \to0$ (ver corchete de Moyal ), conduce a la cuantización de deformación , y se debe proporcionar alguna información extranea, como en las teorías estándar utilizadas en la mayor parte de la física. Aceptar las propiedades 1, 2 y 3 pero restringir el espacio de observables cuantizables para excluir términos como los cúbicos en el ejemplo anterior equivale a la cuantización geométrica .

Segunda cuantización: teoría de campos

La mecánica cuántica logró describir sistemas no relativistas con un número fijo de partículas, pero se necesitaba un nuevo marco para describir sistemas en los que las partículas pueden crearse o destruirse, como por ejemplo, el campo electromagnético, considerado como una colección de fotones. Finalmente, se comprendió que la relatividad especial era incompatible con la mecánica cuántica de partículas individuales, por lo que ahora todas las partículas se describen relativísticamente mediante campos cuánticos .

Cuando se aplica el procedimiento de cuantización canónica a un campo, como el electromagnético, las variables de campo clásicas se convierten en operadores cuánticos . Así, los modos normales que componen la amplitud del campo son osciladores simples, cada uno de los cuales se cuantiza mediante la primera cuantización estándar (descrita anteriormente) sin ambigüedad. Los cuantos resultantes se identifican con partículas o excitaciones individuales. Por ejemplo, los cuantos del campo electromagnético se identifican con fotones. A diferencia de la primera cuantización, la segunda cuantización convencional es completamente inequívoca, en efecto un functor , ya que el conjunto constituyente de sus osciladores se cuantiza de forma inequívoca.

Históricamente, la cuantización de la teoría clásica de una partícula individual dio lugar a una función de onda. Las ecuaciones clásicas de movimiento de un campo suelen ser idénticas en forma a las ecuaciones (cuánticas) de la función de onda de uno de sus cuantos . Por ejemplo, la ecuación de Klein-Gordon es la ecuación clásica de movimiento para un campo escalar libre, pero también la ecuación cuántica para la función de onda de una partícula escalar. Esto significaba que cuantizar un campo parecía similar a cuantizar una teoría que ya estaba cuantizada, lo que dio origen al término, algo fantasioso, de segunda cuantización en la literatura inicial, que todavía se utiliza para describir la cuantización de campos, aunque la interpretación moderna detallada sea diferente.

Una desventaja de la cuantización canónica para un campo relativista es que, al depender del hamiltoniano para determinar la dependencia temporal, la invariancia relativista deja de ser evidente. Por lo tanto, es necesario verificar que no se pierda dicha invariancia . Como alternativa, el método de la integral de Feynman está disponible para cuantizar campos relativistas y es manifiestamente invariante. Para teorías de campos no relativistas, como las utilizadas en física de la materia condensada , la invariancia de Lorentz no representa un problema.

Operadores de campo

Mecánica cuántica, las variables de un campo (como la amplitud del campo en un punto dado) se representan mediante operadores en un espacio de Hilbert . En general, todos los observables se construyen como operadores en el espacio de Hilbert, y la evolución temporal de los operadores está regida por el hamiltoniano , que debe ser un operador positivo . Un estado $|0\rangle$ El estado anulado por el hamiltoniano debe identificarse como el estado de vacío , que es la base para construir todos los demás estados. En una teoría de campo libre (sin interacción), el vacío se identifica normalmente como un estado que contiene cero partículas. En una teoría con partículas interactuantes, la identificación del vacío es más sutil, debido a la polarización del vacío , lo que implica que el vacío físico en la teoría cuántica de campos nunca está realmente vacío. Para una explicación más detallada, véanse los artículos sobre el vacío en mecánica cuántica y el vacío en cromodinámica cuántica . Los detalles de la cuantización canónica dependen del campo que se cuantiza y de si es libre o interactuante.

Campo escalar real

Una teoría de campos escalares proporciona un buen ejemplo del procedimiento de cuantización canónica. ^{[ 10 ]} Clásicamente, un campo escalar es una colección de una infinidad de modos normales de oscilador . Basta con considerar un espacio-tiempo de 1+1 dimensiones. $\mathbb {R} \times S_{1},$ en la que la dirección espacial se compacta a un círculo de circunferencia 2π $,$ haciendo que los momentos sean discretos.

La densidad lagrangiana clásica describe una infinidad de osciladores armónicos acoplados , etiquetados por $x$ que ahora es una etiqueta (y no la variable dinámica de desplazamiento que se va a cuantificar), denotada por el campo clásico $φ$ , ${\mathcal {L}}(\phi )={\tfrac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}-{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-V(\phi ),$ donde $V (φ)$ es un término potencial, que a menudo se toma como un polinomio o monomio de grado 3 o superior. El funcional de acción es $S(\phi )=\int {\mathcal {L}}(\phi )dxdt=\int L(\phi ,\partial _{t}\phi )dt\,.$ El momento canónico obtenido mediante la transformación de Legendre utilizando la acción $L$ es $\pi =\partial _{t}\phi$ y se encuentra que el hamiltoniano clásico es $H(\phi ,\pi )=\int dx\left[{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial _{x}\phi )^{2}+{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+V(\phi )\right].$

La cuantización canónica trata las variables $φ$ y $π$ como operadores con relaciones de conmutación canónicas en el instante $t$ = 0, dadas por $[\phi (x),\phi (y)]=0,\ \ [\pi (x),\pi (y)]=0,\ \ [\phi (x),\pi (y)]=i\hbar \delta (x-y).$ Los operadores construidos a partir de $φ$ y $π$ pueden definirse formalmente en otros momentos a través de la evolución temporal generada por el hamiltoniano, ${\mathcal {O}}(t)=e^{itH}{\mathcal {O}}e^{-itH}.$

Sin embargo, dado que $φ$ y $π$ ya no conmutan, esta expresión es ambigua a nivel cuántico. El problema consiste en construir una representación de los operadores relevantes. ${\mathcal {O}}$ en un espacio de Hilbert ${\mathcal {H}}$ y construir un operador positivo $H$ como un operador cuántico en este espacio de Hilbert de tal manera que dé esta evolución para los operadores. ${\mathcal {O}}$ como lo indica la ecuación anterior, y para demostrar que ${\mathcal {H}}$ contiene un estado de vacío $|0\rangle$ en la que $H$ tiene valor propio cero. En la práctica, esta construcción es un problema difícil para las teorías de campos interactuantes, y solo se ha resuelto completamente en unos pocos casos simples mediante los métodos de la teoría cuántica de campos constructiva . Muchos de estos problemas pueden eludirse utilizando la integral de Feynman como se describe para un $V (φ)$ particular en el artículo sobre teoría de campos escalares .

En el caso de un campo libre, con $V (φ) = 0$ , el procedimiento de cuantización es relativamente sencillo. Es conveniente aplicar la transformada de Fourier a los campos, de modo que $\phi _{k}=\int \phi (x)e^{-ikx}dx,\ \ \pi _{k}=\int \pi (x)e^{-ikx}dx.$ La realidad de los campos implica que $\phi _{-k}=\phi _{k}^{\dagger },~~~\pi _{-k}=\pi _{k}^{\dagger }.$ El hamiltoniano clásico puede expandirse en modos de Fourier como $H={\frac {1}{2}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\left[\pi _{k}\pi _{k}^{\dagger }+\omega _{k}^{2}\phi _{k}\phi _{k}^{\dagger }\right],$ dónde $\omega _{k}={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$ .

Este hamiltoniano se reconoce así como una suma infinita de excitaciones de osciladores de modo normal clásicos $φ k$ , cada una de las cuales está cuantizada de la manera estándar , por lo que el hamiltoniano cuántico libre parece idéntico. Son los $φ k$ s los que se han convertido en operadores que obedecen las relaciones de conmutación estándar, $[φ k, π k †] = [φ k †, π k] = iħ$ , mientras que todos los demás se anulan. El espacio de Hilbert colectivo de todos estos osciladores se construye así utilizando operadores de creación y aniquilación construidos a partir de estos modos, $a_{k}={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}+i\pi _{k}\right),\ \ a_{k}^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\hbar \omega _{k}}}}\left(\omega _{k}\phi _{k}^{\dagger }-i\pi _{k}^{\dagger }\right),$ para los cuales $[a k, a k †] = 1$ para todo $k$ , con todos los demás conmutadores desapareciendo.

El vacío $|0\rangle$ se considera aniquilado por todos los $a k$ , y ${\mathcal {H}}$ es el espacio de Hilbert construido aplicando cualquier combinación de la colección infinita de operadores de creación $a k$ ^† a $|0\rangle$ Este espacio de Hilbert se llama espacio de Fock . Para cada $k$ , esta construcción es idéntica a un oscilador armónico cuántico . El campo cuántico es una matriz infinita de osciladores cuánticos. El hamiltoniano cuántico entonces equivale a: $H=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}a_{k}^{\dagger }a_{k}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }\hbar \omega _{k}N_{k},$ donde $N k$ puede interpretarse como el operador de número que da el número de partículas en un estado con momento $k$ .

Este hamiltoniano difiere de la expresión anterior por la resta de la energía de punto cero $ħω$ $k$ $/2$ de cada oscilador armónico. Esto satisface la condición de que $H$ debe aniquilar el vacío, sin afectar la evolución temporal de los operadores mediante la operación de exponenciación anterior. Esta resta de la energía de punto cero puede considerarse una resolución de la ambigüedad del orden de los operadores cuánticos, ya que es equivalente a exigir que todos los operadores de creación aparezcan a la izquierda de los operadores de aniquilación en la expansión del hamiltoniano. Este procedimiento se conoce como orden de Wick u orden normal .

Otros campos

Todos los demás campos pueden cuantizarse mediante una generalización de este procedimiento. Los campos vectoriales o tensoriales simplemente tienen más componentes, y se deben introducir operadores de creación y destrucción independientes para cada componente. Si un campo posee simetría interna , también se deben introducir operadores de creación y destrucción para cada componente del campo relacionada con dicha simetría. Si existe una simetría de gauge , se debe analizar cuidadosamente el número de componentes independientes del campo para evitar el conteo excesivo de configuraciones equivalentes, y se puede aplicar la corrección de gauge si es necesario.

Resulta que las relaciones de conmutación son útiles solo para cuantizar bosones , para los cuales el número de ocupación de cualquier estado es ilimitado. Para cuantizar fermiones , que satisfacen el principio de exclusión de Pauli , se necesitan anticonmutadores. Estos se definen por ${A, B} = AB + BA$ .

Al cuantizar fermiones, los campos se expanden en operadores de creación y aniquilación, $θ k †$ , $θ k$ , que satisfacen $\{\theta _{k},\theta _{l}^{\dagger }\}=\delta _{kl},\ \ \{\theta _{k},\theta _{l}\}=0,\ \ \{\theta _{k}^{\dagger },\theta _{l}^{\dagger }\}=0.$

Los estados se construyen sobre el vacío. $|0\rangle$ aniquilado por el $θ k$ , y el espacio de Fock se construye aplicando todos los productos de operadores de creación $θ k †$ a | 0 ⟩ . El principio de exclusión de Pauli se satisface, porque $(\theta _{k}^{\dagger })^{2}|0\rangle =0$ , en virtud de las relaciones de anticonmutación.

Condensados

La construcción de los estados de campo escalar anteriores asumió que el potencial se minimizaba en $φ$ = 0, de modo que el vacío que minimiza el hamiltoniano satisface $⟨ φ ⟩ = 0$ , lo que indica que el valor esperado del vacío (VEV) del campo es cero. En casos que involucran ruptura espontánea de simetría , es posible tener un VEV distinto de cero, porque el potencial se minimiza para un valor $φ$ = $v$ . Esto ocurre, por ejemplo, si $V (φ) = gφ 4 - 2 m 2 φ 2$ con $g > 0$ y $m 2 > 0$ , para el cual la energía mínima se encuentra en $v = \pm m / \sqrt g$ . El valor de $v$ en uno de estos vacíos puede considerarse como condensado del campo $φ$ . La cuantización canónica puede llevarse a cabo para el campo desplazado $φ$ $($ $x$ $,$ $t$ $) -$ $v$ , y los estados de las partículas con respecto al vacío desplazado se definen cuantizando dicho campo. Esta construcción se utiliza en el mecanismo de Higgs del Modelo Estándar de la física de partículas .

Cuantización matemática

Cuantización de la deformación

The classical theory is described using a spacelike foliation of spacetime with the state at each slice being described by an element of a symplectic manifold with the time evolution given by the symplectomorphism generated by a Hamiltonian function over the symplectic manifold. The quantum algebra of "operators" is an $ħ$ -deformation of the algebra of smooth functions over the symplectic space such that the leading term in the Taylor expansion over $ħ$ of the commutator $[A, B]$ expressed in the phase space formulation is $iħ {A, B}$ . (Here, the curly braces denote the Poisson bracket. The subleading terms are all encoded in the Moyal bracket, the suitable quantum deformation of the Poisson bracket.) In general, for the quantities (observables) involved, and providing the arguments of such brackets, ħ-deformations are highly nonunique—quantization is an "art", and is specified by the physical context. (Two different quantum systems may represent two different, inequivalent, deformations of the same classical limit, $ħ \to 0$ .)

Now, one looks for unitary representations of this quantum algebra. With respect to such a unitary representation, a symplectomorphism in the classical theory would now deform to a (metaplectic) unitary transformation. In particular, the time evolution symplectomorphism generated by the classical Hamiltonian deforms to a unitary transformation generated by the corresponding quantum Hamiltonian.

A further generalization is to consider a Poisson manifold instead of a symplectic space for the classical theory and perform an ħ-deformation of the corresponding Poisson algebra or even Poisson supermanifolds.

Geometric quantization

In contrast to the theory of deformation quantization described above, geometric quantization seeks to construct an actual Hilbert space and operators on it. Starting with a symplectic manifold $M$ , one first constructs a prequantum Hilbert space consisting of the space of square-integrable sections of an appropriate line bundle over $M$ . On this space, one can map all classical observables to operators on the prequantum Hilbert space, with the commutator corresponding exactly to the Poisson bracket. The prequantum Hilbert space, however, is clearly too big to describe the quantization of $M$ .

One then proceeds by choosing a polarization, that is (roughly), a choice of $n$ variables on the $2n$ -dimensional phase space. The quantum Hilbert space is then the space of sections that depend only on the $n$ chosen variables, in the sense that they are covariantly constant in the other $n$ directions. If the chosen variables are real, we get something like the traditional Schrödinger Hilbert space. If the chosen variables are complex, we get something like the Segal–Bargmann space.

References

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↑ Este tratamiento se basa principalmente en el Cap. 1 de Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF) . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4210-2Archivado del original (PDF) el 29/12/2009 . Consultado el 16/05/2010 .

Referencias históricas

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Referencias técnicas generales

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Enlaces externos

Recursos pedagógicos para la teoría cuántica de campos . Haga clic en los enlaces de los capítulos 1 y 2 en este sitio para acceder a una introducción extensa y simplificada a la segunda cuantización. Consulte la sección 1.5.2 del capítulo 1. Consulte la sección 2.7 y el resumen del capítulo 2.

[1] Dirac, P. A. M. (1925). "The Fundamental Equations of Quantum Mechanics". Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. 109 (752): 642–653. Bibcode:1925RSPSA.109..642D. doi:10.1098/rspa.1925.0150.

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[10] Este tratamiento se basa principalmente en el Cap. 1 de Connes, Alain ; Marcolli, Matilde (2008). Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives (PDF) . American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4210-2Archivado del original (PDF) el 29/12/2009 . Consultado el 16/05/2010 .

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